問い：面積6m²の長方形で、横をx m、高さをy m、x＞0とします。横を長くすると高さは0になりますか。高さを0.01m未満にするには？
答え：有限の正のxでは0になりません。\(y=6/x\) なので、0.01m未満にするにはx＞600です。x＝600ではちょうど0.01mとなります。
横を6m、60m、600mにすると、高さは1m、0.1m、0.01m。高さは0へ近づきますが、面積6のまま高さ0にはできません。この例の横の漸近線はy＝0です。
漸近線は、グラフの端でどの直線へ近づくかを調べる道具です。途中で交わるかどうかだけでは決まりません。反比例から始め、分数関数・無理関数・指数対数・三角関数・媒介変数表示へ進みます。
まずは、縦・横・斜めの違いを確認
- 縦x＝a：少なくとも片側から近づくと、関数値が正または負の無限大へ発散する。
- 横y＝b：右端または左端で関数値が有限のbへ近づく。
- 斜めy＝mx＋n：m≠0で、その直線との高さの差が右端または左端で0へ近づく。
右端と左端は別々に判定します。本文では差の極限を定義に採用するので、直線と一致して差が常に0の例も条件を満たすとします。一致する場合を除く慣例を使う授業では、その追加条件を区別してください。\(\log\) は自然対数、三角関数の角度はラジアンです。
1．反比例で「近づく」を見る
\(y=6/x\) で|x|が大きくなると、|y|＝6/|x|は小さくなります。一方、xを0へ近づけると、右からはyが正に、左からは負に際限なく大きくなります。大きな分母で割ることと、小さな分母で割ることを分けて見ましょう。
「どれほど近く」を、数で指定する
任意のε＞0に対して、|x|＞6/εなら|6/x|＜εです。「0.01より近く」「0.0001より近く」と要求されても、その要求に合うxの範囲を示せます。これが、有限個の表だけを見る説明を一般の理由へ進める方法です。
縦の発散なら、任意のM＞0に対して0＜x＜6/Mなら6/x＞Mです。グラフがx＝0の近くにあるだけでは不十分で、関数値がどんな大きさも超えることが必要です。
2．反比例の符号と漸近線
\(y=a/x\)、a≠0、x≠0なら、縦はx＝0、横はy＝0です。a＞0とa＜0では枝の位置が入れ替わります。a＝0ならx≠0上でy＝0となり、縦の発散はありません。分子が0でないという条件を省かないようにします。
例題・確認1 反比例の大きさと極限
関数 \(y=\frac{12}{x}\) の漸近線を調べてください。また \(x=1000,\ 0.001\) のときの値を求めてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：縦は \(x=0\)、横は \(y=0\)。\(x=1000\) で \(y=0.012\)、\(x=0.001\) で \(y=12000\)。
ヒント：分母を大きくするときと、0へ近づけるときを分けます。
問1の途中式と理由
\(x\to0+\) では \(12/x\to+\infty\)、\(x\to0-\) では \(-\infty\) です。一方、\(x\to\pm\infty\) では \(12/x\to0\)。数値は \(12/1000=0.012\)、\(12/0.001=12000\) で、どちらも \(xy=12\) に戻せます。
例題・確認2 分子が負の反比例
関数 \(y=-\frac4x\) の漸近線を調べてください。また \(x=100,-100\) のときの値を求めてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=0\)。\(x=100\) で \(-0.04\)、\(x=-100\) で \(0.04\)。
ヒント：負の数を正・負の小さい数で割ったときの符号を確認します。
問2の途中式と理由
0の右側からは \(-4/x\to-\infty\)、左側からは \(+\infty\) なので、縦は \(x=0\) です。無限遠では絶対値 \(4/\lvert x\rvert\to0\) より、左右とも横は \(y=0\)。\(-4/100=-0.04\)、\(-4/(-100)=0.04\) です。
例題・確認3 分母に係数がある場合
関数 \(y=\frac1{2x}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=0\)。
ヒント：分母が0になる方程式は \(2x=0\) です。
問3の途中式と理由
\(1/(2x)=(1/2)/x\) と書くと、係数 \(a=1/2\) の反比例です。0の右で \(+\infty\)、左で \(-\infty\) となり、無限遠では0へ近づきます。係数が変わっても、この式の縦・横の漸近線は変わりません。
3．平行移動すると、漸近線も動く
\(y=a/(x-p)+q\)、a≠0は、反比例を右へp、上へq動かした式です。pやqが負なら、それぞれ左・下へ動かします。分母が0になるx＝pが縦、分数が0へ近づいた後に残るy＝qが横の漸近線です。
例えば \(y=6/(x-2)+3\) ならx＝2、y＝3。式の中がx−2なので右へ2です。分母を0にする値を解けば、移動方向の暗記だけに頼らず確かめられます。
例題・確認4 左と下への平行移動
関数 \(y=\frac1{x+1}-2\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne-1\)
答え：\(x=-1,\ y=-2\)。
ヒント：\(x+1=x-(-1)\) と読みます。
問4の途中式と理由
\(x\to-1\) で分数の分母だけが0へ近づき、少なくとも片側で発散します。したがって縦は \(x=-1\)。また \(f(x)-(-2)=1/(x+1)\to0\) より横は \(y=-2\)。\(y=1/x\) を左へ1、下へ2動かした図とも一致します。
例題・確認5 右への平行移動
関数 \(y=-\frac3{x-4}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne4\)
答え：\(x=4,\ y=0\)。
ヒント：分子の負号は枝の上下に関係します。
問5の途中式と理由
\(x\to4+\) で \(-\infty\)、\(x\to4-\) で \(+\infty\) となるため、縦は \(x=4\)。左右の無限遠では分数が0へ近づきます。例えば \(x=4.1\) で \(-30\)、\(x=3.9\) で30となり、枝の向きも確かめられます。
例題・確認6 定数項が前にある式
関数 \(y=2+\frac5x\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=2\)。
ヒント：\(f(x)-2\) を作ってみます。
問6の途中式と理由
\(f(x)-2=5/x\) なので、無限遠での差は0です。縦は \(x=0\) で、\(x\to0+\) なら \(+\infty\)、\(x\to0-\) なら \(-\infty\)。\(x=100\) で2.05、\(x=-100\) で1.95と、横の直線を上下から近づきます。
4．分数関数は、割り算と約分で調べる
分子・分母を多項式とする有理関数では、まず元の分母が0になる点を定義域から除きます。その点で分子が0でなければ発散します。分子も0なら、因数を約分して残った式の極限を調べます。約分しても、元の定義域の除外は残ります。
分子を分母で割り、商Qと余りRに分けると、\(P/D=Q+R/D\) です。余りの次数が分母より低ければ、無限遠でR/Dは0へ近づきます。
商が定数なら横、一次式なら斜めの漸近線を読めます。商が二次以上なら、近づく多項式曲線が分かっても、それを直線の漸近線とは呼びません。
例題・確認7 割り算で商と余りを分ける
関数 \(y=\frac{3x-1}{x+2}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne-2\)
答え：\(x=-2,\ y=3\)。
ヒント：\(3x-1\) と \(3(x+2)\) の差を求めます。
問7の途中式と理由
\(3x-1=3(x+2)-7\) より、
余りの項が0へ近づくので、横は \(y=3\)。\(x=-2\) では元の分子が \(-7\ne0\) であり、左右で発散するため縦は \(x=-2\)。展開して \(3(x+2)-7=3x-1\) を確認できます。
例題・確認8 横の漸近線が分数になる
関数 \(y=\frac{x+5}{2x-1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne\frac12\)
答え：\(x=1/2,\ y=1/2\)。
ヒント：分母を1/2倍すると、分子の \(x\) の項が揃います。
問8の途中式と理由
\(x+5=\tfrac12(2x-1)+\tfrac{11}{2}\) なので、
これより横は \(y=1/2\)。\(x=1/2\) で分子は \(11/2\ne0\) となり、縦の漸近線もあります。\(x=1\) を入れると両方の式が6になり、係数の取り違えを点検できます。
例題・確認9 約分で残る穴
関数 \(y=\frac{x^2-4}{x-2}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne2\)
答え：縦はありません。本記事の差の極限による定義では、斜めの \(y=x+2\) が条件を満たします。
ヒント：約分しても、元の定義域の除外は残します。
問9の途中式と理由
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) より、定義域内では \(f(x)=x+2\)。\(x\to2\) の極限は4で、発散しないため \(x=2\) は縦の漸近線ではありません。グラフは点 \((2,4)\) が抜けた直線です。無限遠で \(f(x)-(x+2)=0\) なので、冒頭の定義には合います。直線との一致を除く慣例を用いる授業では、その追加条件と区別してください。
\((x^2-4)/(x-2)\) はx≠2でx＋2に等しく、x→2では4に近づきます。x＝2は縦の漸近線ではなく穴です。一方、直線y＝x＋2との差は常に0なので、本文で採用した無限遠の定義には合います。
既存確認：横の漸近線と交わる関数
実数xで \(g(x)=2+(x-1)/(x^2+1)\)。横の漸近線と、その直線との交点を求めてください。
答え：左右ともy＝2、交点は(1,2)。縦はありません。ヒント：g(x)−2の極限と零点を別々に調べます。
分母は常に正で、差をx²で割ると \((1/x-1/x^2)/(1+1/x^2)\to0\)。交点ではx−1＝0なのでx＝1、g(1)＝2です。有限点で分母が0にならず連続なので、縦の発散もありません。
|x|≧1では差の絶対値は2/|x|以下。|x|＞max(1,2/ε)なら差はε未満です。途中で一度交わることと、端で近づくことは両立します。
既存確認：傾きの候補だけで決めてよい？
x≧0で \(f(x)=x+\sqrt{x}\) の右端に斜めの漸近線はありますか。
答え：ありません。ヒント：f(x)/xとf(x)−xの両方を調べます。
x＞0では \(f(x)/x=1+1/\sqrt{x}\to1\) なので、存在するなら傾きは1です。しかし任意の有限のnに対し \(f(x)-(x+n)=\sqrt{x}-n\to+\infty\)。切片が決まらず、漸近線はありません。\(f'(x)\to1\) でも同じで、接線の傾きの極限だけでは高さの差は決まりません。
5．極限の定義で、判定を確定する
縦x＝aでは、定義域からaへ近づける側について調べます。少なくとも一方の片側極限が＋∞または−∞なら縦の漸近線です。左右が異符号でも、同符号でもかまいません。「極限が存在しない」というだけでは、振動している可能性もあるため不十分です。
横y＝bではf(x)−b→0、斜めy＝mx＋nではf(x)−(mx＋n)→0を使います。斜めの直線までの垂直距離は \(|f(x)-(mx+n)|/\sqrt{1+m^2}\) で、分母は正の定数なので、この距離が0へ近づく条件と同値です。
斜めの候補は同じ方向の無限遠で、次の順に求めます。両方の極限が有限か確認してください。
ここでm＝0なら、得られた直線は横の漸近線です。mが出てもnが発散・振動すれば、直線の漸近線はありません。右端と左端で極限の向きを混ぜないようにします。
6．斜めの漸近線と、根号の左右差
例題・確認10 商が一次式になる分数関数
関数 \(y=\frac{x^2+1}{x}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=x\)。
ヒント：分子の各項を \(x\) で割れます。
問10の途中式と理由
無限遠で \(f(x)-x=1/x\to0\) なので、左右とも斜めは \(y=x\)。0の近くでは \(1/x\) が発散し、縦は \(x=0\) です。\(f(x)\) 自体は左右でそれぞれ \(+\infty,-\infty\) となるので、横の漸近線はありません。
例題・確認11 商の切片を確認する
関数 \(y=\frac{x^2-3x+4}{x-1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne1\)
答え：\(x=1,\ y=x-2\)。
ヒント：商を展開して余りまで元の分子へ戻します。
問11の途中式と理由
\(x^2-3x+4=(x-1)(x-2)+2\) より、
最後の項は無限遠で0となり、斜めは \(y=x-2\)。\(x=1\) では元の分子が2で、縦の漸近線があります。\(x=101\) では \(f(x)=99.02\) となり、商99との差は \(2/100\) です。
例題・確認12 縦の漸近線が2本ある
関数 \(y=\frac{x^3}{x^2-1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne\pm1\)
答え：\(x=-1,\ x=1,\ y=x\)。
ヒント：分母の方程式の解をすべて確認します。
問12の途中式と理由
余りの項は分母の次数が高いため無限遠で0へ近づきます。分母の零点 \(x=\pm1\) では、分子はそれぞれ \(\pm1\ne0\)。両方が縦の漸近線です。斜めは左右とも \(y=x\) で、\(x(x^2-1)+x=x^3\) と展開して検算できます。
例題・確認13 欠けた次数に0を補う
関数 \(y=\frac{2x^2+3}{x+1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne-1\)
答え：\(x=-1,\ y=2x-2\)。
ヒント：筆算では分子を \(2x^2+0x+3\) と並べます。
問13の途中式と理由
\(2x^2+3=(x+1)(2x-2)+5\) なので、
差の項が0へ近づくことから斜めは \(y=2x-2\)。\(x=-1\) では分子5が残るので縦の漸近線です。余りを3にしてしまうと、展開した式に余分な \(2x\) が残ります。
\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) の右端ではx＞0として有理化します。
左端では \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\) です。\(\sqrt{x^2+1}+x=1/(\sqrt{x^2+1}-x)\to0\) なので、左はy＝−xに近づきます。
例題・確認14 傾きの極限だけでは足りない
関数 \(y=x+\sqrt{x}\) の漸近線を調べてください。右端での斜めの漸近線が存在するか調べてください。
条件：\(x\geqq0\)
答え：\(x\to+\infty\) での斜めの漸近線はありません。
ヒント：傾きの候補を求めた後、差が有限値になるか調べます。
問14の途中式と理由
\(f(x)/x=1+1/\sqrt{x}\to1\) なので、候補の傾きは1です。しかし \(f(x)-x=\sqrt{x}\to+\infty\) となり、有限の切片を選べません。\(m\ne1\) なら \(f(x)-mx=(1-m)x+\sqrt{x}\) の一次の項が支配するため、やはり有限値に近づきません。\(x=0\) の右側の極限は0で、そこに縦の漸近線もありません。
例題・確認15 根号の左右で符号を変える
関数 \(y=\sqrt{x^2-6x}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\leqq0\ \text{または}\ x\geqq6\)
答え：右端で \(y=x-3\)、左端で \(y=-x+3\)。縦はありません。
ヒント：左端では \(\sqrt{x^2}=-x\) です。
問15の途中式と理由
定義域は \(x(x-6)\geqq0\) から求まります。端の0と6では関数値は0へ近づきます。右端では有理化して
左端では
後者の分母を \(-x\) で割ると、極限の符号を確認できます。平方完成 \(x^2-6x=(x-3)^2-9\) とも一致します。
例題・確認16 根号の最高次係数が4の場合
関数 \(y=\sqrt{4x^2+x}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\leqq-\frac14\ \text{または}\ x\geqq0\)
答え：右端で \(y=2x+1/4\)、左端で \(y=-2x-1/4\)。縦はありません。
ヒント：\(\sqrt{4x^2}=2\lvert x\rvert\) を先に確認します。
問16の途中式と理由
右端の傾きは2で、
左端の傾きは \(-2\) で、
定義域の有限の端 \(-1/4,0\) では値が0へ近づくため、縦の漸近線ではありません。\(4x^2+x=4(x+1/8)^2-1/16\) と平方完成しても、同じ2直線が得られます。
7．複雑な関数でも、同じ判定を使う
双曲線：傾きは係数の平方根から読む
a,b＞0で \(x^2/a^2-y^2/b^2=1\)。yについて解けば \(y=\pm(b/a)\sqrt{x^2-a^2}\) となります。左右の端で根号との差を有理化すると、2本の直線 \(y=\pm(b/a)x\) が得られます。a,bは分母のa²,b²の平方根です。
例題・確認17 双曲線と直線の高さの差
双曲線 \(x^2/9-y^2/16=1\) の漸近線を求めてください。また \(x=12,y>0\) の点と直線 \(y=(4/3)x\) の高さの差を求めてください。
条件：\(x,y\in\mathbb R\)
答え：漸近線は \(y=\pm(4/3)x\)。指定の高さの差は \(16-4\sqrt{15}\) です。
ヒント：正の枝を \(y\) について解き、直線の高さから引きます。
問17の途中式と理由
\(a=3,b=4\) より漸近線は \(y=\pm(4/3)x\)。\(x=12,y>0\) の点は \(y=(4/3)\sqrt{12^2-9}=4\sqrt{15}\) です。直線上では \(y=16\) なので、上にある直線から曲線を引いた差は
これは同じ \(x\) での高さの差で、点と直線の最短距離ではありません。
例題・確認18 漸近線と通る点から双曲線を定める
2直線 \(y=(3/2)x,\ y=-(3/2)x\) を漸近線とし、点 \((4,3\sqrt3)\) を通る双曲線の方程式を求めてください。
条件：\(x,y\in\mathbb R\)
答え：\(x^2/4-y^2/9=1\)。
ヒント：2直線の積が一定となる形を考えます。
問18の途中式と理由
与えられた2直線の交点が双曲線の中心で、ここでは原点です。漸近線に対応する二次式を使って
と置きます。点を代入すると \(k=16/4-27/9=1\)。求めた式の漸近線の傾きは \(\pm\sqrt{9/4}=\pm3/2\) で、点の条件も満たします。\(k<0\) なら上下に開く双曲線ですが、今回の点では \(k=1\) に定まります。
指数・対数：左右を別々に計算
\((2^x+1)/(2^x-1)\) はx＝0を除きます。右では2^xで割って1へ、左では2^x→0を入れて−1へ近づきます。x＝0では分母だけが0へ近づき、縦の発散があります。
例題・確認19 指数関数を含む分数の左右
関数 \(y=\frac{3^x-3}{3^x+1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\in\mathbb R\)
答え：右端で \(y=1\)、左端で \(y=-3\)。縦はありません。
ヒント：\(3^x\) は右端で無限大、左端で0へ近づきます。
問19の途中式と理由
右端では分数が0となり1へ、左端では分母が1となり \(-3\) へ近づきます。分母は常に正で、関数は実数全体で連続なので有限の点で発散しません。右端では1より下、左端では \(-3\) より上にあります。
例題・確認20 対数が残る差
関数 \(y=x+\log x\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x>0\)
答え：縦の \(x=0\) のみです。
ヒント：\(\log x/x\) と \(\log x\) の極限は異なります。
問20の途中式と理由
ここで \(\log\) は自然対数です。\(x\to0+\) で \(x+\log x\to-\infty\) より、縦は \(x=0\)。右端では \(f(x)/x=1+\log x/x\to1\) ですが、\(f(x)-x=\log x\to+\infty\) なので斜めの漸近線はありません。関数値自体も発散するため、横もありません。
例題・確認21 置き換えで基本の対数極限へ
関数 \(y=x\log\frac{x+1}{x}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x<-1\ \text{または}\ x>0\)
答え：縦の \(x=-1\) と、左右の横の \(y=1\)。
ヒント：無限遠では \(t=1/x\) と置きます。有限の端は別に調べます。
問21の途中式と理由
対数の中が正である条件から定義域が求まります。無限遠では
左側の端 \(x\to-1-\) では対数が \(-\infty\)、係数が \(-1\) へ近づくため、積は \(+\infty\) です。\(x\to0+\) では \(x\log(x+1)-x\log x\to0\)。この分解は \(x>0\) の側で使っており、\(x<-1\) にそのまま適用することはできません。
振動：揺れの幅が縮むか
\(x+\sin x/x\) では、直線y＝xとの差はsin x/x。絶対値が1/|x|以下なので、左右とも0へ近づきます。一方、x＝0に元の式は定義されませんが、sin x/x→1より有限の穴です。
\(e^{-x}\sin x\) は右端で絶対値がe^(−x)以下となり、横y＝0へ近づきます。左端については別の判定が必要で、同じ包絡線が縮むわけではありません。
\(x+\sin x\) の差はsin xのままです。\(x=\pi/2+2k\pi\) では1、\(x=3\pi/2+2k\pi\) では−1となるので収束しません。「直線に沿って見える」と「差が0になる」は別です。
例題・確認22 小さくなる振動と無限個の交点
関数 \(y=2x+\frac{\cos x}{x}\) の漸近線を調べてください。また斜めの漸近線との交点の \(x\) 座標を求めてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=2x\)。交点の \(x\) 座標は \(\pi/2+k\pi\)、\(k\in\mathbb Z\)。
ヒント：\(\lvert\cos x\rvert\leqq1\) と分母の0を両方使います。
問22の途中式と理由
0付近で \(\cos x\to1\) なので、右から \(+\infty\)、左から \(-\infty\) です。無限遠では
交点は \(\cos x=0\) から求まり、どの解も \(x\ne0\) を満たします。交点は無限個あります。
例題・確認23 分母が根号の振動
関数 \(y=x+\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\) の漸近線を調べてください。また斜めの漸近線との交点が何個あるか答えてください。
条件：\(x>0\)
答え：\(y=x\) のみ。交点は \(x=k\pi\)、\(k=1,2,\ldots\) の無限個。
ヒント：無限遠だけでなく、定義域の端0でも極限を確認します。
問23の途中式と理由
右端で \(\lvert f(x)-x\rvert\leqq1/\sqrt{x}\to0\) なので斜めは \(y=x\)。0の右側では
となり、縦の漸近線はありません。\(\sin x=0\) の解から正のものだけ選ぶと \(k\pi\)、\(k=1,2,\ldots\) です。
例題・確認24 小さくならない振動
関数 \(y=2x+\cos x\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\in\mathbb R\)
答え：縦・横・斜めの漸近線はいずれもありません。
ヒント：\(\cos x\) が異なる値を取る2つの数列で調べます。
問24の途中式と理由
実数全体で連続なので有限の点で発散しません。無限遠では一次の項が支配するため横もありません。傾きの候補は \(m=2\) ですが、\(f(x)-2x=\cos x\) は、\(x=2k\pi\) で1、\(x=(2k+1)\pi\) で \(-1\)。どちらの数列も右端へ向かうのに値が揃わず、切片の極限は存在しません。左端も同じ理由です。
例題・確認25 媒介変数の近づけ方
\(x=t/(t-1),\ y=t^2/(t-1)\) で表される曲線の漸近線をすべて求めてください。
条件：\(t\in\mathbb R,\ t\ne1\)
答え：\(x=1,\ y=x+1\)。
ヒント：\(t o1\) と \(t o\pm\infty\) で点の動きが違います。
問25の途中式と理由
\(t\to\pm\infty\) では \(x=1+1/(t-1)\to1\)、\(y\to\pm\infty\) となり縦は \(x=1\)。一方、\(y-x=t\) なので \(t\to1\) で \(y-(x+1)=t-1\to0\) です。このとき \(x\) は無限遠へ向かうため、斜めは \(y=x+1\)。消去すると \(t=x/(x-1)\)、
となり、同じ答えを確認できます。
8．漸近線と増減表を合わせて描く
定義域、片側極限、右端と左端の漸近線を先に記録します。その後、必要に応じて導関数・増減・極値・凹凸を調べます。漸近線だけで途中の形を一意に決めることはできません。
\(x^3/(x^2-1)=x+x/(x^2-1)\) なら、縦はx＝±1、斜めはy＝xです。定義域は3区間に分かれます。どの区間でも端の行き先と、途中の増減を組み合わせます。
例題・確認26 漸近線と交点・極値
関数 \(y=\frac{x^3}{x^2+1}\) の漸近線を調べてください。また曲線と漸近線の共有点、および極値の有無を調べてください。
条件：\(x\in\mathbb R\)
答え：漸近線は \(y=x\)。共有点は \((0,0)\)、極値はありません。
ヒント：割り算と微分を別々に進めます。
問26の途中式と理由
\(f(x)=x-x/(x^2+1)\) なので、左右とも \(f(x)-x\to0\)。分母は常に正で、有限の点で発散しません。共有点は \(-x/(x^2+1)=0\) より原点です。
で、0以外では正、0を挟んでも符号が変わりません。関数は単調に増加し、0でも極値を取りません。導関数が0というだけで極値とは決められません。
例題・確認27 余りの零点が交点になる
関数 \(y=\frac{x^3-8x-1}{x^2-9}\) の漸近線を調べてください。また曲線と漸近線の交点を求めてください。
条件：\(x\ne\pm3\)
答え：\(x=-3,\ x=3,\ y=x\)。交点は \((1,1)\)。
ヒント：商と余りを求め、余りが0になる点も調べます。
問27の途中式と理由
余りの項は無限遠で0となり、斜めは \(y=x\)。元の分子は3で2、\(-3\) で \(-4\) なので、どちらも縦の漸近線です。両方の点で、左からは \(-\infty\)、右からは \(+\infty\) となります。交点は \(x-1=0\) より \(x=1\)。定義域を満たし、元の式にも代入すると \((-8)/(-8)=1\) です。
例題・確認27では直線との差が \((x-1)/((x-3)(x+3))\)。区間x＜−3、−3＜x＜1、1＜x＜3、x＞3で順に負・正・負・正です。したがって曲線は直線の下・上・下・上に位置します。交点x＝1は元の定義域にも含まれます。
この有理関数は各定義域区間で連続です。x＜−3の区間は両端で−∞なので途中に最大値を持ち、x＞3の区間は両端で＋∞なので途中に最小値を持ちます。この存在の議論には連続性と両端の振る舞いを使っています。具体的な位置や個数は微分などでさらに調べます。
9．間違いやすい判定を点検
- 分母0は候補。約分後の発散を確かめる。
- 約分しても元の定義域を広げない。
- 右端と左端を別々に調べる。
- 傾きの候補だけでなく、切片の極限も調べる。
- m＝0は横の直線の候補で、直ちに「なし」ではない。
- 商が二次以上の多項式を直線と呼ばない。
- 振動の有無だけで決めず、振幅が縮むか確認する。
- 途中の交点があっても漸近を否定しない。
- 根号からxを出すとき、|x|を確認する。
- 漸近線と増減表を別に作り、最後に整合を確かめる。
10．確認テスト12問と、条件を考える追加問題
次の確認28〜39は、既存の確認テスト12問です。答えとヒントを読んだら、どの極限が根拠なのか自分の言葉で説明してみてください。
例題・確認28 確認1：反比例
関数 \(y=\frac8x\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=0\)。
ヒント：0付近と無限遠を分けて調べます。
問28の途中式と理由
\(x\to0+\) で \(+\infty\)、\(x\to0-\) で \(-\infty\) です。一方、\(\lvert8/x\rvert=8/\lvert x\rvert\to0\) より、横は左右とも \(y=0\)。同じ向きの無限遠に斜めの漸近線が追加されることはありません。
例題・確認29 確認2：上への移動
関数 \(y=\frac6x+3\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne0\)
答え：\(x=0,\ y=3\)。
ヒント：\(f(x)-3\) に注目します。
問29の途中式と理由
\(f(x)-3=6/x\) なので、無限遠で3との差が0へ近づきます。0付近ではこの分数が発散するため、縦は \(x=0\)。上下に3移動しても、縦の直線の位置は変わりません。
例題・確認30 確認3：分母の零点
関数 \(y=\frac2{x-5}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne5\)
答え：\(x=5,\ y=0\)。
ヒント：\(x-5=0\) を解きます。
問30の途中式と理由
\(x\to5+\) で \(+\infty\)、\(x\to5-\) で \(-\infty\) となるため、縦は \(x=5\)。無限遠では分母の絶対値が限りなく大きくなり、分数は0へ近づきます。例えば \(x=1005\) では \(2/1000=0.002\) です。
例題・確認31 確認4：枝がある位置
関数 \(y=-\frac4{x+1}+2\) の漸近線を調べてください。また、漸近線の交点を基準として枝がどちら側にあるか答えてください。
条件：\(x\ne-1\)
答え：\(x=-1,\ y=2\)。交点 \((-1,2)\) を基準に、枝は左上と右下です。
ヒント：\(y-2\) の符号を \(x+1\) の符号から判断します。
問31の途中式と理由
縦は分母の零点 \(x=-1\)、横は \(f(x)-2=-4/(x+1)\to0\) から \(y=2\) です。\(x>-1\) なら \(y-2<0\) で右下、\(x<-1\) なら \(y-2>0\) で左上になります。漸近線の位置だけでなく、余りの符号まで使った判定です。
例題・確認32 確認5：係数の比と割り算
関数 \(y=\frac{4x+5}{x-1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne1\)
答え：\(x=1,\ y=4\)。
ヒント：\(4x+5=4(x-1)+9\) を使います。
問32の途中式と理由
無限遠での差が0より横は \(y=4\)。\(x=1\) では分子が9なので、左右で発散します。右端では \(9/(x-1)>0\) となり、横の直線の上から近づきます。
例題・確認33 確認6：約分しても穴は残る
関数 \(y=\frac{x^2-9}{x-3}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne3\)
答え：縦はありません。差の極限による定義では \(y=x+3\) が斜めの条件を満たします。
ヒント：\(x=3\) の除外を約分後にも残します。
問33の途中式と理由
\(f(x)=x+3\) が成り立つのは \(x\ne3\) の範囲です。\(x\to3\) で値は6に近づき、縦の漸近線ではありません。グラフは直線から \((3,6)\) を除いたものです。無限遠での差は恒等的に0なので、本記事の定義では \(y=x+3\) を含めます。
例題・確認34 確認7：左右とも上へ発散
関数 \(y=\frac3{(x-2)^2}+1\) の漸近線を調べてください。さらに、2の右側と左側から近づけたときの極限を比較してください。
条件：\(x\ne2\)
答え：\(x=2,\ y=1\)。\(x\to2+\) も \(x\to2-\) も \(+\infty\) です。
ヒント：2乗した分母は左右とも正です。
問34の途中式と理由
\((x-2)^2\to0+\) なので、どちら側からも \(3/(x-2)^2\to+\infty\)。無限遠ではこの項が0となり、横は \(y=1\) です。定義域内で常に \(f(x)>1\) なので、曲線は横の漸近線の上にあります。
例題・確認35 確認8：分母が二次式
関数 \(y=\frac{2x^2+1}{x^2-4}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne\pm2\)
答え：\(x=-2,\ x=2,\ y=2\)。
ヒント：分母を因数分解した後、2点それぞれで分子を確認します。
問35の途中式と理由
\(x=\pm2\) では分子が9で0ではないため、縦が2本あります。また
なので横は \(y=2\)。最高次の係数の比 \(2/1\) とも一致しますが、縦の判定はこの比からはできません。
例題・確認36 確認9：平方に分ける
関数 \(y=\frac{x^2+2x+3}{x+1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\ne-1\)
答え：\(x=-1,\ y=x+1\)。
ヒント：分子を \((x+1)^2+2\) と見ます。
問36の途中式と理由
無限遠で \(f(x)-(x+1)\to0\) より、斜めは左右とも \(y=x+1\)。\(x=-1\) では元の分子2が残り、左右で発散するため縦の漸近線があります。
例題・確認37 確認10：2本の水平線
関数 \(y=\frac{3\cdot2^x+1}{2^x+1}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\in\mathbb R\)
答え：右端は \(y=3\)、左端は \(y=1\)。縦はありません。
ヒント：\(3-2/(2^x+1)\) と変形します。
問37の途中式と理由
\(f(x)=3-2/(2^x+1)\) より、右端では3、左端では \(3-2=1\) へ近づきます。分母は常に1より大きく、関数は実数全体で連続です。有限の点で発散するところはありません。左右で異なる横の漸近線を持つ例です。
例題・確認38 確認11：根号の切片の符号
関数 \(y=\sqrt{x^2+4x}\) の漸近線を調べてください。
条件：\(x\leqq-4\ \text{または}\ x\geqq0\)
答え：右端は \(y=x+2\)、左端は \(y=-x-2\)。縦はありません。
ヒント：平方完成と有理化の両方で符号を確認できます。
問38の途中式と理由
右端では
左端では
定義域の端 \(-4,0\) では0へ近づき、縦の漸近線ではありません。\(x^2+4x=(x+2)^2-4\) なので、図は \(x=-2\) に関して対称です。
例題・確認39 確認12：縦の漸近線をなくす条件
関数 \(y=\frac{x^2+ax+2}{x-1}\) の漸近線を調べてください。縦の漸近線を持たないように定数 \(a\) を定め、そのときのグラフを述べてください。
条件：\(a\in\mathbb R,\ x\ne1\)
答え：\(a=-3\)。グラフは \(y=x-2\) から点 \((1,-1)\) を除いたものです。
ヒント：分母の因数 \(x-1\) が分子でも因数になる条件を求めます。
問39の途中式と理由
分子を \(x=1\) で評価すると \(a+3\)。これが0でないと左右で発散するので、必要なのは \(a=-3\) です。このとき \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) と約分でき、極限は \(-1\) で有限。条件は十分でもあります。\(x=1\) の除外は残します。差の極限による定義では、無限遠で \(y=x-2\) が斜めの条件を満たします。
追加確認43 多項式には近づくが、直線には近づかない
\(f(x)=(x^3+1)/x\)、x≠0。右端で近づく直線はありますか。\(f(x)-x^2\) の極限も求めてください。
答え：直線はありません。二次曲線との差は0へ近づきます。
ヒント：任意の直線との差をx²で割ります。
追加確認43の途中式と理由
\(f(x)=x^2+1/x\) なので、\(f(x)-x^2=1/x\to0\)。任意の有限のm,nに対し、\([f(x)-(mx+n)]/x^2\to1\)。したがって差自体は＋∞となり、直線には近づきません。
追加確認44 縦の漸近線上に、関数の点があってもよい？
x≠0で \(f(x)=1/x\)、x＝0でf(0)＝2と定めます。x＝0は縦の漸近線ですか。
答え：はい。さらにグラフはその直線上の点(0,2)を持ちます。
ヒント：一点の値と、その近くでの極限を分けます。
追加確認44の途中式と理由
x＝0の値を変えても、0＜xやx＜0の式は1/xのままです。右の極限は＋∞、左は−∞なので、縦の漸近線はx＝0。f(0)＝2より(0,2)もグラフ上にあります。「縦の漸近線とは決して交わらない」という一般化への反例です。
追加確認45 どれだけ遠くへ行けば、誤差を小さくできる？
\(f(x)=x+\sin x/x\)、x≠0。ε＞0に対して、直線y＝xとの高さの差をε未満にする十分なxの条件を示してください。
答え：\(|x|>1/\varepsilon\) なら十分です。
ヒント：|sin x|≦1を使います。
追加確認45の途中式と理由
\(|f(x)-x|=|\sin x|/|x|\leqq1/|x|\)。|x|＞1/εなら最後の量がε未満です。これは十分条件で、必要条件ではありません。例えばxが0でないπの整数倍なら差は0です。
11．よくある質問
漸近線はグラフと交わらない直線ですか。
交わる場合もあります。横・斜めは無限遠での差、縦は片側での発散で判定します。途中の交点の有無だけでは決まりません。
分母が0になれば、縦の漸近線ですか。
候補にはなりますが、約分で穴だけが残る場合があります。元の定義域を保持し、片側の関数値が正または負の無限大へ発散するか確認します。
横の漸近線は2本ありますか。
右端と左端で異なる値へ近づけば2本あります。同じ方向の端に、異なる2つの有限な極限値を持つことはありません。
斜めの傾きが求まったら終了ですか。
切片に対応するf(x)−mxも有限値へ収束する必要があります。x＋√xは傾きの候補1が出ても、差が発散します。
直線と一致する場合も漸近線ですか。
この記事の差の極限による定義では含めます。一致を除く慣例を採る場合は、追加の除外条件を明示して区別します。
割り算の商が二次式ならどうしますか。
二次曲線との差が0へ近づくことはありますが、本文で調べる直線の漸近線とは区別します。任意の直線との差が0になるかを調べます。
振動する関数にも漸近線がありますか。
振幅が縮めば存在する場合があります。sin x/xは0へ近づきますが、sin x自体は0へ収束しません。
漸近線だけでグラフを完成できますか。
端の振る舞いは分かりますが、途中の増減や極値を決めるには微分などが必要です。両方の情報を組み合わせます。
有限の点の値があっても、縦の漸近線になりますか。
なります。x≠0で1/x、x＝0で2という関数では、左右で発散しながら(0,2)もグラフ上にあります。
数値をいくつか代入するだけで証明になりますか。
一般の極限の証明にはなりません。式変形や評価により、どれほど小さい誤差にも対応できる範囲を示します。数値代入は計算の検算として役立ちます。
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2026年9月13日。全文編集・図と数学の検証：Codex。既存42問と説明図17点を保持し、追加3問と比較図2点を統合しました。今回の人間講師による個別監修完了は確認していません。追加問題と比較図は本稿用の独自制作です。外部の問題集・入試問題の転載はしていません。
