高２数学｜式と証明（基本） 展開1（無料問題・解答PDF）

このページは高校2年「式と証明（基本）」の無料問題プリント（式と証明（基本）1）です。このプリントは、二項定理を使った展開と、指定された項の係数を求める回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の式で確かめてください。

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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学 式と証明（基本） 1

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ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。

解答・解説

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二項定理で展開するで何ができるようになるか

(a + b)ⁿ を展開したとき、各項は「a を何個、b を何個選ぶか」で決まります。n 個のかっこから b を r 個選ぶ選び方が _nC_r 通りあるので、それがそのまま係数になります。全部展開しなくても、必要な項だけを取り出せるようになるのがこの回の狙いです。

解き方の手順

つまずくのはここ

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、式を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは式が異なります。

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解答

一般項は ₅C_r a^5−r(3b)^r = ₅C_r 3^r a^5−rb^r。
r = 0 から 5 まで、係数は 1, 5×3, 10×9, 10×27, 5×81, 1×243。
a⁵ + 15a⁴b + 90a³b² + 270a²b³ + 405ab⁴ + 243b⁵
検算：a = b = 1 とすると左辺は 4⁵ = 1024。右辺も 1+15+90+270+405+243 = 1024。
3^r を掛け忘れない。係数は二項係数 × 定数の累乗。

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解答

x⁴ なので 3 は 2 個選ばれます。r = 2。
₆C₂ × 3² = 15 × 9。
135
検算：(x+3)⁶ を展開すると x⁴ の項は 135x⁴。3 の 2 乗を落とすと 15 になってしまいます。
定数の累乗まで含めて係数。

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解答

x³ なので (2x) が 3 個、(−1) が 4 個。
₇C₃ × 2³ × (−1)⁴ = 35 × 8 × 1。
280
検算：(−1) の指数が 4 で偶数なので符号は +。奇数なら −280 になります。
符号は (−1) の指数の偶奇で決まる。

式と証明（基本）の他のプリント

同じ「式と証明（基本）」の無料プリントは全部で 20 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

• 式と証明（基本）3｜二項定理を余りや位に使う
• 式と証明（基本）4｜整式を整式で割る
• 式と証明（基本）5｜割り算の関係から式を求める
• 式と証明（基本）6｜分数式を通分して計算する
• 式と証明（基本）7｜分数式を差の形に直す
• 式と証明（基本）8｜繁分数式を整理する
• 式と証明（基本）9｜恒等式の係数を決める
• 式と証明（基本）10｜3乗の展開と因数分解
• 式と証明（基本）11｜立方公式と多項定理を使い分ける
• 式と証明（基本）12｜展開式の係数だけを取り出す
• 式と証明（基本）13｜商と余りを求める
• 式と証明（基本）14｜割る式を逆算で求める
• 式と証明（基本）15｜分数式を約分して掛け割りする
• 式と証明（基本）16｜分数式の四則をまとめて扱う
• 式と証明（基本）17｜恒等式と、文字に無関係な条件
• 式と証明（基本）18｜条件つきの等式を証明する
• 式と証明（基本）19｜相加平均と相乗平均で不等式を示す
• 式と証明（基本）20｜平方完成で不等式を示す・比の値

解き終わったら

• 数学II・B・Cの要点辞典 第1章 式と証明——単元の要点をまとめて確認する。
• 式と証明の特訓道場——入試水準の30題で通しの力試し。
• 順列と組合せ——二項係数の意味を組合せから確かめる。

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