条件つきの最大最小｜高1数学 2次関数19の無料PDFと練習3問

高1｜2次関数解き方がわからないときは高１数学｜二次関数グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

x + 2y = 1 のとき、x² + y² の最小値を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校1年「２次関数」の無料問題プリント（２次関数19）です。このプリントは、条件式があるときの最大最小と、おきかえによる処理を扱う回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高１数学２次関数 19

条件つきの最大最小で何ができるようになるか

条件式があるときは、それを使って文字を1つ減らします。2文字のままでは扱えない式が、1文字の2次関数になれば平方完成で片づきます。ただし減らした文字のとりうる範囲を引き継ぐのを忘れないこと。x² = 1 − 2y² のような条件では、右辺が 0 以上という制約が残ります。

解き方の手順

1条件式を、片方の文字について解きます。

2それを目的の式に代入し、1文字の式にします。

3代入で消えた文字の条件から、残った文字の変域を求めます。

4変域つきの2次関数として、平方完成で最大最小を求めます。

つまずくのはここ

つまずき1｜変域を引き継がない

x² = 1 − 2y² なら 1 − 2y² ≧ 0、つまり y の範囲が限られます。これを落とすと、頂点が範囲外なのに頂点の値を答えてしまいます。

つまずき2｜頂点が変域の外にあるのに気づかない

平方完成したら、頂点の位置が変域に入るかを必ず確かめます。外にあるなら、端の値を比べます。

つまずき3｜おきかえた文字の範囲を調べない

x² − 4x + 1 を t とおいたら、t のとりうる範囲を先に求めます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数が異なります。

練習1

x + 2y = 1 のとき、x² + y² の最小値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

x = 1 − 2y を代入します。
(1 − 2y)² + y² = 5y² − 4y + 1。
= 5(y − 2/5)² + 1/5。y に制限はありません。
最小値 1/5（y = 2/5、x = 1/5 のとき）
検算：y = 0 なら 1、y = 1 なら 2、y = 2/5 なら 0.2。確かに最小です。
条件式で1文字にしてから平方完成する。

練習2

x² + 2y² = 1 のとき、x² + 4y の最大値と最小値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

x² = 1 − 2y² を代入すると 1 − 2y² + 4y。
x² ≧ 0 より 1 − 2y² ≧ 0、つまり −1/√2 ≦ y ≦ 1/√2。
平方完成すると −2(y − 1)² + 3。頂点 y = 1 は変域の外です。
上に凸で頂点が右外なので、y = 1/√2 で最大、y = −1/√2 で最小。
最大値 2√2（y = 1/√2, x = 0）、最小値 −2√2（y = −1/√2, x = 0）
検算：y = 1/√2 のとき 1 − 1 + 4/√2 = 2√2 ≒ 2.83。頂点の値 3 は範囲外なので取れません。
変域を引き継がないと、頂点の 3 を答えてしまう。

練習3

0 ≦ x ≦ 3 のとき、t = x² − 4x + 1 のとりうる値の範囲を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

平方完成すると t = (x − 2)² − 3。軸 x = 2 は変域内。
最小は x = 2 で −3。最大は軸から遠いほうの端 x = 0 で 1。
−3 ≦ t ≦ 1
検算：x = 3 では 9 − 12 + 1 = −2 で、範囲に入っています。
おきかえたら、その文字の範囲を先に求める。

２次関数の他のプリント

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同じ「２次関数」の無料プリントは全部で 29 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

解き終わったら

2次関数まとめ31問（高1）——単元全体を型で整理したまとめ。
2次関数（高1）の特訓道場——場合分けと解の配置の30題で力試し。
数学I・Aの要点辞典第2章 2次関数——公式と定石を定義から確かめる。

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