毎日の数学168~177｜中学3の総合復習と練習6問

今日の一問

次の式を展開しなさい。　(x + 1)(x + 6)

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「毎日の数学」168~177の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題6問で、同じ範囲を別の数字で確かめてください。単元をまたいだ総合問題なので、「何の単元か」を見分ける練習にもなります。

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中３数学毎日の数学168~177

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問題

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毎日の数学で何ができるようになるか

中学3年の内容を単元をまたいで確認します。展開・因数分解・二次方程式・関数・図形は入試で組み合わせて出るので、混ぜて解く練習がそのまま入試対策になります。

解き方の手順

1まず何の単元かを見分ける。かっこがあれば展開か因数分解。

2因数分解は共通因数 → 公式の順に必ず見る。

3図形は分かっている長さを図に書き込む。頭の中でやらない。

4答えが出たら展開し直す・代入するなど、逆の操作で確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜因数分解で共通因数を先に出さない

共通因数が最優先です。先に公式を当てようとすると、解けるものも解けなくなります。

つまずき2｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら A↔A、B↔D、C↔E の順。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき3｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら面積比は m² : n²。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

数強塾オリジナルの練習問題（6問）

プリントと同じ範囲を、単元を混ぜて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

次の式を展開しなさい。　(x + 1)(x + 6)

解答・解説を見る

解答

かっこの中の数について、和が x の係数、積が定数項になる。
和：(1) + (6) = 7　積：(1)×(6) = 6
x² + 7x + 6
検算：分配法則で1つずつ掛けても x² + 6x + x + 6 となり同じ。
公式は分配法則の近道にすぎない。迷ったら地道に分配してよい。

練習2

次の式を因数分解しなさい。　3x² + 6x + 3

解答・解説を見る

解答

まず共通因数 3 をくくり出す。
3(x² + 2x + 1)
かっこの中は平方の公式 (x + 1)² の形。
3(x + 1)²
検算：3(x + 1)² = 3(x² + 2x + 1) = 3x² + 6x + 3。
共通因数を先に抜く。抜かずに公式を探すと形が見えない。

練習3

y は x の2乗に比例し、x = 2 のとき y = 16 である。y を x の式で表し、x = 7 のときの y を求めなさい。

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解答

y = ax² とおく。16 = a×2² = 4a より a = 4。
よって y = 4x²。
x = 7 のとき y = 196。
検算：x = 2 を代入すると 16 に戻る。

練習4

直角をはさむ2辺の長さが 39 cm と 80 cm の直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。

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解答

三平方の定理より、斜辺を c とすると c² = 39² + 80² = 1521 + 6400 = 7921。
c > 0 だから c = 89 cm。
検算：39² + 80² = 7921 = 89²。

練習5

∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 12、CB = 35、AB = 37 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。

∠C = 90°、CA = 12、CB = 35、AB = 37。H は C から AB に下ろした垂線の足。

解答・解説を見る

解答

CH = 420/37、AH = 144/37、BH = 1225/37

三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
面積を2通りに表すと 12 × 35 ÷ 2 = 37 × CH ÷ 2 なので CH = 12 × 35 ÷ 37 = 420/37
△ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 12² ÷ 37 = 144/37
同じく BH = BC² ÷ AB = 35² ÷ 37 = 1225/37
確かめ: AH + BH = 144/37 + 1225/37 = 37 で AB と一致する。

練習6

三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 3 : 4 で、三角形ABCの面積が 441cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。

DE ∥ BC。AD : DB = 3 : 4。

解答・解説を見る

解答

360 cm²

DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 3 : 7。
面積比は相似比の2乗だから 3² : 7² = 9 : 49。
△ADE = 441 × 9 ÷ 49 = 81（cm²）
四角形DBCE = 441 − 81 = 360（cm²）

解き終わったら

中学3数学の要点辞典——出てきた単元をその場で確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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