高１数学｜高校1年余りの条件と2進法合同式・中国剰余定理を基礎から（無料問題PDF）

高1｜2次関数解き方がわからないときは高１数学｜二次関数グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

7で割ると3余り、11で割ると6余るような自然数のうち、3桁で最小の数を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

整数問題では、非常に大きな数を直接調べなくても「割った余り」だけで候補を絞れます。また、2進法は数字の並びを暗記する単元ではなく、各桁が2の累乗を表す位取り記数法です。本教材では、元のPDFにある2問を、合同式の基本から大学数学の中国剰余定理へつながる形で詳しく解説します。

この教材で理解すること

「7で割ると3余る」を式と合同式で表す
二つの余りの条件を同時に満たす整数を求める
解が最小公倍数を周期として並ぶ理由を理解する
2進数を各桁の重みの和として10進数へ直す

元の演習PDF「高1数学整数の性質」を開く

問題文

問題1：二つの余りを満たす最小の3桁の数

7で割ると3余り、11で割ると6余るような自然数のうち、3桁で最小の数を求めなさい。

問題2：2進数を10進数で表す

次の数を10進法で表しなさい。

準備1：「割ると余る」を式にする

整数を7で割ると3余るとは、ある整数を用いて

と表せることです。7の倍数に余り3を加えた形になっています。合同式では同じ内容を

と書きます。記号は普通の等号ではなく、「両辺を7で割った余りが等しい」という意味です。

同様に、11で割ると6余る条件は

または

と表せます。問題1では、この二つを同時に満たすを探します。

問題1の標準解法：一方の条件を代入する

まず、7で割ると3余る条件から

とおきます。これを11で割ると6余る条件に入れると、

です。両辺から3を引いて、

を得ます。

7を消すにはどうするか

合同式では、普通の方程式のように何でも自由に割れるわけではありません。そこで、7を掛けて1になる数を法11の世界で探します。

なので、7の逆元は8です。両辺に8を掛けると、

したがって、ある整数を用いて

と書けます。これをに戻すと、

3桁で最小という条件を使う

3桁の自然数だからです。

より、

ではで2桁です。なら

となり、これが3桁で最小です。

問題1の答え：

問題1の検算

答えは必ず元の二条件へ戻して確認します。

なので、7で割ると3余ります。また、

なので、11で割ると6余ります。両条件を満たしています。

問題1の初学者向け別解：候補を並べる

合同式の逆元がまだ難しい場合は、一方の条件を満たす数を順に並べても解けます。7で割ると3余る3桁の数は、

です。この中で11で割ると6余る最初の数を調べると、が見つかります。

この方法は意味を理解しやすい一方、数が大きいと手間が増えます。入試では、最初に並べ方で構造をつかみ、慣れたら合同式で短く処理できるようにするとよいでしょう。

なぜ答えは77ずつ現れるのか

ある数が二つの余りの条件を満たすとします。に7と11の公倍数を加えても、どちらで割った余りも変わりません。7と11は互いに素なので最小公倍数は

です。したがって解は

のように77ずつ並びます。一般解は、この周期性を式で表したものです。

大学数学への接続：中国剰余定理

7と11のように互いに素な二つの法について余りを指定すると、法の範囲で解がただ一つ決まります。これが中国剰余定理の最も基本的な例です。

「法77でただ一つ」とは、整数全体では解が一個しかないという意味ではありません。という一つの余りの類に決まる、という意味です。この考えは暗号理論、計算機科学、大きな整数計算でも利用されます。

準備2：n進法は各桁の重みで読む

10進数は、実は

という意味です。2進法でも仕組みは同じで、各桁の重みが10の累乗ではなく2の累乗になります。右端から順に

を対応させます。

問題2の解説：11010を各桁に分解する

の5桁を左から読むと、係数はです。したがって、

問題2の答え：

問題2の検算：26を2進法へ戻す

26から使える最大の2の累乗を順に引きます。

の係数を並べると、

となるため、確かにに戻ります。

2進法がコンピュータで使われる理由

2進法は、電気回路の「低い・高い」やスイッチの「切・入」という二状態に対応させやすい記数法です。高校数学では変換計算が中心ですが、大学では論理回路、情報理論、アルゴリズム、符号理論へつながります。

また、数そのものと表記は区別する必要があります。とは表し方が違うだけで、同じ数量を表しています。

よくある誤答

二つの余りの条件を別々に解いて終える：求める数は両方を同時に満たす必要があります。
をそのまま7で割る：合同式の割り算には条件があります。今回は逆元8を掛けます。
を得て17と答える：問題は3桁で最小という条件付きです。範囲条件を最後に使います。
2進数の桁を左からとする：右端がです。
0の桁を詰めて読む：0も位を保持しています。のの係数は0です。

確認問題

5で割ると2余り、7で割ると3余る自然数のうち、2桁で最小の数を求めなさい。
4で割ると1余り、9で割ると7余る整数を、法36の合同式で表しなさい。
を10進法で表しなさい。
10進数の45を2進法で表しなさい。

確認問題の答え

1. 。です。

2. 。、です。

4. より

FAQ

合同式を使わずに入試問題を解いてもよいですか

候補が少ない問題では、数を並べる方法でも正解できます。ただし条件や桁数が大きくなると合同式が効率的です。まず余りの意味を並べ方で理解し、その後に合同式へ進むと定着します。

互いに素でない法でも二つの余りを指定できますか

指定はできますが、常に解が存在するとは限りません。二つの余りが最大公約数と矛盾しないことが必要です。互いに素なら、中国剰余定理によって必ず一つの解の類が得られます。

2進法の右下の2は何を表しますか

その数が2を底とする位取り記数法で書かれていることを示します。右下の数字は数の一部ではなく、どの進法かを示す添字です。

数強塾で整数の考え方を深める

数強塾では、答えだけでなく、余りの条件を式へ翻訳するところから、一般解、範囲条件、検算まで一貫して指導します。公開している合格実績は、2022〜2025年度の卒業生205名、合格件数323件、東京大学・京都大学13件です。合格件数は延べで、1名の複数合格を含みます。詳しくは合格実績ページをご確認ください。

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