高１数学｜高校1年 二次関数の変換と係数決定 平行移動・対称移動を逆算（無料問題PDF）

高1｜2次関数解き方がわからないときは 高１数学｜二次関数 グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

二次関数の平行移動や対称移動では、「移動後の式を作る」だけでなく、移動後の式から元の係数を逆算する問題も出題されます。本教材では、元のPDFにある2問を題材に、変換を一つずつ式に反映する方法、逆変換で戻る方法、係数比較の考え方を途中計算から詳しく説明します。

元の演習PDF「高1数学 二次関数5」を開く

問題文

問題1

放物線

を 軸方向に だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動したら、

になった。このとき、 の値を求めなさい。

問題2

放物線

を 軸に関して対称移動すると、

に移り、これを 軸方向に 、 軸方向に だけ平行移動すると、

になった。このとき、 の値を求めなさい。

準備：変換の意味を座標から理解する

関数 のグラフを右へ 、上へ 平行移動すると、

になります。特に縦方向だけの移動なら、上へ のとき です。したがって「 軸方向に 」は下へ8なので、関数値から8を引きます。

対称移動は次の3式で整理できます。

原点対称では横座標と縦座標の両方が反転します。式では、まず を に置き換え、さらに式全体にマイナスを付ける、と考えると混乱しません。

問題1の解説：変換を順番どおりに行う

最初の関数を

とおきます。

第1段階：下へ8だけ平行移動する

軸方向に なので、移動後は

です。この段階では の値は変わらないため、 や の係数は変化しません。

第2段階：原点について対称移動する

第1段階の関数を とすると、原点対称後は です。

ここで得られた式が

と一致します。二つの多項式がすべての で等しいなら、同じ次数の係数は等しくなります。

定数項の式を解くと、

問題1の別解：完成形から逆向きに戻る

最後の式から変換を逆順に取り消す方法でも確認できます。原点対称は2回行うと元に戻るので、

をもう一度原点対称すると、第1段階の式に戻ります。

これは元の放物線を下へ8動かした式です。したがって上へ8戻せば、

となり、やはり です。逆変換は、複数の操作がある問題の強力な検算方法です。

問題2の解説：途中の係数cを手がかりにする

この問題では、途中の放物線に という補助的な係数が現れます。最終的に求めるのは ですが、まず を決めると流れが整理できます。

第1段階：y軸対称からaとbの関係を得る

元の関数を とします。 軸対称後は なので、

これが と一致するため、

です。二乗項は符号が戻り、一次項だけが反転します。

第2段階：右へ2、上へ3だけ平行移動する

途中の関数を とします。右へ2、上へ3の平行移動だから、

です。丁寧に展開します。

これが と一致するので、一次の係数から

定数項でも確認すると、

となり、最終式と一致します。先ほどの関係 より、

また、すでに と分かっています。

問題2の検算：求めた式を最初から変換する

求めた値を元の式に代入すると、

です。 軸対称にすると、

さらに右へ2、上へ3動かすと、

問題文の最終式と完全に一致するため、答えは正しいと確認できます。

発想の核心：変換は「関数への操作の合成」

複数の変換が並ぶ問題では、各操作を関数に作用させる写像として見ると整理できます。例えば、下へ8の平行移動を 、原点対称を とすれば、問題1は を計算しています。一般に と は同じとは限りません。操作の順序を守る必要があるのはこのためです。

大学数学では、平行移動はアフィン変換、原点対称は行列 による線形変換として扱われます。高校の式変形は、変換の合成や逆写像という考え方へ自然につながっています。

よくある誤答

• 「 軸方向に 」で を変える： 軸方向は縦方向です。式全体から8を引きます。
• 原点対称を とする：これは 軸対称です。原点対称は です。
• 右へ2の移動で とする：右への移動は です。
• 途中の を無視する： は元の一次係数と最終式を結ぶ橋渡しです。まず を求めます。
• 係数比較で定数項を確認しない：一次係数だけで値が出ても、定数項に代入して整合性を検算します。

確認問題

1. を下へ5動かしたら になった。 を求めなさい。
2. を原点対称にすると になった。 を求めなさい。
3. を 軸対称にした後、右へ1動かした式を求めなさい。
4. を右へ3、上へ1動かすと になった。 を求め、定数項も一致するか確認しなさい。

確認問題の答え

1.

2.

3.

4. 一次係数から 。定数項は となり3に一致しないため、問題の条件を同時に満たす は存在しません。係数比較では複数の条件をすべて確認することが重要です。

FAQ

係数比較はなぜ使えるのですか

同じ次数の多項式がすべての に対して等しいなら、各次数の係数が一致するからです。特定の一点だけでなく、グラフ全体が同じという条件を使っています。

順方向と逆方向のどちらで解くべきですか

未知係数を含む元の式が単純なら順方向が自然です。完成した式が簡単で、逆変換が分かりやすい場合は逆方向も有効です。試験では一方で解き、もう一方を短い検算に使うと安定します。

変換の順序は入れ替えられますか

一般には入れ替えられません。平行移動後に対称移動すると、移動方向そのものが反転する場合があります。問題文の順番に式を一行ずつ更新してください。

関連記事

• 二次関数1：基本事項を確認する
• 二次関数2：平方完成とグラフの作図
• 二次関数3：点の平行移動と対称移動
• 二次関数4：放物線の平行移動と対称移動

数強塾で変換の理由まで学ぶ

数強塾では、公式を当てはめるだけでなく、座標の動き、式への代入、係数比較、検算を一つの流れとして指導します。公開している合格実績は、2022〜2025年度の卒業生205名、合格件数323件、東京大学・京都大学13件です。合格件数は延べで、1名の複数合格を含みます。詳しくは合格実績ページをご覧ください。

二次関数の変換や係数決定を答案にまとめる練習をしたい方は、お問い合わせページから現在の学習状況をご相談いただけます。

次に解く問題・この単元の解説

この単元を体系的に理解する

• 高１数学｜二次関数 グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）
• 中高一貫校 高1の夏休みの数学課題｜2次関数の最大・最小「5つの型」と学校別の解説
• 2次関数の最大・最小【発展編】｜2変数・最大値と最小値の差・絶対値つきを本質から解く
• 数学I・Aの要点辞典：2次関数公式と要点

難易度を変えて練習する

同じ難易度の問題

• 高１数学｜高校1年 二次関数の平方完成 標準形・頂点・軸を4問で詳しく解説（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 二次関数のグラフ 頂点・軸・切片から4問を正確に作図（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 座標の平行移動と対称移動 変換の順序からp・qを求める（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 二次関数の平行移動と対称移動 頂点と公式で完全理解（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 余りの条件と2進法 合同式・中国剰余定理を基礎から（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 条件から二次関数を決定 軸・接線・通過点を式にする（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 絶対値を含む関数のグラフ 場合分けと4問の作図（無料問題PDF）
• 高１数学｜高校1年 二次関数の最大値・最小値 絶対値と開区間まで完全理解（無料問題PDF）