すべてのnで割り切れる数を探す｜高1数学整数の性質17の無料PDFと練習3問

高1｜整数の性質解き方がわからないときは高１数学｜約数・倍数・互除法・不定方程式・n進法【数学A】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

n(n + 1)(n + 2) をどんな自然数 n についても割り切る整数のうち、最大のものを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校1年「整数の性質」の無料問題プリント（整数の性質17）です。このプリントは、n がどんな値でも必ず割り切れる数を求める入試問題を扱う回です。自治医科大学2019年の問題が入っています。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高１数学整数の性質 17

すべてのnで割り切れる数を探すで何ができるようになるか

「どんな n でも割り切れる最大の数」を探すときは、まず小さい n をいくつか代入して候補の最大公約数を出します。ここで上限が分かります。そのあとで、その数で必ず割り切れる理由を示せば確定します。実験で当たりをつけて、証明で確定させる——この二段構えが整数問題の進め方です。

解き方の手順

1n = 1, 2, 3, 4 あたりを代入して値を並べます。

2それらの最大公約数をとります。答えはこれ以下です。

3式を因数分解するか、連続する整数の積の形に持ち込みます。

4「連続する k 個の整数の積には k の倍数が含まれる」を使って、各素因数について割り切れる理由を示します。

つまずくのはここ

つまずき1｜代入した1つの値の約数を答える

n = 1 の値が 6 でも、答えが 6 とは限りません。複数の n での最大公約数をとる必要があります。

つまずき2｜最大公約数を出しただけで終える

最大公約数は「これ以下」という上限にすぎません。本当にすべての n で割り切れるかは別に示します。

つまずき3｜偶数と 3 の倍数を別々に扱わない

6 の倍数を示すには、2 の倍数であることと 3 の倍数であることを別々に言ってから、2 と 3 が互いに素であることを使います。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数が異なります。

練習1

n(n + 1)(n + 2) をどんな自然数 n についても割り切る整数のうち、最大のものを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

n = 1, 2, 3 で 6, 24, 60。最大公約数は 6 なので、答えは 6 以下です。
連続する3つの整数には必ず偶数が1つ以上含まれ、3 の倍数がちょうど1つ含まれます。
2 と 3 は互いに素なので、積は 6 の倍数です。
6
検算：n = 4 なら 120、n = 5 なら 210。どちらも 6 で割り切れ、7 以上の共通の約数はありません。
実験で上限を出し、証明で確定させる。

練習2

n³ − n をどんな整数 n についても割り切る整数のうち、最大のものを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

因数分解すると n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)n(n + 1)。
連続する3つの整数の積なので、6 の倍数です。
n = 2 で 6、n = 3 で 24。最大公約数は 6。
6
検算：n = 5 なら 120、n = 10 なら 990。どちらも 6 で割り切れます。
まず因数分解して、連続する整数の積の形を作る。

練習3

n⁵ − n をどんな整数 n についても割り切る整数のうち、最大のものを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

n⁵ − n = n(n⁴ − 1) = n(n² − 1)(n² + 1) = (n − 1)n(n + 1)(n² + 1)。
連続する3つの整数の積があるので 6 の倍数。
さらに 5 で割った余りで分けると、どの場合も 5 で割り切れます。
n = 2 で 30、n = 3 で 240。最大公約数は 30。
30
検算：n = 4 なら 1020 = 30 × 34、n = 6 なら 7770 = 30 × 259。
6 の倍数であることと 5 の倍数であることを別々に示して合わせる。

整数の性質の他のプリント

← 前：整数の性質16｜互いに素の同値な言いかえ

同じ「整数の性質」の無料プリントは全部で 17 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

解き終わったら

数学I・Aの要点辞典第8章整数の性質——単元の要点をまとめて確認する。
整数の性質（基本）の特訓道場——倍数判定・互除法・n進法の30題で通しの力試し。
整数の性質の特訓道場——入試水準の30題で力を試す。

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