高１数学｜高校1年座標の平行移動と対称移動変換の順序からp・qを求める（無料問題PDF）

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高1｜2次関数解き方がわからないときは高１数学｜二次関数グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

点を軸方向に、軸方向にだけ平行移動し、その点を軸に関して対称移動する。移動後の点が、元の点を軸に関して対称移動した点と一致するとき、を求めます。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

この教材では、点の平行移動と軸対称移動を続けて行う問題を扱います。計算自体は連立方程式ですが、難しさは「どの操作で、どの座標がどう変わるか」を順番どおりに追うことにあります。図を頭の中だけで動かさず、各変換後の座標を一段ずつ書くことが重要です。

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問題

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問題文

最初に整理する3つの変換規則

点を軸方向に、軸方向にだけ平行移動すると、

となります。正のは右、負のは左、正のは上、負のは下への移動です。

軸対称では座標を保ち、座標の符号を変えます。

目標となる点を先に求める

元の点はです。これを軸に関して対称移動すると、座標だけ符号が変わります。したがって目標の点は

です。この点を最初に確定すると、「平行移動してから軸対称にした結果をにすればよい」と問題が整理できます。

平行移動後の座標

点をだけ平行移動した点をとします。平行移動では各座標に移動量を加えるので、

です。ここでは座標そのものではなく、元の点からの移動量です。たとえばなら、軸方向へ4だけ左へ移動します。

軸対称にした後の座標

次にを軸に関して対称移動します。座標はそのまま、座標全体の符号を変えるため、移動後の点は

です。第2座標はではなく、です。括弧全体に負号が付くことに注意してください。

対応する座標を等しくする

点が目標点と一致するので、

です。2点が一致するとは、座標どうしと座標どうしがそれぞれ等しいことです。したがって

を解きます。第1式から

第2式から

となります。よって答えは

です。

図形的に考える別解

最終的な点はです。ただし、その直前に軸対称を行っています。そこで、軸対称を行う前の点を逆算します。

を軸対称に戻すとです。対称移動は同じ操作を2回行うと元へ戻るため、平行移動後の点は

でなければなりません。元の点からへの移動量は、

です。この方法では変換を逆順にたどっています。

答えを実際に代入して検算する

を使います。点を平行移動すると、

です。その後軸対称にすると、

となります。一方、元の点を軸対称にした点もです。両者が一致するため、答えは正しいと確認できます。

変換の順序は交換できない

この問題では「平行移動してから軸対称」です。順序を逆にすると結果は一般に変わります。

先に軸対称にすると、その後だけ平行移動するとです。元の順序で得たとは、の符号が異なります。

図形変換を合成するときは、文章に書かれた順に処理してください。「平行移動」と「対称移動」は、順番を自由に入れ替えられる操作ではありません。

一般の点で考える

一般の点をだけ平行移動し、軸対称にした点は

です。元の点を軸対称にした点はなので、一致条件は

です。よって

となります。今回のを代入すればが得られます。点から原点をはさんで反対側へ移す量が、それぞれ座標の倍になることが分かります。

大学数学への接続：行列とベクトル

平行移動はベクトルの加算です。軸対称と軸対称は、それぞれ行列

で表せます。この問題の条件は、位置ベクトルに対して

と書けます。高校では座標を一つずつ追いますが、大学の線形代数では変換を行列としてまとめて扱います。

よくある誤答

誤答1：平行移動後をとする。正しくは元の座標へ移動量を加えたです。誤答2： 軸対称で座標の符号を変える。軸対称では変わるのは座標です。

誤答3： をとする。括弧全体の符号が変わるためです。誤答4：変換の順序を逆にする。文章の順序どおりに中間点を書きます。

確認問題

点をだけ平行移動した点を求めよ。
点の軸対称、軸対称の点をそれぞれ求めよ。
点をだけ平行移動し、軸対称にした点がのときを求めよ。
一般の点を原点対称に移す平行移動量を求めよ。

答え：、と、、です。

次につながる学習

座標変換を二次関数のグラフへ戻すには二次関数のグラフ、標準形と平行移動の関係は二次関数の平方完成で復習できます。より発展的な座標の統一的扱いはチェバの定理から射影幾何へでも紹介しています。

よくある質問

軸対称ではなぜの符号が変わるのですか

軸からの上下の距離を反対側へ移すからです。左右の位置は変わらないのではそのままです。

平行移動量が負でもよいのですか

問題ありません。は左、は下への移動を表します。今回の答えは左へ4、下へ8の移動です。

学習相談

座標変換では、中間点を省略しないことが正答への近道です。数強塾では答案から、平行移動・軸対称・変換順序のどこで混乱したかを分析します。集計方法を含む実績は合格実績ページ、学習相談はお問い合わせページをご覧ください。

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