合同式で余りを求める｜高1数学整数の性質1の無料PDFと練習3問

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高１数学整数の性質 1（PDF）

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高1｜整数の性質解き方がわからないときは高１数学｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

a を 7 で割ると 3 余り、b を 7 で割ると 5 余るとき、a + b を 7 で割った余りを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校1年「整数の性質」の無料問題プリント（整数の性質1）です。このプリントは、割った余りだけで計算する見方と、約数・倍数の定義を確かめる回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高１数学整数の性質 1

合同式で余りを求めるで何ができるようになるか

「7で割った余り」だけに注目すると、もとの数がいくつであっても計算が同じ形になります。余りだけを取り出して足したり掛けたりしてよい、というのがこの回の中心です。大きな数や文字のままでも扱えるようになり、あとの証明問題でそのまま効いてきます。

解き方の手順

1割る数を決め、それぞれの数を「割る数×商＋余り」の形で書きます。

2足し算・掛け算では、余りだけを取り出して計算してかまいません。商の部分は割る数の倍数なので、余りには影響しないからです。

3出てきた値がまた割る数以上になったら、もう一度割って余りに直します。

4割り切れない場合を扱うときは、余りが何通りあるかで場合分けします。3で割るなら余りは0,1,2の3通りしかありません。

つまずくのはここ

つまずき1｜商まで一緒に計算してしまう

a = 7k + 3 と置いたとき、7k の部分は7の倍数なので余りには関わりません。必要なのは 3 の側だけです。

つまずき2｜余りが割る数以上のまま答える

3 + 5 = 8 は 7 以上なので、そこで止めずに 8 ÷ 7 の余り 1 まで進めます。

つまずき3｜「割り切れないとき」の場合分けを1つ落とす

5で割り切れない整数なら、余りは 1, 2, 3, 4 の4通りです。全部を調べて初めて「どの場合も」と言えます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数が異なります。

練習1

a を 7 で割ると 3 余り、b を 7 で割ると 5 余るとき、a + b を 7 で割った余りを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

余りだけを足すと 3 + 5 = 8。
8 はまだ 7 以上なので、もう一度 7 で割って余りを取ります。
1
検算：a = 10, b = 12 で試すと a + b = 22、22 ÷ 7 = 3 余り 1。合っています。
足し算は余りだけで計算してよい。最後に割る数未満に直す。

練習2

同じ条件のとき、2a + 3b を 7 で割った余りを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

2a の余りは 2 × 3 = 6、3b の余りは 3 × 5 = 15。
合わせて 6 + 15 = 21。21 は 7 の倍数です。
0
検算：a = 10, b = 12 で 2a + 3b = 56。56 ÷ 7 = 8 で割り切れます。
掛け算も余りだけでよい。係数を掛けてから足す。

練習3

整数 n が 5 で割り切れないとき、n² を 5 で割った余りは 1 か 4 のどちらかであることを示しなさい。

解答・解説を見る

解答

5 で割り切れないので、余りは 1, 2, 3, 4 の4通り。
余り1のとき n² の余りは 1、余り2のとき 4、余り3のとき 9 → 4、余り4のとき 16 → 1。
どの場合も余りは 1 か 4 になる
検算：n = 6, 7, 8, 9 で n² = 36, 49, 64, 81。5で割った余りは 1, 4, 4, 1。
余りの通り数だけ調べれば「すべての整数について」示せる。