中２数学｜一次関数(難問) 最短7（無料問題・解説つき）

中2数学「一次関数（難問）」7の全2問を、問題文つきで解説します。埼玉県・巣鴨の高校入試で実際に出た問題です。テーマは最短経路（折り返し）と対称移動・回転移動。どちらも「動かして考える」問題です。問題PDF

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お知らせ　この回には解答PDFが用意されていません。このページの解答は、最短性を数値走査で、移動は長さの不変性で確かめたうえで掲載しています。

この回の型：最短は「折り返してまっすぐ」、移動は「操作を順に適用」

型① AP + PB を最小にする → 片方を折り返して、線分にする
② 移動の問題 → 書かれた順に1つずつ操作する（まとめて考えない）

【1】y 軸上の点 P で AP + PB を最短にする　《埼玉》

手順0：A と B が y 軸の同じ側にあるか確認する。　A の x 座標は 1、B は 3。どちらも正なので同じ側です。折り返しが使えます。

手順1：A を y 軸に関して折り返す。　y 軸で折り返すと x 座標の符号だけが変わります。
　A(1, 4) → A′(−1, 4)

なぜこうするかP は y 軸上にあるので、AP ＝ A′P がつねに成り立ちます（y 軸が線分 AA′ の垂直二等分線だから）。すると
　AP + PB ＝ A′P + PB
となり、A′ から P を通って B へ行く折れ線の長さになります。これが最小になるのは P が線分 A′B 上にあるとき。高2の「図形と式」9枚目とまったく同じ考え方で、中2でも同じ道具が使えます。

手順2：直線 A′B と y 軸の交点を求める。
　傾き ＝ (1 − 4) / (3 − (−1)) ＝ −3/4
　A′(−1, 4) を通るので y − 4 ＝ −(3/4)(x + 1) → y ＝ −(3/4)x + 13/4
　x ＝ 0 を代入して y ＝ 13/4。よって P(0, 13/4)。

検証このとき AP + PB ＝ 5.000000000、線分 A′B の長さも 5.000000000 で一致 ○
さらに y 軸上の点を y ＝ −10 から 10 まで 0.005 刻みで動かして AP + PB を計算したところ、最小になったのは y ＝ 3.25（＝ 13/4）、値は 5.000000000。理論値と完全に一致し、これが本当に最小だと確認できました ○

よくあるミス　①A と B の両方を折り返す。折り返すのは片方だけです。
②y 軸での折り返しで y 座標を変える。y 軸で折り返すと変わるのは x 座標の符号だけ。(1,4) → (−1,4) です。x 軸なら y の符号が変わります。
③A′ を求めて満足する。聞かれているのは P です。A′B と y 軸の交点まで出しきってください。

定石　同じ側なら折り返して線分に化けさせる。反対側にあるなら折り返さず、そのまま線分 AB と軸の交点。

【2】対称移動してから90°回転移動　《巣鴨》

操作1：直線 y ＝ x に関して対称移動。
y ＝ x での対称移動は、x 座標と y 座標を入れかえるだけです。
　P(3, 1) → (1, 3)

なぜこうするか直線 y ＝ x は「x と y が等しい点の集まり」。この直線に関する折り返しは、x と y の役割を交換する操作にあたります。
確かめ方も簡単です。(3,1) と (1,3) の中点は (2, 2) で、これは y ＝ x 上にあります ○　また2点を結ぶ線分の傾きは (3−1)/(1−3) ＝ −1 で、y ＝ x の傾き 1 と積が −1 なので垂直 ○　中点が直線上にあり、垂直——対称移動の条件をどちらも満たしています。

操作2：原点を中心に反時計回りに 90° 回転。
反時計回り 90° の回転は (x, y) → (−y, x)。
　(1, 3) → (−3, 1)　よって Q(−3, 1)。

なぜこうするか回転の公式を忘れたら、点 (1, 0) がどこへ行くかを考えます。反時計回りに 90° 回すと (1, 0) → (0, 1)。同じように (0, 1) → (−1, 0)。
つまり「右方向」が「上方向」に、「上方向」が「左方向」に変わる。点 (1, 3) は「右に1、上に3」なので、移った先は「上に1、左に3」＝ (−3, 1)。公式を覚えていなくても、方向で考えれば必ず出せます。

検証対称移動も回転移動も原点からの距離を変えません。
　|OP| ＝ √(3² + 1²) ＝ √10 ＝ 3.1622777
　|OQ| ＝ √((−3)² + 1²) ＝ √10 ＝ 3.1622777
一致しています ○　この検算は移動の問題すべてで使えます。距離が変わっていたら、どこかで間違えています。

よくあるミス　①2つの操作の順番を入れかえる。問題文は「対称移動し、さらに回転」。順番が変わると答えも変わります（先に回転すると (3,1)→(−1,3)→対称で (3,−1) となり別の点）。書かれた順にひとつずつ。
②反時計回りと時計回りを取り違える。反時計回りは (x,y)→(−y,x)、時計回りは (x,y)→(y,−x)。(1,0) がどこへ行くかで毎回確かめてください。
③y ＝ x の対称移動で符号を変えてしまう。入れかえるだけで、符号は変えません。

定石　y ＝ x で対称 → x と y を入れかえる。／反時計90° → (x, y) → (−y, x)。
検算は原点からの距離が変わっていないか。

この回で身につくこと

【1】の折り返しは、1枚目の等積変形と並んで、「そのままでは扱いにくい形を、扱いやすい形に化けさせる」技術の代表です。折れ線は扱いにくいけれど、線分なら「2点を結ぶ最短は直線」で一発。変形して既知の形に持ち込む——これが数学の基本動作です。
【2】は操作を1つずつ、順番どおりにやるだけ。ただし公式を丸暗記すると順番や向きで必ず事故ります。(1,0) がどこへ行くかで確かめるという自分なりの検算方法を持っておいてください。
そして移動では原点からの距離が変わらない——この一言が、答えが出たあとの安心につながります。
一次関数の基礎は一次関数とは？式・グラフ・変化の割合を解説【中2数学】、この難問シリーズは1（面積の2等分）／4（正方形・長方形）／6（変域）へ。