漸化式12パターン完全分類｜入試の漸化式はこの地図に収まる【数学B】

12型 完全解説 ―― 1型ずつ、6点セットで潰す

ここまでで型4と型9を扱いました。ここからは12型すべてを、次の6点セットで1つずつ潰します。表の1行では絶対に身につかない部分——「なぜその変形なのか」と「その型だけが持つ落とし穴」——を全部書きます。

まず、型の見分け方

問題を見てから「どの型だろう」と考えるのではなく、上から順にチェックを当てるのが最短です。この順番には理由があります。項の個数のような「見た目で即決まること」から先に潰すようにしてあるからです。

図：この順に当てはめると、12型のどれかに必ず落ちます。落ちなければ型12です。

型1｜等差型 ―― 足す数が一定

① 形　（ は定数）。② なぜ　変形は要りません。これがゴールの一方だからです。 から まで進むのに を足す回数は 回。ただそれだけです。

型2｜等比型 ―― 掛ける数が一定

① 形　。② なぜ　これがもう一方のゴール。掛ける回数も 回です。

型3｜階差型 ―― 足す数が で変わる

① 形　（ は の式）。② なぜ　 は「1歩ぶんの増分」です。 から までは 歩ですから、増分を から まで足せば着きます。

型4｜特性方程式型（既出）と、そこへ集まる4つの型

型4そのものは前の節で扱いました。ここで強調したいのは、次の4つの型（5・6・7・8）が、すべて型4に帰着するために存在しているという構造です。形はばらばらでも、やっていることは「型4の形に着替えさせる」の一点です。

【深掘り】不動点とは何か ―― 図で見ると一瞬で分かる

型4の を「特性方程式」と呼ぶと難しく聞こえますが、やっていることは と の交点を求めているだけです。この交点が「不動点」です。

なぜ「動かない点」なのか。 だったとしましょう。すると 。次の項も同じ値になります。そこに入ったら二度と動かない——だから不動点です。

図：左は （不動点は ）。折れ線は不動点へ吸い寄せられます。右は （不動点は同じく ）。こちらは一気に離れていきます。どちらも との交点が不動点であることは変わりません。

この2枚から、 の値が数列の運命を決めていることが読み取れます。

【入試での使い方】「 を求めよ」という設問が付いていたら、不動点を求めた時点で答えが見えています（ の場合）。一般項を出してから極限を計算するより、先に不動点を出して見当をつけてから解くほうが、計算ミスに気づきやすくなります。

この見方は、型4だけのものではありません。型7（分数型）も型8（累乗型）も、置き換えたあとの について同じ図が描けます。「不動点を引く」という操作の正体は、グラフの交点を原点に移す平行移動だと思ってください。

型5｜ の多項式が付く ―― 同じ次数の式を用意する

① 形　（ は の多項式、）。

② なぜ　型4では定数 を消すために定数の不動点 を引きました。付いているのが の1次式なら、引くべきものも1次式です。そこで が等比になるように を決めます。「邪魔者と同じ形のものを用意して引く」——これが型5の思想です。

型6｜指数 が付く ―― 両辺を で割る

① 形　。

② なぜ　邪魔なのは です。ならば数列そのものを で割ってしまえば消える。両辺を で割り、 とおくと 。定数が付いた形＝型4になりました。

型7｜分数型 ―― 逆数をとる

① 形　。

② なぜ　右辺の分子が だけなので、逆数をとると分子と分母が入れ替わって分解できます。。つまり とおけば ——また型4です。

型8｜累乗型 ―― 対数をとる

① 形　（）。

② なぜ　掛け算と累乗を、足し算と掛け算に翻訳する道具が対数です。両辺の対数をとると 。 とおけば ——三たび型4です。

型9｜隣接3項間（既出）と、重解のとき

前の節で扱ったとおり、 の2解 から2本の等比数列を作るのが基本です。ここでは重解 の場合だけ補足します。

重解のときは の1本しか作れません。そこで とおくと 。これを と見ると、指数が付いた形＝型6です。両辺を で割れば等差型に落ちます。

【深掘り】型9の特性方程式は、どこから来るのか

3項間の で「 を解く」と習いますが、なぜ2次方程式が出てくるのかを説明できる生徒は多くありません。導出は3行で終わります。

発想は「等比数列なら解けるのだから、等比数列を代入してみる」です。（）が漸化式を満たすとすると、

両辺を で割れば 。これだけです。特性方程式とは「この漸化式を満たす等比数列の公比は何か」を聞いている式にすぎません。

もう一つの見方：2本の等比数列に分解する

教科書でよく使われるのは、次の分解です。 を2解とすると、解と係数の関係から 。これを使うと

が両方とも成り立ちます（右辺を展開して を使えば確かめられます）。つまり

この2式を辺々引くと が消えて が残ります。 なら割れて が求まる——これが「重解のときだけ別処理が必要」な理由です。 だと で割れません。

【どちらの解法を使うか】答案としてはどちらでも構いませんが、「2本作って引く」ほうが誘導に乗りやすいです。入試では「(1) が等比数列であることを示せ」のように、この2本のうち片方を作らせる小問が置かれることが非常に多いからです。誘導が来たら、それは「2本のうちの1本目」だと読んでください。

型10｜連立型 ―― 等比になる組み合わせを探す

① 形　 の2本組。

② なぜ　 単独でも 単独でも等比になりませんが、 という組み合わせなら等比になる が存在します。 が の形になる条件から を決めます。対称な係数のときは和と差を試すだけで当たります。

型11｜ と の関係式 ―― まず翻訳する

① 形　（初項から第 項までの和）を含む関係式。

② なぜ　 のままでは漸化式として扱えません。（）で だけの式に翻訳すると、12型のどれかに落ちます。型11は「型を決める型」ではなく「翻訳する型」です。

型12｜どれにも当てはまらない ―― 推測して、帰納法で固める

① 形　上の11型のどれにも乗らないもの。分子・分母の両方に定数が付いた分数型などが典型です。

② なぜ　変形の道がないなら、実際に数を並べて規則を見つけ、それが正しいことを証明するしかありません。この「推測→証明」は逃げではなく、正式な解法です。

12型は、4本の道に集約される

ここまで見てきたとおり、12型は独立した12個の解法ではありません。行き先は等差か等比の2つだけで、そこへ至る道が4本あるだけです。

図：帰着の地図。型5・6・7・8はすべて型4へ、型4・9・10は等比へ、型3は等差へ流れ込みます。型11は翻訳、型12は帰納法。

確率漸化式 ―― 入試で最も多い「漸化式の顔」

ここまでは「漸化式が最初から与えられている」問題でした。しかし入試で実際に多いのは、漸化式が与えられていない問題です。自分で立てるところから始まります。その代表が確率漸化式です。

確率漸化式は、大学入試の確率分野で最頻出の形式のひとつです。しかも立ててしまえば、あとは12型のどれかに落ちる——つまり、この記事の前半がそのまま使えます。難しいのは立式だけです。

なぜ漸化式が立つのか ―― 「今どこにいるか」だけで次が決まる

確率漸化式が立つ問題には、共通する構造があります。

たとえば「いまAにいる」と分かれば、そこまでにどう動いてきたかは次の一手に一切影響しません。だから 回目の確率と 回目の確率が、経過を無視して直接結びつく。これが漸化式が立つ理由です。

【問題文の合図】「この操作を繰り返す」「 回目に〜である確率を とする」「 を で表せ」——このいずれかがあれば、ほぼ確実に確率漸化式です。とくに「 を を用いて表せ」という小問は、漸化式を立てさせるための誘導そのものです。

立式の3ステップ

例題1｜三角形の頂点を移動する（最頻出）

図：状態遷移図。A へ入ってくる矢印は、B からと C からの2本だけ。しかも A から A へ戻る矢印はありません。ここが立式の全部です。

ステップ①　 を「 回後に A にいる確率」と決めます。

ステップ②　 回後に A にいるのは、どういう場合か。図を見れば「 回後に B か C にいて、次に A を選んだとき」だけです。A から A へは移れないので、 回後に A にいた場合は寄与しません。

ステップ③　 回後に A にいない確率は 。そこから A を選ぶ確率は 。よって

これは型4です。不動点は より 、。

初項は （1回動いたら必ず A にいない）。よって 。

検算　、、、。漸化式から直接計算しても 。一致します。

【不動点の意味がここで効く】 なので、 で 。回数を無限に増やすと、3頂点に均等に散らばる——直感どおりの答えが、不動点としてすでに現れていました。確率漸化式では、不動点は「十分時間が経ったときの確率」という具体的な意味を持ちます。

例題2｜2つの箱を行き来する

例題1との違いは、「そのまま」の道があることです。だから 回後に A にいた場合も寄与します。

ステップ②　 回後に A にいるのは、(i) 回後に A にいて動かなかった、(ii) 回後に B にいて動いた、の2通り。

型4です。不動点は より 。 なので 。

検算　。漸化式から直接計算しても同じ列になります。 で ——十分回数を重ねれば五分五分。これも不動点の値と一致します。

例題3｜3項間になる確率漸化式

確率漸化式が型9（3項間）になることもあります。「直前の1回だけでなく、2回前まで見ないと決まらない」ときです。

確率のまま考えると混乱するので、先に「場合の数」で数えてから確率に直すのが定石です。表が2回続かない列の個数を とします。

末尾で場合分けします。

• 末尾が裏のとき　その前の 文字が条件を満たしていればよい　→ 通り
• 末尾が表のとき　その1つ前は必ず裏（でないと表が2連続する）。さらにその前の 文字が条件を満たせばよい　→ 通り

この2つに重複はなく、漏れもありません。よって

フィボナッチ型＝型9です。 は （プログラムによる全数え上げと一致を確認しました）。全体は 通りなので

検算　、、、、。 のとき「表表」の1通りだけが除かれるので ——確かに合っています。

【なぜ3項間になったか】「末尾が表」の場合にその1つ前まで指定されたからです。直前の状態だけで決まらず、2つ前まで遡る必要があるとき、漸化式は3項間になります。逆にいえば、3項間が出てきたら「2つ前まで見る必要がある構造だったのだ」と読めます。

場合の数の漸化式 ―― 「最後の1手」で割る

例題3で使った「末尾で場合分け」は、確率だけでなく場合の数そのものにも使えます。むしろこちらが本家です。

数え上げの問題を見て「 が具体的な数なら数えられるのに」と思ったら、それは漸化式の合図です。 の場合を や の場合で表せないかを考えてください。

例題4｜2×n をドミノで敷き詰める

図：右端の列に注目すると、縦1枚を置くか、横2枚を上下に置くかの2通りしかありません。斜めや、横1枚だけを置く置き方は成立しないからです。

右端がどうなっているかで場合分けします。

• 右端が縦1枚のとき　残りは → 通り
• 右端が横2枚のとき　上下ともに横向きになるしかなく、残りは → 通り

この2つに重複はありません（右端の縦横が違う）。漏れもありません（右上のマスを埋める方法はこの2つだけ）。よって

は 。フィボナッチ数列です。

【一般項まで出すなら】型9として を解くと 。黄金比 を使って 。実際に計算すると と一致します。整数しか出ないのに が入るのが面白いところで、これがビネの公式です。

例題5｜1が連続しない文字列

末尾で場合分けします。ただし「末尾が1」のときだけ、その前が制限されるのがポイントです。

• 末尾が2または3　前の 桁は自由（条件を満たしていればよい）→ 通り
• 末尾が1　その1つ前は2か3でなければならない。さらにその前の 桁は自由 → 通り

検算　。 を直接数えると、全 通りから「11」を含むもの 通り（ が3通り、 が3通り、重複する が1通りで ）を引いて 。一致します。 から まで全数え上げでも一致を確認しました。

例題6｜階段の上り方（3項間を超える）

最後の1歩で場合分けします。最後が1段なら残りは 段、2段なら 段、3段なら 段。よって

（トリボナッチ数列）。全数え上げと一致することを確認しました。

【4項間になったら】特性方程式は3次になり、高校範囲では一般項を出すのが困難です。入試でも、この形は「漸化式を立てよ」「 を求めよ」までしか問われません。一般項が出せなくても、漸化式さえ立てば順に計算して答えが出ます。「一般項を出すことがゴールではない」——ここは強調しておきます。

誘導の読み方 ―― 小問がなぜその順に置かれているか

入試の漸化式は、ほとんどが誘導つきです。誘導の意味が読めれば、出題者が何型を想定しているかが分かります。頻出の誘導と、その裏にある型を対応させます。

答案で減点されないための3行

漸化式の答案は、計算が合っていても断り書きの欠落で削られます。頻出の3行を挙げます。

練習問題 ―― 型を当ててから解く

まず「何型か」だけを口に出してから、解いてください。型が言えれば、あとは上の解説どおりです。

上記の一般項はすべて、実際に数列を第5項まで書き出して式の値と突き合わせ、一致を確認しています。検算は「答えが出たあとの作業」ではなく、解法の一部だと考えてください。

完全な答案例 ―― 確率漸化式を、最初から最後まで書く

「どこまで書けばいいのか」が分からないという相談が非常に多いので、省略なしの答案を1本お見せします。例題1（三角形の頂点移動）を、実際の解答用紙に書く形で再現します。

【逆に、書かなくてよいもの】不動点を求める計算そのもの（ を解く過程）は、答えだけ書けば十分です。省略してよいのは計算、省略してはいけないのは論理——この区別が答案の質を決めます。

応用練習 ―― 型が言えたら、半分終わっている

ここまでの内容を使う6問です。まず「何型か」を口に出してから解いてください。型さえ言えれば、あとは前半の解説どおりに手が動きます。

各型の2問目 ―― 数値を変えると、どこが変わるか

1問だけでは「その数値だから解けた」のか「型として解けた」のかが分かりません。主要7型について、数値と設定を変えた2問目を用意しました。1問目とどこが同じでどこが違うかに注目してください。

型3の2問目｜足す数が指数のとき

型5の2問目｜1次式が引かれるとき

型6の2問目｜ のとき（等差に落ちる）

型7の2問目｜逆数をとると係数が変わる

型8の2問目｜いちばん素朴な累乗型

型10の2問目｜差が符号を変えながら一定

型11の2問目｜ が の式で与えられる

同じ問題を、2つの型で解いてみる

型は絶対的な分類ではありません。1つの問題が複数の型で解けることがあります。前に出てきた を、2通りで解いてみます。

【どちらを選ぶか】試験では短いほう（解法A）を選びます。しかし型7だと気づけなかったときの保険が解法Bです。型12は「最後の手段」であって「劣った手段」ではありません。手が止まったら、まず から まで書き出す——これは常に正しい行動です。書き出せば規則が見えることも多く、見えなくても問題の感触がつかめます。

部分点の取り方 ―― 完答できなくても点は残る

漸化式の問題は、多くの場合途中まででも点がもらえる構造になっています。最後まで解ける自信がなくても、次のところまでは必ず書いてください。

【時間切れのときの優先順位】①漸化式を立てる → ②型を書く（「特性方程式を用いる」など方針を明記）→ ③不動点を出す → ④一般項。④まで行けなくても、①〜③が書いてあれば白紙とは全く違います。逆に、いきなり計算だけを書いて方針が読み取れない答案は、合っていても伝わりにくい。方針を1行書いてから計算に入る——これだけで答案の見え方が変わります。

漸化式と極限 ―― 不動点が答えそのものになる

数学III を履修する人にとって、漸化式は極限の問題としても出題されます。ここで前半の「不動点＝ と の交点」という見方が、そのまま武器になります。

不動点は より 。 なので

より 。よって 。

検算　。分数が に近づいていく様子が見えます。式からも一致します。

【なぜ収束するのか、図で】前半のクモの巣図に戻ってください。 だと折れ線が交点へ吸い寄せられました。あれがそのまま「極限が存在して不動点に等しい」ことの図解になっています。数学IIIの極限は、数学Bの漸化式と地続きです。

数学的帰納法の書き方 ―― 型12を確実に仕留める

型12（推測＋帰納法）で失点する人の多くは、推測は当たっているのに、証明の書き方が崩れています。帰納法の答案には決まった型があるので、そこだけ固めましょう。

まず書き出す。、、、。

ですから と推測できます。

【ちなみに、この問題は型7でも解けます】逆数をとると 。つまり は公差1の等差数列で、 だから 、よって 。同じ問題が2つの型で解ける——型は絶対的な分類ではなく、あくまで手がかりです。複数の道が見えたら、短いほうを選べばよい。

型4と型9の追加例題 ―― 数値を変えて手を動かす

総合例題 ―― 立式・一般項・極限を1本で

難関大では、確率漸化式・一般項・極限が1つの大問の中で連続して問われます。全部つながっていることを、1問で確認しましょう。

(1) 立式

積が3の倍数になるのは、それまでに一度でも 3 か 6 が出たときです。3 か 6 が出る確率は 。

回目までに積が3の倍数になるのは、次の2つの場合です。

• 回目までにすでに3の倍数　→ 回目に何が出ても条件を満たす　→ 確率
• 回目までは3の倍数でない　→ 回目に 3 か 6 が出る必要がある　→ 確率

この2つに重複はなく、漏れもありません。よって

(2) 一般項

型4です。不動点は より 、。

（1回目に3か6が出る確率）なので 。よって

(3) 極限

より 。よって 。

【答えの意味を確かめる】極限が というのは「投げ続ければ、いつかは必ず3か6が出る」ということ。直感どおりです。そしてこの は不動点の値そのものでした。(2) を解く前に、(1) の段階で「極限は1だろう」と見当がついていたことになります。不動点を出した瞬間に、(3) の答えは分かっている——これが前半で不動点を図で扱った理由です。

【補講】分子にも定数がある分数型の正攻法

型7の落とし穴で「 のように分子にも定数がある形は、逆数をとっても分解できない」と書きました。この形の正攻法をお見せします。ここでも使うのは不動点です。

この2次方程式の解が、この漸化式の不動点です。解が重解か2つかで、その後の処理が変わります。

【入試での位置づけ】この分数型は誘導なしで出ることはまずありません。「(1) とおくとき、 を で表せ」という小問が必ず付きます。誘導の の定義そのものが「不動点は1だ」と教えてくれている——そう読めれば、この型はもう怖くありません。前半の「誘導の読み方」の表に、この行を加えておいてください。

よくある質問

【補講】添字のずらし方 ―― と を自由に行き来する

この記事では、型11 で と書き、ほかの型では と書きました。この2つは同じものです。ここで混乱する人が多いので、書き換えの規則をはっきりさせておきます。

どれも「となり合う2項の比が2」と言っているだけで、内容は同一です。違うのは成り立つ の範囲だけ。

どちらで書くべきか

【実戦での使い分け】問題文で与えられた形をそのまま使うのが基本です。ただし途中で書き換えたほうが楽になる場面があります。たとえば型11で が出たとき、そのまま「公比2の等比数列」と読んでもよいのですが、 に書き換えてから を当てるほうが、公式の形と揃って安全です。書き換えたら、範囲の断りも書き換えることだけ忘れないでください。

よくある事故

添字は内容を変えない書き換えです。怖がる必要はありませんが、範囲だけは必ず連動させる。この一点さえ守れば、どの書き方で来ても同じように処理できます。

12型を固める学習手順

最後に、この記事の使い方を具体的な手順にしておきます。問題数をこなす前に、型の判定だけを反復するのが要点です。

【いちばんやってはいけないこと】型を知らないまま問題数をこなすことです。漸化式は「見た瞬間に方針が決まる」ようにするのがゴールで、そのためには問題を解く量ではなく、型を判定した回数が効きます。10問解くより、50問の型を判定するほうが、この単元では確実に速い。

本記事に登場するすべての一般項・確率・場合の数は、実際に数列を書き出す、あるいは全数え上げを行うプログラムで値を突き合わせ、一致を確認しています。検算は答え合わせのためではなく、解法の一部です。答えが出たら必ず、第3項あたりまでを手で計算して式と照合する習慣をつけてください。