中１数学：空間図形｜比10（無料問題・解答PDF）

このページは中学1年「空間図形」の無料プリント（比10）の解説です。円柱にちょうど入る球——この関係には、2200年前にアルキメデスが発見した美しい比が隠れています。中1で出会える、数学史上もっとも有名な結果のひとつです。

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下のリンクから PDF が開きます。空間図形は図に書き込みながら解くのが最短です。印刷して使ってください。

中1数学 空間図形 比10 問題

中1数学 空間図形 比10 解答

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問題

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解答・解説

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円柱にちょうど入る球

「ちょうど入る」とは、球が円柱の側面と上下の面すべてに接している状態です。このとき円柱の寸法は自動的に決まります。

円柱の底面の半径 ＝ r　　円柱の高さ ＝ 2r（球の直径）

アルキメデスの発見

この球と円柱を比べると、驚くほどきれいな関係になります。

球の体積 ＝ 4/3πr³　　円柱の体積 ＝ πr² × 2r ＝ 2πr³

比を取ると——

球 : 円柱 ＝ 4/3πr³ : 2πr³ ＝ 4/3 : 2 ＝ 2 : 3

表面積も一致する

さらに驚くことに、球の表面積と円柱の側面積は等しくなります。

球の表面積 ＝ 4πr²　　円柱の側面積 ＝ 2πr × 2r ＝ 4πr²

比は 1 : 1。缶詰にぴったり入ったボールの表面と、缶のラベルの面積が同じ——直感に反しますが、計算すると一致します。

つまずくのはここ

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ判断を、数値を変えて出題しています。

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解答

円柱は底面の半径6cm、高さ12cm。
（1）表面積 = 4π×6² = 144π cm²、体積 = 4/3π×216 = 288π cm³
（2）円柱の側面積 = 2π×6 × 12 = 144π cm²。比は 1 : 1
（3）円柱の体積 = π×36 × 12 = 432π。288π ÷ 432π = 2/3 倍
検算：どちらも r によらない比（1:1 と 2:3）になっています ○

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解答

半径を r（＝a/2）とすると、高さは 2r。
円柱 = πr² × 2r = 2πr³
球 = 4/3πr³
円錐 = 1/3 × πr² × 2r = 2/3πr³
比：2 : 4/3 : 2/3　→　すべて3倍して 6 : 4 : 2　→　2で割って
円柱 : 球 : 円錐 ＝ 3 : 2 : 1
検算：円錐 + 球 = 1 + 2 = 3 = 円柱 ○
円錐と球を合わせると、ちょうど円柱になります。これもアルキメデスが見つけた関係で、3 : 2 : 1 という覚えやすい形にまとまります。

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解答

（1）同じ底面・同じ高さなので、円柱は円錐の 3倍
（2）高さ10cm ＝ 直径 なので、入る球の半径は 5cm。
球 = 4/3π×125 = 500π/3 cm³
円錐 = 1/3 × π×25 × 10 = 250π/3 cm³
比：500π/3 : 250π/3 = 2 : 1
検算：円柱 = π×25×10 = 250π = 750π/3。
円錐 : 球 : 円柱 = 250 : 500 : 750 = 1 : 2 : 3 ○（練習2と一致）
数値が変わっても比は 1 : 2 : 3 のまま。これが「r によらない」ということの意味です。

定着チェック

いまの理解段階を自分で選んでみてください。

• 未習——用語の意味がまだ言えない。
• 用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
• 典型を解ける——同じ形なら解ける。
• 初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
• 入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。

この先の学習経路

• 中1 空間図形 特訓道場（30題）——開いて起こす30題で通し演習。
• 平面図形（基本1）——おうぎ形の弧と面積はここで。
• 中1数学の要点辞典——中1全範囲の要点。
• 図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。

数強塾について

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ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。