図形の量を2次関数で最小にする｜高1数学 2次関数30の無料PDFと練習3問

高1｜2次関数解き方がわからないときは高１数学｜二次関数グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

p + q = k のとき、p² + q² が最小になる p を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校1年「２次関数」の無料問題プリント（２次関数30）です。このプリントは、図形の条件から和が一定であることを導き、面積の和を2次関数として最小にする回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高１数学２次関数 30

図形の量を2次関数で最小にするで何ができるようになるか

2つの量の和が一定なら、片方を文字でおけばもう片方も決まります。面積の和のように 2 乗の和で表される量は、2つが等しいときに最小になります。p² + q² を p だけの式に直して平方完成すれば、そのことが式で確かめられます。図形の問題は、まず「何が一定か」を見つけるところから始まります。

解き方の手順

1図の中で一定になる量（和や差）を探し、式にします。

2動く量を1つ文字でおき、もう一方をその文字で表します。

3求める量をその文字の式にし、平方完成します。

4文字のとりうる範囲を確かめ、頂点が範囲内かを見ます。

つまずくのはここ

つまずき1｜変域を確かめない

半径は正で、図の中に収まる上限もあります。頂点が範囲外なら、端の値が最小になります。

つまずき2｜和が一定であることを使わずに2文字のまま進める

和が k と分かれば、q = k − p と書けて1文字になります。

つまずき3｜面積の和と長さの和を混同する

円の面積の和は π(p² + q²) で、半径の和とは別物です。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数が異なります。

練習1

p + q = k（k は定数）のとき、p² + q² が最小になる p の値と、そのときの最小値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

q = k − p を代入すると p² + (k − p)² = 2p² − 2kp + k²。
= 2(p − k/2)² + k²/2。
p = k/2 のとき最小値 k²/2
検算：k = 4 なら p = 2, q = 2 で 4 + 4 = 8 = 16/2。p = 1 なら 1 + 9 = 10 で大きい。
和が一定なら、2乗の和は2つが等しいときに最小。

練習2

AB = 2、BC = 3 の長方形 ABCD がある。2辺 AB、BC に接する円 P と、2辺 CD、DA に接する円 Q が外接している。円 P の半径を p、円 Q の半径を q とするとき、p + q の値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

円 P の中心は B から (p, p)、円 Q の中心は D から (q, q) の位置にあります。
2つの中心の x 方向の距離は 3 − p − q、y 方向は 2 − p − q。
外接しているので中心間の距離は p + q。
(3 − p − q)² + (2 − p − q)² = (p + q)²。
k = p + q とおくと (3 − k)² + (2 − k)² = k²、整理して k² − 10k + 13 = 0。
k = 5 ± 2√3。長方形に収まるのは小さいほう。
p + q = 5 − 2√3
検算：5 − 2√3 ≒ 1.54。もう一方の 5 + 2√3 ≒ 8.46 は長方形の外になるので不適です。
外接＝中心間の距離が半径の和。ここから k の方程式ができる。

練習3

練習2 の設定で、円 P と円 Q の面積の和 S が最小になるときの S を、k = p + q を用いて表しなさい。

解答・解説を見る

解答

S = π(p² + q²)。練習1 より p = q = k/2 のとき p² + q² は最小で k²/2。
S の最小値は πk²/2（p = q = k/2 のとき）
検算：k = 5 − 2√3 のとき k² = 37 − 20√3 なので、S = π(37 − 20√3)/2。p = q のとき2つの円は同じ大きさです。
和が一定のときの2乗の和は、等しいときに最小。

２次関数の他のプリント

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解き終わったら

2次関数まとめ31問（高1）——単元全体を型で整理したまとめ。
2次関数（高1）の特訓道場——場合分けと解の配置の30題で力試し。
数学I・Aの要点辞典第2章 2次関数——公式と定石を定義から確かめる。

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