横浜共立学園中学校・高等学校では、夏休みの宿題として冊子（問題集）が配られることが多くあります。高校1年生に配られるその冊子には、「ただの計算練習」ではなく、そのまま大学入試につながる内容が含まれています。この記事で扱う2次関数の最大・最小は、まさにその代表格です。
ここで大切なのは、答えが合っていたかどうかではありません。「なぜその計算をするのか」「いま、頭の中でグラフはどう動いているのか」を言葉にできるかどうかです。9月の実力テスト、そして2年半後の大学入試で差がつくのは、そこだけです。この記事では、横浜共立の高1で出題される典型2問を、1ステップずつ、絵が見えるところまでほどいていきます。
この記事でできるようになること
- 平方完成が「何のための操作なのか」を自分の言葉で説明できる
- 「\(a\) が変化するとき」という文の意味が、グラフの動きとして見える
- 定義域つきの最大・最小で、なぜ場合分けが必要になるのかがわかる
- 上に凸のとき「軸から遠い端が最小」になる理由を、暗記ではなく理屈で言える
1．この記事で解く2問
まず、今回扱う問題を確認しておきましょう。横浜共立学園をはじめ、中高一貫校の高1の夏課題では、この2題とほぼ同じ形の問題が繰り返し出題されます。
【例題1】2次関数の最大・最小（文字係数）
2次関数 \(y = x^2 + 2ax + 2a + 1\) について、
(1) 最小値 \(m\) を \(a\) で表せ。
(2) \(a\) の値が変化するとき、(1)の \(m\) のとりうる値の範囲を求めよ。
【例題2】頂点の条件と、定義域つきの最小値
2次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) …① のグラフの頂点の座標が \((1,\ 1)\) であるとき、
(1) \(b, c\) を \(a\) で表せ。
(2) ①の \(-1 \leqq x \leqq 2\) における最小値が \(-3\) であるとき、定数 \(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
【答えだけ先に】
例題1：(1) \(m = -a^2 + 2a + 1\) (2) \(m \leqq 2\)
例題2：(1) \(b = -2a, c = a + 1\) (2) \(a = -1, b = 2, c = 0\)
※ここで丸をつけて終わりにすると、この課題の価値の9割を捨てることになります。以下、なぜそうなるのかを見ていきましょう。
2．平方完成の正体は「軸からの距離」への翻訳
いきなり結論から言います。この単元でいちばん大事な一文はこれです。
この記事の核心
平方完成とは、2次関数を「軸からの距離だけで値が決まる形」に書き直す作業である。
どういうことか、順に説明します。2次関数には2つの書き方があります。
| 書き方 | 形 | そこから読み取れること |
|---|---|---|
| 一般形（展開した形） | \(y = ax^2 + bx + c\) | \(y\) 切片が \(c\) であることくらい |
| 標準形（平方完成した形） | \(y = a(x-p)^2 + q\) | 頂点 \((p, q)\)、軸 \(x = p\)、凸の向きすべて |
一般形は、いわば「材料をバラバラに並べた状態」です。ここからグラフの一番低い場所を探すのは、部品の山を見て完成品の形を当てるようなもので、ふつうは無理です。
ところが標準形 \(y = a(x-p)^2 + q\) には、決定的な情報が入っています。\((x-p)^2\) は「\(x\) が軸 \(p\) からどれだけ離れているか」の2乗だからです。つまり標準形は、こう読めます。
標準形の読み方
y ＝ a ×（軸からの距離）2 ＋ q
・\(a \gt 0\)（下に凸）なら、軸から離れるほど \(y\) は大きくなる。だから軸の真上（頂点）が最小。
・\(a \lt 0\)（上に凸）なら、軸から離れるほど \(y\) は小さくなる。だから軸の真上（頂点）が最大。
この一文さえ握っていれば、この単元の場合分けは全部そこから導けます。「軸に近い／遠い」で最大・最小が決まる、という感覚を、まずここで手に入れてください。
図1：\(y = x^2 + 2x + 3\) は平方完成すると \(y = (x+1)^2 + 2\)。頂点 \((-1, 2)\) が見えた瞬間に、最小値が2だと確定する。
平方完成の手順を、意味とセットで
手順そのものは3ステップです。ただし「なぜそうするか」を横に書きながら覚えてください。
STEP 1 \(x\) を含む部分だけに注目する。
【なぜ】定数項は上下の平行移動を担当するだけで、軸の位置には関係しないから。先に切り離しておくと計算が軽くなる。
STEP 2 \(x\) の係数の半分を \(\square\) にして \((x + \square)^2\) を作る。
【なぜ】\((x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\) を逆から見ているだけ。\(x\) の係数 \(2k\) の半分が \(k\) なので、「半分」が出てくる。
STEP 3 勝手に足した \(\square^2\) を、すぐ引いて帳尻を合わせる。
【なぜ】式を変形しているだけで、値を変えてはいけないから。足したら引く。これは等式の一人二役。
この3ステップを、例題1でそのまま使います。
3．例題1（1）｜まず頂点を出す
【問題（再掲）】
2次関数 \(y = x^2 + 2ax + 2a + 1\) の最小値 \(m\) を \(a\) で表せ。
文字 \(a\) が入っていますが、恐れる必要はありません。\(a\) はただの数だと思って、いつも通り平方完成するだけです。\(x\) の係数は \(2a\)、その半分は \(a\) ですね。
\[y = x^2 + 2ax + 2a + 1\]
\[y = (x^2 + 2ax + a^2) – a^2 + 2a + 1\]
\[y = (x + a)^2 – a^2 + 2a + 1\]
これで頂点が \(\left(-a, -a^2 + 2a + 1\right)\) だと読み取れました。
次に凸の向きを確認します。\(x^2\) の係数は \(1\) で正なので、グラフは下に凸（お椀の形）。第2章の原則より、軸の真上、つまり頂点が最小です。定義域の指定がない（\(x\) はどんな実数でもよい）ので、場合分けも不要です。
【答】
\[m = -a^2 + 2a + 1\]
【型】文字係数の2次関数でも、平方完成の手順は一切変わらない。文字を「まだ値が決まっていない数」として、そのまま計算に混ぜる。これが高1で越えるべき最初のハードルです。
4．例題1（2）｜「\(a\) が変化する」を絵にする
【問題（再掲）】
\(a\) の値が変化するとき、\(m = -a^2 + 2a + 1\) のとりうる値の範囲を求めよ。
ここが、この問題のいちばん面白いところであり、いちばんつまずくところです。多くの人が「(1)で終わったはずなのに、また平方完成するの？」と混乱します。
まず、頭の中で何が起きているのか
(1)で、頂点は \(\left(-a, -a^2+2a+1\right)\) とわかりました。つまり\(a\) の値を1つ決めるたびに、放物線が1本決まる。\(a\) を動かすと、放物線が形を保ったままスーッと動いていきます。実際に代入してみましょう。
| \(a\) | 関数 | 頂点 \((-a, m)\) | 最小値 \(m\) |
|---|---|---|---|
| \(-1\) | \(y = x^2 – 2x – 1\) | \((1, -2)\) | \(-2\) |
| \(0\) | \(y = x^2 + 1\) | \((0,\ 1)\) | \(1\) |
| \(1\) | \(y = x^2 + 2x + 3\) | \((-1, 2)\) | \(2\) |
| \(2\) | \(y = x^2 + 4x + 5\) | \((-2, 1)\) | \(1\) |
最小値 \(m\) が \(-2 \to 1 \to 2 \to 1\) と、上がってから下がっているのが見えますか。\(m\) は \(a\) にどこまでもついて動く量なのです。問題文の「\(a\) の値が変化するとき、\(m\) のとりうる値の範囲」は、この動きの上限と下限を聞いています。
読み替えの合言葉
「\(a\) が変化するとき \(m\) のとりうる値の範囲」＝「横軸 \(a\)、縦軸 \(m\) の新しいグラフを描いて、その値域を答えよ」
2度目の平方完成
\(m = -a^2 + 2a + 1\) は、文字を \(a\) だと思えば立派な2次関数です。だから同じ道具＝平方完成が使えます。今度は \(a^2\) の係数が \(-1\) なので、先にマイナスでくくります。
\[m = -(a^2 – 2a) + 1\]
ここで \(a\) の係数 \(-2\) の半分は \(-1\)。カッコの中で \((a-1)^2\) を作ります。
\[m = -\left\{(a – 1)^2 – 1\right\} + 1\]
外のマイナスを中カッコ全体に配ります。ここが最頻出のミスポイントです。
\[m = -(a – 1)^2 + 1 + 1 = -(a – 1)^2 + 2\]
頂点は \((1,\ 2)\)。\(a^2\) の係数が負なので上に凸（山の形）。山の頂上より上には行けませんが、下へは限りなく落ちていきます。したがって \(m\) は最大でも \(2\)、それ以下は何でもとれます。
【答】
\[m \leqq 2\]
もう一歩深く：頂点はどんな道を通るのか
せっかくなので、本質まで踏み込みます。頂点の座標は \((-a, -a^2+2a+1)\) でした。この点を \((X, Y)\) とおくと、
\[X = -a, \qquad Y = -a^2 + 2a + 1\]
1つ目の式から \(a = -X\)。これを2つ目に代入すると、
\[Y = -(-X)^2 + 2(-X) + 1 = -X^2 – 2X + 1\]
つまり頂点は \(y = -x^2 – 2x + 1\) という別の放物線の上を移動しているのです。これを平方完成すると \(y = -(x+1)^2 + 2\) で、最高点は \((-1, 2)\)。(2)で出した「\(m\) の最大値 \(2\)」は、この頂点の通り道の一番高い場所そのものでした。
図2：青い実線・細線が \(a\) を変えたときの \(y = x^2+2ax+2a+1\)。赤い点が各グラフの頂点で、それをつないだ赤い破線が「頂点の通り道」\(y = -x^2-2x+1\)。この道の最高点の高さが \(m \leqq 2\) の「2」の正体。
【本質】この「文字を消して \(X, Y\) の関係式にする」操作は、数学II・Cで軌跡という単元名で再登場します。高1の夏にこの絵を見ておいた人は、そこで初めて出会う人より2年分早くスタートを切れます。宿題の1問が入試につながるというのは、こういう意味です。
答えの検算（必ずやってください）
\(m = 2\) になるのは \(a = 1\) のとき。元の関数に \(a = 1\) を戻すと \(y = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2\) となり、確かに最小値は \(2\)。また \(a = 0\) なら \(y = x^2 + 1\) で最小値 \(1\)（\(\leqq 2\) を満たす）。文字で答えを出したら、具体的な数値を1つ戻して確かめる。これが数学を「わかったつもり」で終わらせないための最強の習慣です。
5．例題2（1）｜ゴールから逆算して式を立てる
【問題（再掲）】
\(y = ax^2 + bx + c\) の頂点が \((1,\ 1)\) であるとき、\(b, c\) を \(a\) で表せ。
2次関数の式を決める問題では、与えられたヒントによってスタートする形を変えるのが鉄則です。
| 与えられた情報 | スタートする形 |
|---|---|
| 頂点・軸がわかっている | 標準形 \(y = a(x-p)^2 + q\) |
| 通る3点がわかっている | 一般形 \(y = ax^2+bx+c\) |
| \(x\) 軸との交点がわかっている | 因数分解形 \(y = a(x-\alpha)(x-\beta)\) |
今回は頂点 \((1,\ 1)\) が最初から与えられているので、標準形から出発します。
\[y = a(x – 1)^2 + 1\]
問題文は一般形で書かれているので、形をそろえるために展開します。
\[y = a(x^2 – 2x + 1) + 1 = ax^2 – 2ax + a + 1\]
これと \(y = ax^2 + bx + c\) は同じ関数を別の顔で書いたものです。同じ関数なら、対応する係数は必ず一致します（係数比較）。
【答】
\(x\) の係数：\(b = -2a\) ／ 定数項：\(c = a + 1\)
【なぜ係数を比べてよいのか】2つの多項式がすべての \(x\) で同じ値をとるなら、係数は一致する（恒等式の考え方）。「たまたま数か所で一致した」のではなく「常に一致している」から比べられる、という理屈です。ここを説明できる高1は多くありません。
6．例題2（2）｜場合分けは「わからないから」ではなく「決まらないから」する
【問題（再掲）】
\(y = a(x-1)^2 + 1\) の \(-1 \leqq x \leqq 2\) における最小値が \(-3\) であるとき、\(a,\ b,\ c\) を求めよ。
(1)から、この関数は \(y = a(x-1)^2 + 1\)、軸は \(x = 1\) と確定しています。しかし \(a\) の符号が不明なので、グラフが下に凸なのか上に凸なのかが決まりません。
グラフの向きが決まらなければ、「どこが一番低いか」も決まりません。だから場合分けをします。場合分けは、自信がないからする消極的な作業ではなく、「情報が足りず1つに決まらない」ことを論理的に処理する積極的な作業です。
パターンA：\(a \gt 0\)（下に凸）と仮定する
下に凸なら、軸から離れるほど \(y\) は大きくなるので、最小は軸に一番近い場所。軸 \(x = 1\) は定義域 \(-1 \leqq x \leqq 2\) の内側に入っているので、頂点そのものが最小です。
頂点の \(y\) 座標は \(1\) なので、最小値は \(1\)。ところが問題は「最小値は \(-3\)」と言っています。\(1 \neq -3\) で矛盾。よってこの仮定は成り立ちません（不適）。
パターンB：\(a \lt 0\)（上に凸）と仮定する
上に凸なら、軸から離れるほど \(y\) は小さくなる。したがって最小値をとるのは、定義域の端のうち軸から遠いほうです。式で確かめると、\(y = a(x-1)^2 + 1\) の \((x-1)^2\) が最大になる点を探せばよい、ということになります。
| 端の点 | 軸 \(x=1\) からの距離 | \((x-1)^2\) | \(y = a(x-1)^2+1\)（\(a\lt 0\)） |
|---|---|---|---|
| \(x = 2\) | \(1\) | \(1\) | \(a + 1\) |
| \(x = -1\) | \(2\) | \(4\) | \(4a + 1\) ← より小さい |
\(a\) が負なので \(4a + 1 \lt a + 1\)。つまり\(x = -1\) で最小です。これを使って方程式を立てます。
\[-3 = a(-1-1)^2 + 1\]
\[-3 = 4a + 1\]
\[4a = -4, \qquad a = -1\]
ここで仮定の確認を必ずします。出てきた \(a = -1\) は、仮定した \(a \lt 0\) を満たしています。矛盾がないので採用できます。
あとは(1)の結果に代入するだけです。
\[b = -2a = -2 \times (-1) = 2\]
\[c = a + 1 = -1 + 1 = 0\]
パターンC：\(a = 0\) の確認
念のため \(a = 0\) も検討します。\(a = 0\) だと \(y = ax^2+bx+c\) から \(x^2\) の項が消え、1次関数になってしまいます。問題文に「2次関数」と書かれている以上、\(a \neq 0\) は最初から確定です。よって不適。
【答】
\[a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0\]
図3：\(a=-1\) のとき \(y = -(x-1)^2 + 1\)。軸 \(x=1\) から遠い端 \(x=-1\) で最小値 \(-3\)、頂点 \(x=1\) で最大値 \(1\)。青い帯が定義域 \(-1 \leqq x \leqq 2\)。
【検算】\(a=-1, b=2, c=0\) を①に戻すと \(y = -x^2 + 2x\)。\(x=-1\) のとき \(y = -1-2 = -3\)（○）、\(x=2\) のとき \(y = -4+4 = 0\)、\(x=1\) のとき \(y = 1\)。確かに \(-1 \leqq x \leqq 2\) での最小値は \(-3\) です。
7．すべての場合分けは、この1枚の絵に帰着する
定義域つき2次関数の最大・最小は、公式を6つ覚える単元ではありません。「軸が定義域のどこにあるか」を見るだけです。下に凸（\(a\gt 0\)）の場合を図で確認しましょう。
図4：下に凸のとき。●が最小、緑が最大。軸が定義域の外にあるときは、グラフの「片側の坂だけ」を切り取っている状態になり、頂点は使えない。
| 凸の向き | 最小値をとる場所 | 最大値をとる場所 |
|---|---|---|
| 下に凸（\(a\gt 0\)） | 軸が定義域内 → 頂点 軸が外 → 軸に近いほうの端 |
軸から遠いほうの端 |
| 上に凸（\(a\lt 0\)） | 軸から遠いほうの端 | 軸が定義域内 → 頂点 軸が外 → 軸に近いほうの端 |
覚えるのはこれだけ
2次関数の値は「軸からの距離」だけで決まる。
下に凸なら近いほど小さい、上に凸なら近いほど大きい。あとは定義域の中でその距離が最小・最大になる点を選ぶだけ。
この見方を持っていれば、「軸が動く問題（\(y = x^2 – 2ax\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) での最小値を \(a\) で場合分け）」も「定義域が動く問題」も、同じ発想で処理できます。逆に、パターンを丸暗記した人は、少し形を変えられただけで手が止まります。
8．横浜共立の高1がつまずきやすい5つのポイント
ミス1 平方完成で引く数を間違える
\((x+a)^2\) を作ったら \(a^2\) を引く。足した分をそのまま引く、と手順ではなく意味で覚える。
ミス2 マイナスでくくったあとの分配ミス
\(-{(a-1)^2 – 1} + 1\) の外側のマイナスを中の両方に配れず、\(-(a-1)^2 – 1 + 1\) としてしまう。例題1(2)の最頻出ミス。
ミス3 定義域を無視して「頂点＝最小」と決めつける
定義域が書いてある問題では、まず軸が定義域の中か外かを確認する。ここを飛ばすと0点になる。
ミス4 上に凸のとき「軸に近い端が最小」と勘違いする
上に凸は山。頂上から遠いほど低い。図を描けば一瞬で防げる。
ミス5 場合分けのあと「仮定を満たすか」を確認しない
\(a\lt 0\) と仮定して \(a=3\) が出たら、それは捨てる答え。求めた値が仮定に合うかの確認まで書いて、はじめて論理が閉じる。
9．理解できたか確かめる3問（解答つき）
読んで納得することと、自力で解けることは別です。ノートを開いて、まずグラフの絵を描いてから解いてください。
【確認1】
\(y = x^2 – 4x + 5\) の \(0 \leqq x \leqq 3\) における最大値と最小値を求めよ。
【解答1】
平方完成すると \(y = (x-2)^2 + 1\)。下に凸で軸は \(x = 2\)、これは定義域の内側。よって最小値は頂点の \(1\)（\(x=2\)）。最大は軸から遠い端で、\(|0-2| = 2 \gt |3-2| = 1\) だから \(x = 0\)。\(y = 5\)。
最大値 \(5\)（\(x=0\)）、最小値 \(1\)（\(x=2\)）
【確認2】
\(a \gt 0\) とする。\(y = -x^2 + 2ax\) の \(0 \leqq x \leqq 2\) における最大値を \(a\) で場合分けして求めよ。
【解答2】
\(y = -(x-a)^2 + a^2\)。上に凸で軸は \(x = a\)。上に凸の最大は「軸が定義域内なら頂点」。
・\(0 \lt a \leqq 2\) のとき、軸が定義域内 → 最大値 \(a^2\)（\(x=a\)）
・\(a \gt 2\) のとき、軸が右の外 → 軸に近い端 \(x=2\) → 最大値 \(-4 + 4a = 4a – 4\)
検算：\(a=2\) を両方に入れると \(a^2 = 4\)、\(4a-4 = 4\)。境目でつながっているので符合しています。
【確認3】
\(y = x^2 + 2ax + 3\) の \(-1 \leqq x \leqq 1\) における最小値を \(a\) で場合分けして求めよ。
【解答3】
\(y = (x+a)^2 + 3 – a^2\)。下に凸で軸は \(x = -a\)。下に凸の最小は「軸が定義域内なら頂点、外なら近いほうの端」。
・軸が左の外（\(-a \lt -1\)、すなわち \(a \gt 1\)）→ 最小は \(x=-1\) → \(1 – 2a + 3 = 4 – 2a\)
・軸が定義域内（\(-1 \leqq -a \leqq 1\)、すなわち \(-1 \leqq a \leqq 1\)）→ 最小は頂点 → \(3 – a^2\)
・軸が右の外（\(-a \gt 1\)、すなわち \(a \lt -1\)）→ 最小は \(x=1\) → \(1 + 2a + 3 = 4 + 2a\)
検算：\(a = 2\)（1つめ）なら \(4-4 = 0\)。実際 \(y = x^2+4x+3\) の \(x=-1\) は \(1-4+3=0\)。合っています。
10．この宿題を「大学入試の得点」に変えるために
横浜共立学園のように中高一貫で数学を先取りしていく学校では、高1の夏に扱うこの内容が、そのまま大学入試の答案に直結します。実際、2次関数の最大・最小と場合分けは、共通テストでも私立大の個別試験でも繰り返し問われるテーマです。
だからこそ、宿題冊子への向き合い方を変えてほしいのです。
丸をつけて終わりにしない、3つの問い
- なぜこの計算をしたのか、途中式ごとに理由を言えるか
- いまグラフのどこを見て、何を比べているのか説明できるか
- 数値を1つ具体的に入れて、自分で検算したか
この3つに答えられるなら、その問題はもう入試レベルで武器になっています。答えが合っていてもこの3つに詰まるなら、まだ「作業ができただけ」の状態です。
11．「わからない」と言えないまま夏が終わってしまう前に
ここまで読んで、「理屈はわかった。でも自分ひとりで冊子を最後まで進められる気がしない」と感じた人もいると思います。それは、あなたの能力の問題ではありません。質問できる相手が近くにいないだけです。
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保護者の方へ：横浜共立学園の数学の進度・定期テストの傾向、そして実際の指導事例は、以下のページにまとめています。夏の宿題が滞っているかどうかは、2学期以降の伸びを予測する重要なサインです。
12．よくある質問
Q. 平方完成は、結局なんのためにするのですか？
A. グラフの頂点と軸を見つけるためです。標準形 \(y=a(x-p)^2+q\) は「軸からの距離の2乗に \(a\) を掛けて \(q\) を足す」という意味なので、この形にした瞬間に、最大・最小がどこでとられるかが決まります。
Q. 場合分けはどんなときに必要ですか？
A. 「凸の向き」か「軸と定義域の位置関係」のどちらかが、文字のせいで1つに決まらないときです。逆に言えば、両方が決まっていれば場合分けは不要です。
Q. 「\(a\) の値が変化するとき」とは何を意味していますか？
A. \(a\) を1つ決めるごとに放物線が1本決まるので、\(a\) を動かすと放物線が動きます。その動きに合わせて最小値 \(m\) も動くので、「\(m\) を \(a\) の関数と見て値域を求めよ」という意味になります。
Q. 夏休みの宿題の答えだけ知りたいのですが。
A. 答えはこの記事にすべて書いてあります。ただし、答えを写して提出した人は、9月の実力テストで同じ問題が形を変えて出たときに必ず止まります。写す時間で解説を1回読むほうが、確実に速いというのが12年間指導してきた実感です。
Q. 夏休みの途中からでも間に合いますか？
A. 間に合います。むしろ、冊子が半分残っている段階のほうが立て直しやすいです。オンラインなので、申し込みからすぐに開始できます。
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夏休みの宿題、ひとりで抱えないでください
「この1問だけ聞きたい」でも大丈夫です。オンラインなので、誰にも知られずに、今日わからなかったところをそのまま持ち込めます。
夏休みの課題でつまずいたら
中高一貫校 高1の夏休みの数学課題｜2次関数の最大・最小「5つの型」と学校別の解説
高1の夏に出る2次関数の最大・最小を5つの型に整理し、学校別の詳しい解説へ案内しています。
次のステップ（発展編）
2次関数の最大・最小【発展編】｜2変数・最大値と最小値の差・絶対値つきを本質から解く
基本型を終えた人へ。1文字消去で変域を引き継ぐ2変数の問題、最大値と最小値の差から係数を逆算する4区間の場合分け、絶対値つきの折り返しと解の個数まで、入試レベルの考え方を図解しています。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学I・Aの要点辞典：2次関数 にまとめてあります。
