最初に、終了する条件を確かめる問題です。
赤が2回続いたら終了｜3つの確率を考えよう
袋には赤球2個と白球3個が入っています。よく混ぜて1個を無作為に取り出し、色を見てからその球を戻します。各回の取り出しは独立に行うものとし、赤球が2回続けて出た時点で終了します。
- ちょうど3回目で終了する確率を求めてください。
- 4回目までに終了しない確率を求めてください。
- 4回目までに終了しなかったとき、1回目に赤が出ていた条件付き確率を求めてください。
赤の確率は \(\frac25\)、白の確率は \(\frac35\) です。まず「赤赤で終わった後は、実際の操作を続けない」ところに注意して、枝を分けてみましょう。
考えるためのヒント
第1問では、最後の2回が赤でも、その前にすでに終了していないか確かめます。第2問では「未終了で、最後が白」「未終了で、最後が赤」を分けると、次の1回を追いやすくなります。
全統記述模試などの確率対策で、操作を繰り返す問題に取り組むための解説です。既存のオリジナル演習を使い、終了時刻と条件付き確率を分けて整理します。特定回の出題頻度や、今後の設問構成を断定するものではありません。
第1問｜ちょうど3回目なら、最初は白
3回目に初めて赤が2回続くには、2回目と3回目が赤です。1回目も赤だと2回目に終了してしまうため、1回目は白に限られます。
\[P(T=3)=\frac35\cdot\frac25\cdot\frac25=\frac{12}{125}.\]
ここで \(T\) は終了する回数です。「3回目で終了」は \(T=3\)、「3回目までに終了」は \(T\leqq3\) を意味し、違う事象です。最も早い終了は2回目なので、後者には2回目に終了する場合も加えます。
\[P(T\leqq3)=\frac4{25}+\frac{12}{125}=\frac{32}{125}.\]
第2問｜未終了の二つの状態を追う
\(n\) 回目まで未終了で、最後が白である確率を \(S_n\)、最後が赤である確率を \(A_n\) とおきます。どちらも「未終了であると分かった後」の条件付き確率ではなく、開始前から見た事象の確率です。
開始時を便宜上 \(S_0=1,A_0=0\) とします。開始時に実際に白を取り出したという意味ではありません。次に白ならどちらからも継続でき、次に赤なら \(S_n\) からだけ継続できます。
\[S_{n+1}=\frac35(S_n+A_n),\qquad A_{n+1}=\frac25S_n.\]
\(A_n\) から赤を引いた \(\frac25A_n\) は終了する確率なので、未終了の表には加えません。
| 回数 | 最後が白 S | 最後が赤 A |
|---|---|---|
| 0 | \(1\) | \(0\) |
| 1 | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) |
| 2 | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{6}{25}\) |
| 3 | \(\frac{63}{125}\) | \(\frac{6}{25}\) |
| 4 | \(\frac{279}{625}\) | \(\frac{126}{625}\) |
4回目まで未終了である確率は、4回後の二つの状態の和です。
\[P(T>4)=S_4+A_4=\frac{279+126}{625}=\frac{81}{125}.\]
状態の確率の和が1より小さいのは、終了した場合を除いているためです。毎回その和を1に直すと、求めている確率が変わってしまいます。
第3問｜分子にも「未終了」を含める
\(B\) を「4回目まで未終了」、\(C\) を「1回目が赤」とします。条件付き確率は、
\[P(C\mid B)=\frac{P(C\cap B)}{P(B)}\qquad(P(B)>0).\]
分母は第2問の \(\frac{405}{625}\) です。分子は「1回目が赤、かつ4回目まで未終了」で、単に赤の確率 \(\frac25\) ではありません。
1回目が赤なら、未終了でいるには2回目は白です。この時点の確率は \(\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}\)。3回後は、最後が白の確率が \(\frac{18}{125}\)、赤の確率が \(\frac{12}{125}\) となります。4回後はそれぞれ \(\frac{90}{625}\)、\(\frac{36}{625}\) です。
\[\begin{aligned}P(C\cap B)&=\frac{126}{625},\\P(C\mid B)&=\frac{126}{405}=\frac{14}{45}.\end{aligned}\]
条件を知る前の \(\frac25\) より小さくなりました。1回目が赤だと、2回目にも赤を引いて早く終了する場合があるためです。計算結果が状況と合うかも確かめてください。
8通りあるから8/16？｜結果の確率は同じではありません
別の方法でも検算しましょう。実際には終了後に引きませんが、計算上はあらかじめ独立な4回分の色を用意したと考えられます。最初の4色に赤赤がなければ未終了です。赤をR、白をWと書くと、該当する並びは次の8通りです。
| 色の並び | 確率 |
|---|---|
| RWRW | \(\frac{36}{625}\) |
| RWWR | \(\frac{36}{625}\) |
| RWWW | \(\frac{54}{625}\) |
| WRWR | \(\frac{36}{625}\) |
| WRWW | \(\frac{54}{625}\) |
| WWRW | \(\frac{54}{625}\) |
| WWWR | \(\frac{54}{625}\) |
| WWWW | \(\frac{81}{625}\) |
赤2個・白3個なので、色の並び16通りは同様に確からしくありません。例えばWWWWの確率は \(\frac{81}{625}\)、RWRWは \(\frac{36}{625}\) で異なります。単に \(\frac8{16}\) とすることはできません。
表の分子の和は405、1文字目がRの行の分子の和は126です。したがって第2問・第3問と一致します。条件付きの標本空間で8通りから3通りを選んで \(\frac38\) とする計算も、同じ理由で使えません。
回数が増えたら、同じ状態分けを漸化式へ
この問題の次の動きは、未終了なら「最後が赤かどうか」で決まります。そのため二つの状態で追えます。別の終了条件、たとえば赤が3回続く問題では、連続した赤の数を0・1・2回に分けるなど、状態を見直す必要があります。
一般に終了が初めて起こる回数を考えると、\(n\geqq1\) について、
\[P(T=n)=P(T>n-1)-P(T>n).\]
今回なら2回目、3回目、4回目で終了する確率を加え、4回目まで未終了の確率と合わせて1になることも確認できます。
\[\frac4{25}+\frac{12}{125}+\frac{12}{125}+\frac{81}{125}=1.\]
「状態を決める」「次の1回でどこへ移るか書く」「求める事象を集める」という順序が、この問題では役立ちます。問題ごとの条件を読んで、同じ分け方が使えるか判断しましょう。
2026年9月9日更新。既存オリジナル演習の3設問と解答を保持し、独立性の条件を明記。図を縦型に描き直し、状態表・重み付き全列挙の表を追加しました。編集・作図・数学確認はCodex、今回の講師個別監修は未実施です。特定の模試の問題文を転載したものではありません。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学I・Aの要点辞典：確率 にまとめてあります。
