平方完成で不等式を示す・比の値｜高2数学式と証明20の無料PDFと練習3問

高2｜式と証明解き方がわからないときは式と証明｜二項定理・恒等式・定義域と等号条件の追試を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

x² + 4y² ≧ 4xy を証明しなさい。また等号が成り立つときを調べなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「式と証明（基本）」の無料問題プリント（式と証明（基本）20）です。このプリントは、差を平方の形にして不等式を示す方法と、比が与えられたときの値の求め方を扱う回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の式で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学式と証明（基本） 20

平方完成で不等式を示す・比の値で何ができるようになるか

不等式の証明でいちばん確実なのは、（左辺）−（右辺）を計算してそれが平方の形になることを示す方法です。実数の 2 乗は必ず 0 以上——この 1 つの事実だけで証明が閉じます。比が与えられた問題では、a = 3k のように文字でおくと、k が約分で消えて値が決まります。

解き方の手順

1（左辺）−（右辺）を計算します。

2平方完成するか、因数分解して ( )² の形を作ります。

32 乗は 0 以上なので、差が 0 以上、つまり不等式が成り立ちます。

4等号は ( ) の中身が 0 になるときです。

つまずくのはここ

つまずき1｜差を取らずに移項だけで済ませる

移項しただけでは「0 以上」の根拠になりません。平方の形まで持っていきます。

つまずき2｜等号成立の条件を書かない

( )² = 0 となる値まで示して、証明が完成します。

つまずき3｜比の問題で文字を消さずに計算する

a : b : c = 3 : 5 : 2 なら a = 3k、b = 5k、c = 2k と置きます。k が約分で消えるので、値が1つに決まります。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、式を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは式が異なります。

練習1

x² + 4y² ≧ 4xy を証明しなさい。また等号が成り立つときを調べなさい。

解答・解説を見る

解答

（左辺）−（右辺）= x² − 4xy + 4y²。
これは (x − 2y)² と書けます。
実数の 2 乗は 0 以上なので、差は 0 以上。
x² + 4y² ≧ 4xy（等号は x = 2y のとき）
検算：x = 2, y = 1 で左辺 4 + 4 = 8、右辺 8。等号が成り立ちます。
差を平方の形にできれば、それだけで証明になる。

練習2

a : b : c = 2 : 3 : 4、abc ≠ 0 のとき、(a² + b² − c²) ÷ (a² − b² + c²) の値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

a = 2k、b = 3k、c = 4k（k ≠ 0）と置きます。
分子は 4k² + 9k² − 16k² = −3k²。
分母は 4k² − 9k² + 16k² = 11k²。
−3 / 11
検算：k = 1 なら分子 −3、分母 11。k = 2 なら −12 と 44 で比は同じです。
k を置くと、約分で消えて値が決まる。

練習3

a > 0、b > 0 のとき、a/b + b/a ≧ 2 を証明しなさい。

解答・解説を見る

解答

（左辺）− 2 = (a² + b² − 2ab)/(ab)。
分子は (a − b)² で 0 以上、分母 ab は正。
よって差は 0 以上です。
a/b + b/a ≧ 2（等号は a = b のとき）
検算：a = 3, b = 1 なら 3 + 1/3 = 10/3 で 2 より大きい。a = b なら 1 + 1 = 2。
通分してから分子を平方の形にする。分母の符号も断る。

式と証明（基本）の他のプリント

← 前：式と証明（基本）19｜相加平均と相乗平均で不等式を示す

同じ「式と証明（基本）」の無料プリントは全部で 20 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

解き終わったら

数学II・B・Cの要点辞典第1章式と証明——単元の要点をまとめて確認する。
式と証明の特訓道場——入試水準の30題で通しの力試し。
論理と証明の要点辞典——不等式の証明の答案の書き方を見る。

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