高1｜整数の性質解き方がわからないときは 高１数学｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは高校1年「整数の性質」の無料問題プリント（整数の性質）です。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
整数の性質で何ができるようになるか
約数と倍数、ユークリッドの互除法、不定方程式、合同式、n進法。公式暗記が効かず、論理をたどる力がそのまま点になる単元です。
解き方の手順
1互除法は「割って余りを取る」を余りが 0 になるまで繰り返す。最後の割る数が最大公約数。
2不定方程式はまず特殊解を1組見つける（小さい値を代入するか互除法を逆にたどる）。
3元の式と引き算して ax₁ = −by₁ の形にし、互いに素を使って一般解を出す。
4素因数分解したら、約数の個数は指数に1を足して掛ける。
つまずくのはここ
つまずき1｜不定方程式の特殊解を見つけられない
まず小さい値を代入して1組見つけます。見つからなければ互除法を逆にたどります。1組見つければ残りは自動的に決まる、という構造を理解しておくこと。
つまずき2｜「互いに素」の使いどころを外す
ab が c の倍数で a と c が互いに素なら、b が c の倍数。整数問題の decisive な一手はたいていここです。
つまずき3｜約数の個数の公式を暗記だけで使う
約数は各素因数から指数を1つずつ選んで作るので、選び方の積が個数になります。この理解があると、総和の公式も自分で作れます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
ユークリッドの互除法を用いて、121 と 187 の最大公約数を求めなさい。
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解答
187 = 121 × 1 + 66
121 = 66 × 1 + 55
66 = 55 × 1 + 11
55 = 11 × 5 + 0
余りが 0 になったときの割る数が最大公約数。
最大公約数は 11。
検算：121 = 11 × 11、187 = 11 × 17 で、11 と 17 は互いに素。
最小公倍数は 121×187÷11 = 2057（積 ÷ 最大公約数）。
練習2
5x + 7y = 1 を満たす整数 x, y の組をすべて求めなさい。
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解答
5 と 7 は互いに素なので整数解をもつ。1つ見つけると x = 3, y = −2（5×(3) + 7×(−2) = 1）。
元の式との差をとると 5(x − 3) = −7(y + 2)。
5 と 7 は互いに素だから、k を整数として
x = 3 + 7k, y = −2 − 5k
検算：5(3 + 7k) + 7(−2 − 5k) = 1 で k が消える。
特殊解を1つ見つけるのが要。互除法を逆にたどるか、小さい値を代入して探す。
練習3
7000 を素因数分解し、正の約数の個数と、正の約数の総和を求めなさい。
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解答
7000 = 23 × 53 × 7
約数の個数は指数に1を足して掛ける：(3+1)(3+1)(1+1) = 32 個。
約数の総和は (1+2+4+8)(1+5+25+125)(1+7) = 18720。
なぜ掛け算になるかというと、約数は各素因数から指数を1つずつ選んで作るから。選び方の積 = 約数の個数という理解だと公式を忘れない。
整数の性質の他のプリント
同じ「整数の性質」の無料プリントは全部で 17 本あります。近い番号のものを並べました。
- 高１数学：整数の性質｜12（無料問題PDF）
- 高１数学：整数の性質｜13（無料問題PDF）
- 高１数学：整数の性質｜14（無料問題PDF）
- 高１数学：整数の性質｜15（無料問題PDF）
- 高１数学：整数の性質｜17（無料問題PDF）
解き終わったら
- 数学I・Aの要点辞典——整数の性質を含む数I・A全範囲。
- 数学用語辞典——用語を定義から確認する。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
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