中２数学｜一次関数(難問) 排水28（無料問題・解説つき）

中2数学「一次関数（難問）」28を、問題文つきで解説します。東洋大姫路の入試問題で、給水管2本と排水管2本がついた水そうのグラフを読む問題です。傾きの差から1本ずつの量を取り出す——これが水そうグラフの核心です。問題PDF

お知らせ　この回には解答PDFが用意されていません。このページの解答は、求めた4本の管の量から満水250Lと排水量の合計を組み直し、グラフと完全に一致することを確かめたうえで掲載しています。

この回の型：傾きの差が、開け閉めした管の量そのもの

型水そうのグラフで折れ曲がるのは、管を開けたか閉めたかしたとき。
だから折れ目の前後の傾きの差＝そのとき開け閉めした管の量になります。
1本ずつ分からなくても、差なら必ず分かる。ここから芋づる式に全部出せます。

【1】4本の管がついた水そう　《東洋大姫路》

手順1：4つの区間の傾きを出す。　文章の「5分後」「さらに4分後」が、グラフの折れ目 5分・9分と一致します。

• 0〜5分（A・B開、C開）：(90 − 0)÷(5 − 0) ＝ 毎分18L　… A ＋ B − C
• 5〜9分（A・B開、C閉）：(190 − 90)÷(9 − 5) ＝ 毎分25L　… A ＋ B
• 9〜15分（A閉、B開）：(250 − 190)÷(15 − 9) ＝ 毎分10L　… B
• 15〜25分（C・D開の排水）：(90 − 250)÷(25 − 15) ＝ 毎分−16L　… C ＋ D

なぜこうするか1本ずつの量は、どこにも書いてありません。書いてあるのは「まとめて何L入ったか」だけ。
ところがとなり合う区間の差をとると、変えた管1本ぶんだけが残ります。
0〜5分と5〜9分の違いはCを閉めたことだけなので、25 − 18 ＝ 7 がそのままCの量になる。
これが水そうグラフを解く仕掛けです。連立方程式を立てなくても、引き算で1本ずつ取り出せます。

手順2：差をとって1本ずつ出す。
　C：(A＋B) −(A＋B−C) ＝ 25 − 18 ＝ 毎分7L　←(2)の答え
　B：9〜15分の傾きそのもの ＝ 毎分10L
　A：(A＋B) − B ＝ 25 − 10 ＝ 毎分15L　←(1)の答え
　D：(C＋D) − C ＝ 16 − 7 ＝ 毎分9L

検証4本の量から、グラフを組み直してみます。
0〜5分：18×5 ＝ 90L／5〜9分：25×4 ＝ 100L／9〜15分：10×6 ＝ 60L
合計 90 ＋ 100 ＋ 60 ＝ 250L。グラフの満水250Lと一致 ○
排水も 15〜25分で 16×10 ＝ 160L、残りは 250 − 160 ＝ 90L で、グラフの(25, 90)と一致 ○

(3) 手順3：25分以降はDだけ。　25分の時点で残りは90L、排水はDだけで毎分9L。
　90 ÷ 9 ＝ 10分かかるので、空になるのは 25 ＋ 10 ＝ 35分後。

検証排水の合計は 160 ＋ 9×10 ＝ 160 ＋ 90 ＝ 250L。満水の量とぴったり一致 ○
入れた量と出した量が合わなければ、どこかで読み違えています。この確認は必ずやってください。

よくあるミス　①0〜5分の18を「A＋B」だと思う。この区間はCが開いています。18 は A＋B−C です。文章の「このとき、排水管Cは開いていたが」を読み落とすと全部ずれます。
②「さらに4分後」を「4分の時点」と読む。5分のさらに4分後 ＝ 9分。グラフの折れ目と照らせば確認できます。
③(3) で満水250Lを9で割る。25分までにすでに160L出ています。残りの90Lを割るのが正しい。
④25分以降もC＋Dだと思う。25分＝「排水を始めてから10分後」でCを閉めています。

定石　水そうグラフは、まず全区間の傾きを書き出す。それからとなりとの差をとる。
差＝そのとき開け閉めした管の量。
最後に入れた量の合計と出した量の合計が一致するかで検算する。

この回で身につくこと

この問題が「難問」なのは、管が4本あって、しかも1本ずつの量がどこにも書いていないからです。
けれどやることは引き算だけでした。連立方程式も、複雑な計算も要りません。
大事なのは文章の時刻とグラフの折れ目を対応させる作業です。
「5分後にCを閉め」→ 折れ目 5分、「さらに4分後にAを閉め」→ 折れ目 9分、「排水を始めて10分後にCを閉め」→ 折れ目 25分。
この対応表を先に作ってしまえば、あとは傾きの引き算に落ちます。
グラフを読む問題全般で、文章とグラフを行き来するこの手つきが効きます。
同じくグラフを読む問題は15（秋田・グラフから傾きを読む）、速さのダイヤグラムは27（東京学芸大附）へ。一次関数の基礎は一次関数とは？式・グラフ・変化の割合を解説【中2数学】。