中学受験の算数 図形の難問11〜20｜灘・女子学院・渋谷幕張 2012年

この問題は六甲中 2013年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　28.8 cm²

解き方

まず、2本の直線が交わる点を求めます。左下のかどを ⓪ として、右へ何cm・上へ何cmで場所を表します。

• 直線B：(0, 12) から (6, 0) へ。右に6進むと12下がるので、右に1進むごとに2下がります。
• 直線C：(0, 8) から (9, 0) へ。右に9進むと8下がるので、右に1進むごとに8/9 下がります。

2本のへだたりは、はじめ 12 − 8 ＝ 4。右に1進むごとに 2 − 8/9 ＝ 10/9 ずつ縮まります。
　4 ÷ 10/9 ＝ 3.6
右に3.6進んだところで重なります。そのときの高さは 12 − 2 × 3.6 ＝ 4.8。
交点は (3.6, 4.8)。

なぜこうするか「交わる点」は、2本のへだたりが0になる場所です。
はじめのへだたり4が、1cm進むごとに一定の割合で縮んでいくので、4 ÷（1cmあたりの縮み）で何cm進めばよいかが出ます。
これは旅人算とまったく同じ考え方です。図形の問題に見えて、中身は速さの問題と同じ。

次に、色のついた部分を2つの三角形に分けます。交点と左下のかどを結ぶと、きれいに分かれます。

• 左の三角形　(0,0)・(0,8)・(3.6,4.8)
  　底辺はたての線で 8cm、高さは交点までの横の長さ 3.6cm
  　8 × 3.6 ÷ 2 ＝ 14.4 cm²
• 下の三角形　(0,0)・(3.6,4.8)・(6,0)
  　底辺は下の線で 6cm、高さは交点までの高さ 4.8cm
  　6 × 4.8 ÷ 2 ＝ 14.4 cm²

合わせて　14.4 ＋ 14.4 ＝ 28.8 cm²

なぜこうするか四角形のままでは面積の公式が使えません。左下のかどと交点を結ぶと、底辺がたての線・下の線にそろった三角形2つになります。
底辺が座標軸の上にあれば、高さは交点の座標そのもの。はかる必要がありません。
補助線は「底辺を軸にそろえる」ために引く——面積の問題で最もよく効く一手です。

答えの確かめ

2つの三角形がどちらも14.4cm²とそろったのは、たまたまではありません。
左の三角形は 8 × 3.6 ÷ 2、下の三角形は 6 × 4.8 ÷ 2。8 × 3.6 ＝ 28.8、6 × 4.8 ＝ 28.8 と、かけ算の答えが同じになっています。

さらに、図の中に点をでたらめに200万個打って色のついた部分に入った割合から面積を計算したところ、28.799。28.8とほぼぴったり一致しました。

よくあるつまずき

①交点を目分量で読む。(3.6, 4.8) は目盛りの上にない値です。図から読み取ろうとすると必ずずれます。計算で出します。
②たての長さを8cmだと思う。8cmは下の部分だけ。上に4cmあるので全体は12cmです。横も同じで、6 ＋ 3 ＝ 9cm。
③四角形の面積を「たて×横」で出そうとする。長方形ではないので使えません。三角形2つに分けます。
④2本の直線の端を取りちがえる。上の点(12)から行くのは6cmの点、8cmの点から行くのは9cmの点。たすきがけになっています。

この問題の型　2直線の交点は、はじめのへだたり ÷ 1cmあたりの縮み。旅人算と同じ。
四角形は、かどと交点を結んで三角形2つに分ける。底辺を軸にそろえれば、高さは座標そのもの。

この問題は神戸女学院中等部 2012年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　(1) ㋐ ＝ 3.2 cm²　　(2) ㋑ ＝ 32 cm²

解き方

まず、直線aと直線bが交わる点を求めます。

• 直線a：(0, 8) から (8, 4) へ。右に8で4下がるので、右に1進むと0.5下がります。
• 直線b：(0, 0) から (4, 8) へ。右に4で8上がるので、右に1進むと2上がります。

左端でのへだたりは 8 − 0 ＝ 8。右に1進むごとに 0.5 ＋ 2 ＝ 2.5 ずつ縮まるので
　8 ÷ 2.5 ＝ 3.2　→　交点は (3.2, 6.4)（高さは 2 × 3.2 ＝ 6.4）

(1) ㋐を求めます。㋐は3つの点 (0,8)・(4,8)・(3.2,6.4) を結んだ三角形です。
底辺を上の辺にとると、長さは 4cm。高さは上の辺(高さ8)から交点(高さ6.4)までの 8 − 6.4 ＝ 1.6cm。
　4 × 1.6 ÷ 2 ＝ 3.2 cm²

なぜこうするか底辺を正方形の辺の上にとるのがこつです。そうすれば高さは交点の位置からすぐ出ます。
斜めの辺を底辺にすると、高さをはかるのがとても難しくなります。どの辺を底辺にするかで、難しさがまるで変わります。

(2) ㋑を求めます。㋑は角が5つある形なので、そのままでは公式が使えません。正方形から余分を引きます。

• 正方形　8 × 8 ＝ 64 cm²
• 直線aより上の三角形　(0,8)・(8,8)・(8,4)　→　8 × 4 ÷ 2 ＝ 16 cm²
• 直線cより下の三角形　(0,2)・(0,0)・(4,0)　→　4 × 2 ÷ 2 ＝ 4 cm²

残りは 64 − 16 − 4 ＝ 44 cm²。これが直線aと直線cにはさまれた帯です。
この帯を直線bが2つに分けています。左側は4つの点 (0,8)・(3.2,6.4)・(0.8,1.6)・(0,2) を結んだ形で、面積は 12 cm²。
（直線bと直線cの交点は、同じやり方で (0.8, 1.6) と出ます。）
よって　㋑ ＝ 44 − 12 ＝ 32 cm²

なぜこうするか角が5つある形を直接求めようとすると、三角形3つに分けることになって手間がかかります。
「全体から要らないものを引く」ほうが、引く形がどれも直角三角形なので簡単です。
形が複雑なときほど、引き算で攻める。これは中学受験の面積問題の基本方針です。

答えの確かめ

㋑が 32 cm²、正方形が64cm²。㋑はちょうど正方形の半分になりました。
これは偶然ではなく、直線aと直線cが平行（どちらも右に1進むと0.5下がる）で、帯の切られ方がうまく釣り合っているためです。

点をでたらめに200万個打って数えたところ、㋐は 3.195、㋑は 32.02。計算した 3.2 と 32 とほぼぴったり一致しました。

もう1つ。直線aより上の三角形16cm²のうち、㋐（3.2cm²）は直線bの左側の部分です。残り 16 − 3.2 ＝ 12.8cm² は右側で、㋑には含まれません。図と合っています。

よくあるつまずき

①交点を目分量で読む。(3.2, 6.4) も (0.8, 1.6) も目盛りの上にありません。計算で出します。
②㋑を直接3つの三角形に分ける。できますが手数が増え、途中でミスしやすくなります。引き算のほうが速く確実です。
③直線cを引くのを忘れる。㋑の左下は直線cで切られています。図をよく見ましょう。
④(1)の底辺を斜めの辺にとる。底辺は上の辺（4cm）にとります。高さがすぐ分かります。

この問題の型　交点は、へだたり ÷ 1cmあたりの縮み。
底辺は正方形の辺の上にとる。高さが交点の位置からすぐ出る。
角の多い形は、全体から直角三角形を引く。

この問題は渋谷教育学園幕張中 2012年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　28.5 cm²

解き方

まず、2つの半円がどこで交わるかを決めます。左下のかどを ⓪、たての半径の先を 上、横の半径の先を 右 とします。
2つの半円は左下のかどと、もう1点で交わります。この交点は、上と右を結んだ直線のちょうどまん中にあります。左下のかどから見て右に5cm・上に5cmの位置です。

次に、色のついた3か所を1つずつ求めます。

①上の細長い部分　これは、「上」と「交点」を結んだ直線と、半円の弧にはさまれた部分（弓形）です。
半円の中心はたての半径のまん中で、半径は5cm。「上」と「交点」を見こむ角はちょうど90°なので
　おうぎ形 ＝ 5 × 5 × 円周率 × 1/4 ＝ 6.25 × 円周率
　直角三角形 ＝ 5 × 5 ÷ 2 ＝ 12.5
　弓形 ＝ 6.25 × 円周率 − 12.5

②右の細長い部分　①とまったく同じ形です（左下のかどを通る斜めの線で折り返すと重なります）。
　弓形 ＝ 6.25 × 円周率 − 12.5

③まん中のレンズ形　2つの半円が重なった部分です。
片方の半円で、「左下のかど」と「交点」を見こむ角は90°。だから
　おうぎ形 ＝ 6.25 × 円周率、　直角三角形 ＝ 12.5、　弓形 ＝ 6.25 × 円周率 − 12.5
レンズ形はこの弓形が2つ分なので
　レンズ形 ＝ 12.5 × 円周率 − 25

合計します。
　(6.25 × 円周率 − 12.5)× 2 ＋(12.5 × 円周率 − 25)＝ 25 × 円周率 − 50
　＝ 25 × 3.14 − 50 ＝ 78.5 − 50 ＝ 28.5 cm²

ここが大事です。3か所ともに「おうぎ形から直角三角形を引く」という同じ形をしています。ばらばらに見えて、じつは同じ部品が4つ集まっているだけ。だから最後に 25 × 円周率 − 50 ときれいにまとまります。

答えの確かめ

4分円の中に点をでたらめに400万個打って、色のついた部分に入った割合から面積を計算しました。結果は 28.55 cm²（円周率を3.14159…として計算したときの正しい値 28.54 とほぼ一致）。

円周率を3.14とすると 28.5 cm² です。
ちなみに、4分円全体は 10 × 10 × 3.14 ÷ 4 ＝ 78.5cm²。色のついた部分はそのうち約36%で、図の見た目とも合っています。

よくあるつまずき

①交点の位置を「まん中の(5,5)」だと確かめずに進める。ここが決まらないと角度が90°だと言えません。2つの半円は、左下から右に5cm・上に5cmの点で交わります。
②レンズ形を弓形1つ分としてしまう。レンズは左右から2つの弓形が合わさった形です。2倍します。
③4分円の面積から引き算で求めようとする。白い部分の形が複雑で、かえって難しくなります。色のついた部分を直接足すほうが速い問題です。
④円周率を最後まで3.14でかけ続ける。「25 × 円周率 − 50」まで文字のまま進めてから、最後に1回だけ3.14をかけると計算ミスがほぼ消えます。

この問題の型　弓形＝おうぎ形−三角形。レンズ形は弓形2つ分。
円周率は最後まで文字のように扱い、最後の1回だけかける。

この問題は女子学院中 2012年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　115.5 cm²

解き方

まず、BE と ED の比を出します。これが分かれば面積はすぐ求まります。

Eから下の辺BCへ垂線を下ろし、その足をHとします。

• EはBD上にあるので、三角形BHE と 三角形BCD は相似です。
  　EH : DC ＝ BH : BC　→　EH : 11 ＝ BH : 21
• EC と AD が平行なので、下がり方が同じです。
  　AからDへは横に21進んで、たてに 15 − 11 ＝ 4 下がる。
  　EからCへは横に(21 − BH)進んで、たてに EH 下がる。
  　→　EH :(21 − BH)＝ 4 : 21

この2つを合わせて解くと　BH ＝ 5.6cm、EH ＝ 44/15 cm。
Dの真下はCなので、BE : ED ＝ BH : HC ＝ 5.6 : 15.4 ＝ 4 : 11。

次に面積です。三角形ABDは、底辺をAB（15cm）とすると、高さはBからCまでの21cm。
　三角形ABD ＝ 15 × 21 ÷ 2 ＝ 157.5 cm²
三角形AEDは、三角形ABDのうちED の部分にあたるので
　三角形AED ＝ 157.5 × 11/15 ＝ 115.5 cm²

ここが大事です。三角形AEDと三角形ABEは、頂点Aが共通で、底辺EDとBEが同じ直線BD上にあります。
だから面積の比は、底辺の比 ED : BE ＝ 11 : 4 とそのまま同じになります。
高さを求める必要はありません。「同じ頂点・同じ直線上の底辺」なら面積比＝底辺比——中学受験の面積問題で最もよく使う道具です。

答えの確かめ

別の道すじで同じ答えになるかを見ます。
　台形ABCD ＝(15 ＋ 11)× 21 ÷ 2 ＝ 273 cm²
　三角形ABD ＝ 157.5、三角形BCD ＝ 21 × 11 ÷ 2 ＝ 115.5
　157.5 ＋ 115.5 ＝ 273　台形と一致します。

そして三角形AED ＝ 115.5 ＝ 三角形BCD。答えが三角形BCDとぴったり同じになりました。
これは偶然ではありません。BE : ED ＝ 4 : 11 は DC : AB ＝ 11 : 15 から出てくるので、
　三角形AED ＝(15 × 21 ÷ 2)×(11/15)＝ 11 × 21 ÷ 2 ＝ 三角形BCD
と、必ず一致するようになっています。

座標で厳密に計算しても 231/2 ＝ 115.5。ECとADが平行であることも計算で確かめました（どちらも「横21に対してたて4下がる」）。

よくあるつまずき

①ADとECが平行という条件を使わない。これがBE : ED を決める唯一の手がかりです。使わなければEの位置が決まりません。
②三角形AEDの高さを求めようとする。必要ありません。三角形ABDから比で取り出すのが速い道です。
③BE : ED を 11 : 4 と逆にする。Bに近いほうが短い 4、Dに近いほうが長い 11。図で位置を確かめましょう。
④台形の面積の公式から直接出そうとする。三角形AEDは台形の一部ですが、公式で直接は出ません。三角形に分けて比で考えます。

この問題の型　頂点が同じで、底辺が同じ直線上にある2つの三角形は、面積比＝底辺比。
平行の条件は、比を出すために使う。垂線を下ろして相似を作るのが定番。
答えが出たら、別の道すじ（台形全体との足し算）で確かめる。

この問題は智辯学園和歌山中 2012年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　9.6 cm²

解き方

左下のかどBを ⓪ として、右へ何cm・上へ何cmで場所を表します。
　A(0, 9)　B(0, 0)　C(16, 0)　D(16, 9)　P(0, 3)

手順1：QはACとPDの交点。

• AC：(0, 9) から (16, 0) へ。右に16で9下がるので、右に1で 9/16 下がる。
• PD：(0, 3) から (16, 9) へ。右に16で6上がるので、右に1で 6/16 上がる。

左端でのへだたりは 9 − 3 ＝ 6。右に1進むごとに 9/16 ＋ 6/16 ＝ 15/16 ずつ縮まるので
　6 ÷ 15/16 ＝ 6.4　→　Qの高さは 3 ＋ (6/16)×6.4 ＝ 5.4　→　Q(6.4, 5.4)

手順2：RはBQの延長とADの交点。BからQへは右に6.4進んで5.4上がる。
Rは上の辺（高さ9）にあるので、上がる量が 9 になるまで進めばよい。
　6.4 × (9 ÷ 5.4) ＝ 6.4 × 5/3 ＝ 32/3　→　R(32/3, 9)（およそ10.67）

手順3：三角形QDRの面積。DとRはどちらも上の辺の上にあるので、DRを底辺にとります。
　底辺 DR ＝ 16 − 32/3 ＝ 16/3（およそ5.33cm）
　高さ ＝ 上の辺(9)からQの高さ(5.4)まで ＝ 3.6cm
　16/3 × 3.6 ÷ 2 ＝ 9.6 cm²

なぜこうするかこの問題の急所は「底辺を上の辺にとる」ことです。
DもRも上の辺の上にあるので、底辺は引き算だけで出ます。そして高さはQの高さと9との差だけ。
もし斜めのQDやQRを底辺にすると、高さをはかるのが一気に難しくなります。三角形の3頂点のうち2つが同じ直線上にあるなら、そこを底辺にする。

答えの確かめ

長方形全体は 9 × 16 ＝ 144cm²。三角形QDRはその 約6.7% です。図の見た目（右上の小さな三角形）と合っています。

座標で厳密に計算すると 48/5 ＝ 9.6。QもRも分数（6.4、32/3）ですが、面積はきれいな9.6になりました。

よくあるつまずき

①APの6cmをBからと読む。Aから6cmなので、Bからは9 − 6 ＝ 3cmです。
②たてと横を取りちがえる。たて9・横16。ABがたて（9cm）です。AP＝6cmが収まるのもABが9cmだからです。
③QやRの座標を目分量で読む。6.4も32/3も目盛りの上にありません。計算で出します。
④底辺を斜めの辺にとる。DとRは同じ高さ9にあります。ここを底辺にすれば一瞬です。

この問題の型　交点は、へだたり ÷ 1cmあたりの縮み。
3頂点のうち2つが同じ直線上にあるなら、そこを底辺にする。高さは座標の差だけで出る。

この問題は豊島岡女子学園中 2012年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　9.42 cm²（正しくは 3 × 円周率）

解き方

手順1：Cの位置を決めます。ここが最大のポイントです。

APはCOと垂直で、しかもCP ＝ PO（同じ印）。つまりAPはCOの垂直二等分線です。
垂直二等分線の上にある点は、両はしから同じ距離にあります。だから
　AC ＝ AO
AOは半径なので6cm。OCも半径なので6cm。
よって三角形AOCは3辺とも6cmの正三角形で、∠AOC ＝ 60°。
∠AOB ＝ 90°なので、残りの∠COB ＝ 30°と決まります。

なぜこうするか問題文の「同じ印のついた辺は同じ長さです」は飾りではありません。
「垂直」＋「まん中で交わる」＝垂直二等分線という言い換えができると、そこからAC＝AOが出て、Cの位置が一気に決まります。
印と直角の記号は、いちばん強いヒントです。

手順2：㋐と㋑を、扇形から三角形を引く形で書きます。

• ㋐は、扇形AOC（中心角60°）から三角形AOPを取り除いた形
  　㋐ ＝ 扇形AOC − 三角形AOP
• ㋑は、扇形BOC（中心角30°）から三角形OQCを取り除いた形
  　㋑ ＝ 扇形BOC − 三角形OQC

手順3：差をとります。
　㋐ − ㋑ ＝（扇形AOC − 扇形BOC）−（三角形AOP − 三角形OQC）

ここで奇跡が起きます。三角形AOPと三角形OQCは、面積がぴったり同じなのです。

• 三角形AOP：底辺をOA（6cm）とすると、高さはPからOAまでの距離。PはCOの中点なので、この距離はCからOAまでの距離の半分。
• 三角形OQC：底辺OQ、高さQC の直角三角形。

実際に計算するとどちらも 約7.794cm²で完全に一致します。だから引き算で消えます。
　㋐ − ㋑ ＝ 扇形AOC − 扇形BOC
　＝ 6 × 6 × 円周率 × (60/360) − 6 × 6 × 円周率 × (30/360)
　＝ 6 × 円周率 − 3 × 円周率 ＝ 3 × 円周率
　＝ 3 × 3.14 ＝ 9.42 cm²

なぜこうするか㋐も㋑も、そのままでは円周率と平方根（√3）が混ざった値になります（㋐は約11.06、㋑は約1.63）。
ところが差をとると三角形が消えて、扇形の差だけが残ります。
問題が「面積」ではなく「面積の差」を聞いているのは、このためです。問題文が「差」を聞いているときは、引くと消えるものを探してください。

答えの確かめ

それぞれを実際に計算すると
　扇形AOC ＝ 18.85、三角形AOP ＝ 7.794　→　㋐ ＝ 11.055
　扇形BOC ＝ 9.425、三角形OQC ＝ 7.794　→　㋑ ＝ 1.631
　差 ＝ 11.055 − 1.631 ＝ 9.425　（3 × 円周率 ＝ 9.4248）と一致します。

2つの三角形の面積も、小数第6位まで 7.794229 でぴったり同じでした。
また、APとCOが本当に垂直であること（内積が0になること）も計算で確かめています。

よくあるつまずき

①Cの位置を決めずに進める。「同じ印」と「直角」から正三角形が出てくることに気づかないと、∠AOCが分からず先に進めません。
②㋐と㋑をそれぞれ求めようとする。できますが、√3が出てきて小学生には手に負えません。差だけを求めれば消えます。
③扇形の中心角を取りちがえる。㋐側が60°、㋑側が30°。合わせて90°になることを確かめましょう。
④「同じ印のついた辺は同じ長さ」を読み飛ばす。この一文がなければ、この問題は解けません。

この問題の型　「垂直」＋「まん中」＝ 垂直二等分線 → 両はしまでの距離が等しい。
「面積の差」を聞かれたら、引くと消えるものを探す。
複雑な部分は「扇形 − 三角形」の形に書き直す。

この問題は灘中 2012年度（1日目）の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。この回のなかで最も難しい1問です。

問題

答え　19/6 cm（＝ 3と1/6 cm ≒ 3.17cm）

解き方

先にお断り　この問題は、中学で習う「三平方の定理」を使うのがいちばん見通しがよくなります。以下ではそれを使って説明します。灘中の1日目としても最上位の難度です。

手順1：横の長さに名前をつけます。　Pから水平線に下ろした足をHとします。

• OH ＝ あ　（OP＝3、PH＝2 なので　あ × あ ＝ 3×3 − 2×2 ＝ 5）
• HR ＝ い　（PR＝4、PH＝2 なので　い × い ＝ 4×4 − 2×2 ＝ 12）
• よって OR ＝ あ ＋ い

手順2：2つ目の三角形の「底辺」を押さえます。　2つの三角形は合同で、どちらも底辺に対する高さが2cm。
1つ目の底辺はOR、2つ目の底辺はPAなので
　PA ＝ OR ＝ あ ＋ い

なぜこうするか「合同」と言われたら、どの辺がどの辺に対応するかを先に決めます。
1つ目：3cmの辺・4cmの辺・底辺OR、高さ2cm。
2つ目：3cmの辺(PQ)・4cmの辺(QA)・底辺PA、高さ2cm。
3と4がそろっているので、残る底辺もそろう——これで PA の長さが手に入ります。

手順3：Aが水平線からどれだけ高いかを出します。

PからAへ向かう向きは、PからRへ下る向きから、角度αぶんだけ持ち上げた向きです（αは1つ目の三角形のOの角）。
この「持ち上がり」を計算すると、Aの高さはPより
　（あ＋い）×（い−あ）÷ 6 ＝（い×い − あ×あ）÷ 6
だけ高くなります。

ここで、あ と い を別々に求める必要がありません。必要なのはい×い − あ×あ だけで
　い×い − あ×あ ＝ 12 − 5 ＝ 7
（もっと言えば　(4×4 − 2×2) −(3×3 − 2×2) ＝ 4×4 − 3×3 ＝ 7。2×2 が引き算で消えます。）

よって　Aの高さ ＝ Pの高さ ＋ 7 ÷ 6 ＝ 2 ＋ 7/6 ＝ 19/6 cm

ここが美しいところ途中には √5 や 2√3（あ、い の値）という、小学生には手に負えない数が出てきます。
ところが最後は「4×4 − 3×3 ＝ 7」だけで答えが決まります。
これは偶然ではなく、(あ＋い)×(い−あ) ＝ い×い − あ×あ という和と差の積の形が現れるからです。
ばらばらには求まらないのに、組み合わせると求まる——難問にはこの形がよくあります。

答えの確かめ

座標を置いて、まったく別の道すじで計算しました。
O(0, 0)、P(√5, 2)、R(√5＋2√3, 0) とすると OP＝3、PR＝4、Pの高さ＝2 が成り立ちます。
Qは PR 上で PQ＝3 の点、Aは QA＝4 かつ PA＝OR を満たす点。この連立を解くと

　A ＝ (7.8156, 3.1667)　／　もう1つの解 (4.0155, −3.4153) は水平線より下なので図と合いません。
　AB ＝ 3.16666… ＝ 19/6。手順3の答えと一致しました。

途中に出てくる √15 が最後にきれいに消えることも確認済みです。答えが分数できれいに出るのは、置き方が正しい証拠でもあります。

よくあるつまずき

①「合同」の対応を決めずに進める。3cmどうし・4cmどうしが対応することを押さえると、PA ＝ OR が出ます。ここが出発点です。
②あ と い を別々に求めようとする。√5 と 2√3 になって手が止まります。い×い − あ×あ しか要りません。
③QがPR上にあることを見落とす。PQ＝3、PR＝4 なので QR＝1。Qは辺の途中の点です。
④Aを図の見た目から読む。19/6 ＝ 3.1667 は目盛りの上にない値です。必ず計算で出します。

この問題の型　合同な図形は、まず辺の対応を決める。対応が決まれば、残りの辺の長さも移せる。
個別には求まらない量でも、「和と差の積」の形になれば求まる。(あ＋い)(い−あ) ＝ い×い − あ×あ。

この問題は灘中 2012年度（1日目）の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　7.14 cm²（円周率を3.14として。正しくは 4 ＋ 円周率）

解き方

まず、Nがどこに来るかを1つずつ考えます。円の中心をOとし、Oを ⓪ として位置を表します。円の半径は2cm、A(−2, 0)、B(2, 0)。

手順1：Pだけを動かしてみる。Qを中心Oに固定すると、NはOPの真ん中。
Pが円周（半径2）を1周するとき、その真ん中の点は半径1の円周をなぞります。

手順2：Qだけを動かしてみる。Pを止めてQをAからBまで動かすと、PQの真ん中はQの動きの半分だけ動きます。
QはAからBまで4cm動くので、Nは左右に合わせて4cm＝中心から左右に2cmずつ…ではなく、真ん中は半分なので左右に1cmずつずれます。

なぜこうするか真ん中の点は、PとQの動きをそれぞれ半分にして足したものです。
Pの動き（半径2の円）を半分にすると半径1の円。Qの動き（長さ4の線分）を半分にすると長さ2の線分。
だからNの動ける範囲は、半径1の円を、左右に1cmずつずらして通った跡になります。
2つのものが同時に動くときは、片方ずつ止めて考える。これが動く点の問題の基本です。

手順3：その跡の形を言葉にする。半径1の円を左に1cm、右に1cmずらして通ると
　たて2cm・横2cmの正方形の左右に、半径1cmの半円をくっつけた形
になります（陸上のトラックのような形です）。

手順4：面積を出す。
　真ん中の正方形　2 × 2 ＝ 4 cm²
　左右の半円　合わせて半径1cmの円1個分 ＝ 1 × 1 × 3.14 ＝ 3.14 cm²
　合計　4 ＋ 3.14 ＝ 7.14 cm²

答えの確かめ

この形を式で表すと、高さ y のところの横幅は 2 ×（半径1の円の横幅の半分）＋ 2 になります。積分で計算するとちょうど 4 ＋ 円周率。

さらに、たて2cm・横4cmの長方形の中に点を300万個打って、Nが来られる場所に入った割合から面積を出したところ 7.1414。4 ＋ 円周率 ＝ 7.1416 とほぼぴったり一致しました。

形の確かめ方をもう1つ。いちばん右に来るNは、Pが円のいちばん右(2,0)、Qがいちばん右のB(2,0)のときで、Nは(2,0)…ではなく、PとQが同じ点なのでNも(2,0)。中心からの距離は2cm。上の形の右はしも1 ＋ 1 ＝ 2cmで一致します。
いちばん上に来るNは、Pが円のてっぺん(0,2)、Qがどこでも、Nの高さは1cm。上の形の高さも1cmで一致します。

よくあるつまずき

①「円の内側全部」と答える。Nの高さは最大1cmまでしか行けません（Pの高さの半分）。半径2の円の内側全部にはなりません。
②半円を2つ足すのを忘れる。左右の半円を合わせると円1個分です。
③QがAB上だけを動くことを見落とす。Qは円周ではなく直径の上だけを動きます。
④半径を2cmのまま使う。真ん中の点なのですべて半分。半径は1cm、線分の長さは2cmになります。

この問題の型　2点の真ん中の点は、それぞれの動きを半分にして足したもの。
2つ同時に動くときは、片方ずつ止めて考える。
円を線分の向きにずらして通った跡は、正方形＋左右の半円（トラック形）。

この問題は早稲田中 2012年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　95238（このとき F ＝ 6 で、95238 × 7 ＝ 666666）

解き方

手順1：FFFFFF を式で表す。同じ数字が6個ならんだ数なので
　FFFFFF ＝ F × 111111

手順2：111111 を分解する。ここがこの問題のすべてです。
　111111 ＝ 111 × 1001 ＝ (3 × 37)×(7 × 11 × 13)
つまり　111111 ＝ 3 × 7 × 11 × 13 × 37

なぜこうするかFFFFFF は7で割り切れなければいけません（ABCDE を7倍した数だから）。
111111 の中に7が入っていると分かれば、Fが何であっても7で割り切れることが分かります。
そして　ABCDE ＝ FFFFFF ÷ 7 ＝ F × (111111 ÷ 7) ＝ F × 15873
と、Fを決めればABCDEが決まる形になります。あとはFを1つずつ試すだけです。

1001 ＝ 7 × 11 × 13 は覚えておくと強い分解です。「111111 ＝ 111 × 1001」と気づけるかどうかで、この問題は数分と数十分に分かれます。

手順3：F を1から9まで試す。条件は3つ。5桁であること、7を含まないこと、6つの数字がすべて違うこと。

• F＝1 → 15873　7を含むので×
• F＝2 → 31746　7を含むので×
• F＝3 → 47619　7を含むので×
• F＝4 → 63492　7は無いが、4がFと同じなので×
• F＝5 → 79365　7を含むので×
• F＝6 → 95238　7が無い・数字がすべて違う・6も入っていない　○
• F＝7 → 問題文で除かれている
• F＝8 → 126984　6桁になってしまうので×
• F＝9 → 142857　6桁で、しかも7を含むので×

条件を満たすのは F＝6、ABCDE＝95238 の1通りだけです。

答えの確かめ

　95238 × 7 ＝ 666666　たしかに同じ数字が6個ならびました。
　ABCDE の数字は 9・5・2・3・8。7は入っていません。すべて違います。
　F ＝ 6 は、9・5・2・3・8 のどれとも違います。
すべての条件を満たしています。

F を1から9まで全部試して、条件を満たすのがこの1通りだけであることも確かめました。

よくあるつまずき

①111111 の分解に気づかない。「111 × 1001」と見て、1001 ＝ 7 × 11 × 13 を思い出せるかどうかが分かれ目です。
②「Fと同じ数字を使ってはいけない」を見落とす。F＝4のとき 63492 は7を含まず数字も全部違いますが、4がFと同じなので失格です。A〜Fの6つ全部が異なるという条件です。
③5桁かどうかを確かめない。F＝8、9では6桁になってしまいます。
④7で割る筆算を最初からやってしまう。割る数が分からないので進みません。先に111111を分解します。

この問題の型　同じ数字がならんだ数は、111…の形でくくり出す。
111111 ＝ 3 × 7 × 11 × 13 × 37、1001 ＝ 7 × 11 × 13 は覚えておく。
候補が10通り以下なら、全部試すのがいちばん確実。