中学受験の算数 図形の難問21〜30｜武蔵・桜蔭・西大和・白陵

この問題は桜蔭中 2014年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。図がなくても解ける、周期の問題です。

問題

答え　37分48.75秒後（＝ 2268.75秒後）

解き方

手順1：ゴンドラがAに来る間隔を出します。
一周20分 ＝ 1200秒。ゴンドラは64台で等間隔なので、Aの位置には
　1200 ÷ 64 ＝ 18.75秒おきに1台ずつやってきます。

なぜこうするか「等間隔」というのは時間の間隔も等しいということ。
64台が20分で1周するので、1台ぶんの間隔は 20分 ÷ 64。
ここを分のまま計算すると 0.3125分 となって扱いにくいので、最初に秒に直しておくのがこつです。

手順2：90組目が乗る時刻を出します。
1組目は0秒後（動かし始めと同時）、2組目は18.75秒後、3組目は37.5秒後…
つまり n組目が乗るのは (n − 1)× 18.75 秒後。
　90組目 ＝ 89 × 18.75 ＝ 1668.75秒後

ここに注意90組目だから 90をかけるのではありません。1組目が0秒後なので、かけるのは89。
「植木算」と同じで、間隔の数は組の数より1つ少ないのです。

手順3：AからBまでの時間を足します。　Aは最も低い位置、Bは最も高い位置なので、ちょうど半周。
　1200 ÷ 2 ＝ 600秒

手順4：合計します。
　1668.75 ＋ 600 ＝ 2268.75秒後
　2268.75 ÷ 60 ＝ 37 あまり 48.75
　→ 37分48.75秒後

答えの確かめ

①きりのよい組で確かめます。ゴンドラは64台なので、65組目は1台目のゴンドラの2周目。
65組目が乗るのは 64 × 18.75 ＝ 1200秒後（＝ちょうど20分）。Bに着くのは 1800秒後 ＝ ちょうど30分。
きれいな数になり、考え方が合っていることが確かめられます。

②別の道すじで90組目を出します。90 ＝ 64 ＋ 26 なので、90組目は26台目のゴンドラの2周目。
26台目が最初にAに来るのは 25 × 18.75 ＝ 468.75秒後。その1周後は 468.75 ＋ 1200 ＝ 1668.75秒後。
手順2の答えとぴったり一致しました ○

③常識で確かめます。90組目は1組目より 1668.75秒（約28分）あとに乗ります。
観覧車1周が20分なので、1周と少し待ったことになります。64組で1周ぶんなので、90組目なら1周と26組ぶん——たしかにその通りです ○

よくあるつまずき

①90をかけてしまう。1組目が0秒後なので、90組目は 89 ぶんあとです。植木算と同じ考え方。
②AからBまでを1周だと思う。最も低い所と最も高い所は反対側なので半周です。
③分のまま計算する。20 ÷ 64 ＝ 0.3125分 となって、あとの計算が苦しくなります。先に秒に直すと 18.75 とすっきりします。
④「一周したら乗客が交代」を見落とす。これがあるので65組目が1台目のゴンドラに戻ると分かり、確かめに使えます。

この問題の型　「等間隔」は、時間の間隔も等しいということ。まず1つぶんの間隔を出す。
n番目までの間隔は n−1 個（植木算）。
単位はいちばん細かいもの（秒）にそろえてから計算する。

この回は2問あります。【1】は清風南海中 B入試 2014年度、【2】は豊島岡女子学園中 2014年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　【1】1 : 4　　【2】37.68 cm（正しくは 12 × 円周率）

解き方

【1】手順1：BDとFHが平行であることに気づきます。

ジグザグの折れ曲がりの角がすべて60°で同じなので、BDとFHは同じ向きを向いています。
つまりBD ∥ FH。

なぜここから入るのか面積を直接求めようとすると、辺の長さがどれも分かりません。
ところが平行な2直線を1本の直線が横切ると、同じ位置の角が等しくなります。
角が2組そろえば相似——相似なら長さの比だけで面積の比が出ます。長さそのものは要りません。

手順2：2つの三角形が相似であることを示します。

• 直線AIがBDとFHを横切るので　∠ACB ＝ ∠IGH（同じ位置の角）
• 折れ曲がりの角より　∠ABC ＝ ∠IHG ＝ 60°

2つの角が等しいので　三角形ABC と 三角形IHG は相似です。

手順3：対応する辺の比を出します。　ジグザグの1本の長さを ○ とすると

• BC：BC：CD ＝ 1：3 なので、BCは BD の 4分の1 ＝ ○ ÷ 4
• HG：FG ＝ GH なので、GはFHのまん中。HGは FH の 2分の1 ＝ ○ ÷ 2

　BC : HG ＝ 1/4 : 1/2 ＝ 1 : 2

手順4：面積の比は、長さの比の2乗。
　1 × 1 : 2 × 2 ＝ 1 : 4

【2】手順1：正八角形の内角を出します。　正八角形の内角は
　180 × (8 − 2)÷ 8 ＝ 135度

手順2：弧の中心と半径を確かめます。　半径は6cmで、これは正八角形の1辺と同じ。
だから、たとえばいちばん上の頂点を中心とする半径6cmの弧は、その両どなりの頂点をちょうど通ります。
この弧が中心から見こむ角は、その頂点の内角そのもので135度です。

手順3：135度が3等分されます。　この135度の弧は、左右のとなりの弧に切られて3つに分かれます。
左右対称なので、3つとも45度ずつ。
　135 ÷ 3 ＝ 45度

ここが山場「レンズ形の弧が何度ぶんか」が分かれば、あとは計算だけです。
そして135度がきれいに3等分されることは、左右対称であることから言えます。対称性は、角度を分けるときの強い武器です。

手順4：長さを出します。
　弧1本 ＝ 6 × 2 × 3.14 ×(45 ÷ 360)＝ 4.71cm
　レンズ1個は弧2本なので　4.71 × 2 ＝ 9.42cm
　レンズは4個なので　9.42 × 4 ＝ 37.68cm

答えの確かめ

【1】座標を置いて計算しました。ジグザグの1本を1として B(0,0)・D(0.5,0.866)・F(1,0)・H(1.5,0.866) とすると
　BD ＝ DF ＝ FH ＝ 1 ○、∠BDF ＝ ∠DFH ＝ 60.0度 ○
　AB ＝ 0.2、HI ＝ 0.4 で AとIはどちらも直線CG上 ○
　∠ACB ＝ ∠IGH ＝ 49.1066度（ぴったり同じ ○）、AB : IH ＝ 1 : 2 ○
　三角形ABC ＝ 0.02165、三角形GHI ＝ 0.08660　→　比はちょうど4倍 ○

【2】角度が本当に45度かを計算で確かめました。1辺6cmの正八角形の外接円の半径は7.8394cm。
いちばん上の頂点を中心とする半径6cmの円と、左の頂点を中心とする半径6cmの円の交点を求めると、
中心から見た角度の差はちょうど45.0度でした ○
また、4つの中心（上・下・左・右）はどの隣どうしも11.0866cm離れていて、12cm（半径2つぶん）より短いので、4組すべてで弧が交わります ○

よくあるつまずき

①【1】で長さを求めようとする。1つも与えられていません。比だけで解けます。
②【1】で面積の比を長さの比と同じにする。相似な図形の面積の比は長さの比の2乗。1:2 なら 1:4。
③【2】で弧を90度だと思う。正八角形の内角は135度で、それが3等分されて45度です。
④【2】でレンズの数を数えまちがえる。中心が4つ、となり合う組が4組なのでレンズも4個です。

この問題の型　角が同じ折れ線は平行。平行＋横切る線 → 角が等しい → 相似。
相似な図形の面積の比は、長さの比を2回かけたもの。
正n角形の内角は 180×(n−2)÷n。半径が1辺と同じなら、弧は内角ぶんを見こむ。

この問題は西大和学園中（女子）2014年度の入試問題です。解答PDFが用意されていないため、解き方と答えの確かめ方をここに掲載します。

問題

答え　105度

解き方

手順1：三角形ACPの角を出します。　AC ＝ AP なので二等辺三角形。頂角（Aのところ）が30°なので
　∠ACP ＝ ∠APC ＝(180 − 30)÷ 2 ＝ 75度

手順2：PDとACが平行であることを見つけます。　ここがこの問題の急所です。

Pから、辺ADをのばした直線に垂線PHを下ろします。すると
　PH ＝ HD（計算で確かめると、どちらも同じ長さになります）
だから三角形PHDは直角二等辺三角形で、∠PDH ＝ 45度。

一方、ACは正方形の対角線なので、これも辺ADと45度をなします。
同じ45度なので　PD と AC は平行です。

なぜ平行を探すのか∠CPDは、Pという正方形の外の点にある角です。そのままでは正方形の角と結びつきません。
ところが平行な線が1組見つかれば、離れた場所の角どうしが等しくなったり、足して180度になったりします。
「遠くの角を、近くの角に運ぶ」のが平行線の役目です。

手順3：平行線の性質を使います。　PDとACが平行で、PCがその2本を横切っています。
このとき、内側の同じ側にある角どうしを足すと180度なので
　∠CPD ＋ ∠PCA ＝ 180度
　∠PCA ＝ ∠ACP ＝ 75度 なので
　∠CPD ＝ 180 − 75 ＝ 105度

答えの確かめ

①別の道すじで求めます。Pから見て、Aへ向かう線は、Dへ向かう線とCへ向かう線のあいだにあります。
　∠APD ＝ 30度、∠APC ＝ 75度　→　∠CPD ＝ 30 ＋ 75 ＝ 105度 ○
手順3と一致しました。

②座標で全部計算しました。正方形の1辺を1として A(0,1)・B(0,0)・C(1,0)・D(1,1) とすると
　AC ＝ 1.4142（＝√2）、P ＝(1.3660, 0.6340)
　AP ＝ 1.4142（ACと同じ ○）、∠CAP ＝ 30.0度 ○
　∠ACP ＝ ∠APC ＝ 75.0度 ○
　PDの向きとACの向きの外積 ＝ 0（＝平行）○
　∠CPD ＝ 105.0度 ○

③PH ＝ HD を確かめました。Pから直線ADへの垂線の足Hについて
　PH ＝ 0.366025、HD ＝ 0.366025　→　ぴったり同じ ○　だから45度になります。

よくあるつまずき

①Pが正方形の中にあると思う。AP ＝ AC ＝ 対角線の長さなので、Pは正方形の外に出ます。図で確かめましょう。
②∠APCと∠CPDを取りちがえる。求めるのはPCとPDのあいだの角です。∠APC（75度）は途中の値。
③平行を探さずに、直接∠CPDを求めようとする。Pは正方形の外なので、そのままでは手がかりがありません。平行線で角を運ぶのが定石です。
④二等辺三角形の底角を(180−30)ではなく 180−30 としてしまう。底角は2つあるので、2で割ります。

この問題の型　二等辺三角形の頂角が分かれば、底角は (180 − 頂角) ÷ 2。
離れた場所の角は、平行線を見つけて運ぶ。正方形の対角線は辺と45度。
平行線を横切る線があれば、同じ側の内側の角は足して180度。