二次関数 y = ax²｜基本32の無料問題PDFと練習3問【中学3年・解説つき】

中3｜関数 y=ax²解き方がわからないときは中３数学｜関数 y=ax²とはグラフ・変域・変化の割合【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

y は x の2乗に比例し、x = 6 のとき y = −12 である。y を x の式で表し、x = 9 のときの y を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年「二次関数 y = ax²」の無料問題プリント（基本）です。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学二次関数基本32

二次関数 y = ax²で何ができるようになるか

y = ax² のグラフの形、変化の割合、変域を扱います。一次関数との最大の違いは「変化の割合が一定ではない」こと。ここが理解の分かれ目です。

解き方の手順

1y = ax² とおき、与えられた点を代入して a を求める。

2変化の割合を聞かれたら a(p + q) で出す（x が p から q まで動くとき）。

3変域を聞かれたら、まずx の変域に 0 が入るかを見る。

40 が入るなら y = 0 が最大か最小の一方になる。端の2点だけで答えない。

つまずくのはここ

つまずき1｜変域に 0 が入るのに端だけで答える

x の変域が 0 をまたぐとき、y の最大・最小の一方は必ず x = 0 の値（＝0）になります。端の2点だけを比べると答えを外します。

つまずき2｜変化の割合を傾きだと思う

y = ax² の変化の割合は区間ごとに変わります。x が p から q まで動くときの値は a(p + q)。この公式を知っていると検算が一瞬で終わります。

つまずき3｜a の符号とグラフの向きを結びつけられない

a > 0 なら下に凸で最小値 0、a < 0 なら上に凸で最大値 0。グラフを描いてから答えると変域の事故が減ります。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

y は x の2乗に比例し、x = 6 のとき y = −12 である。y を x の式で表し、x = 9 のときの y を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

y = ax² とおく。−12 = a×6² = 36a より a = −1/3。
よって y = −1/3x²。
x = 9 のとき y = −27。
検算：x = 6 を代入すると −12 に戻る。

練習2

関数 y = 1/2x² について、x の値が −2 から 5 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

変化の割合 = (y の増加量) ÷ (x の増加量)。
x = −2 のとき y = 2、x = 5 のとき y = 25/2。
よって 25/2 − 2 を 5 + 2 で割って 3/2。
公式で確認：y = ax² で x が p から q まで動くときの変化の割合は a(p + q)。1/2×(−2 + 5) = 3/2 で一致する。
1次関数と違い、2次関数の変化の割合は区間によって変わる。

練習3

関数 y = x² について、−1 ≦ x ≦ 1 のときの y の変域を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

x の変域が 0 をまたいでいるので、端の値だけを見てはいけない。
x = 0 のとき y = 0 で、これが最小になる。
x = −1 のとき y = 1、x = 1 のとき y = 1。
よって 0 ≦ y ≦ 1。
変域に 0 が入っているのに端だけで答えるのが、この単元で最も多い失点。

二次関数 y = ax²の他のプリント

← 前：中３数学：二次関数｜基本31（無料問題・解答PDF）

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同じ「二次関数 y = ax²」の無料プリントは全部で 34 本あります。近い番号のものを並べました。

解き終わったら

中3数学の要点辞典——二次関数を含む中3全範囲。
高校数学辞典——高校の2次関数へ。
平方完成とは｜意味・計算方法——高校で最初に出会う変形。

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