三平方の定理｜応用23の無料問題PDFと練習3問【中学3年・解説つき】

中3｜三平方の定理解き方がわからないときは中３数学｜三平方の定理証明・辺の長さ・平面と空間【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

このページは中学3年「三平方の定理」の無料問題プリント（応用）です。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学三平方の定理応用23

三平方の定理で何ができるようになるか

直角三角形の3辺の関係 a² + b² = c² を使って、辺の長さ・対角線・高さ・2点間の距離を求められるようにします。高校の三角比と座標幾何へ直結する単元です。

解き方の手順

1直角がどこにあるかを図に書き込む。斜辺は直角の向かい側で、いちばん長い。

2求める辺を x とおき、a² + b² = c² に当てはめる。斜辺を c の位置に置く。

32乗を計算して x² の値を出す。

4√ を外し、中を簡単にする（√50 なら 5√2）。長さなので正の方だけ答える。

つまずくのはここ

つまずき1｜斜辺がどれか確かめずに式を立てる

斜辺は直角の向かい側にあり、必ずいちばん長い辺です。ここを間違えると足すべきところで引く（またはその逆）ことになります。

つまずき2｜√ の中を簡単にしない

√50 は 5√2 まで直します。答えが合っていても簡約していないと減点されることがあります。

つまずき3｜特別な直角三角形の比を覚えていない

45°・45°・90° は 1 : 1 : √2、30°・60°・90° は 1 : 2 : √3。正方形の対角線と正三角形の高さは、この2つで即答できます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

直角をはさむ2辺の長さが 110 cm と 96 cm の直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

三平方の定理より、斜辺を c とすると c² = 110² + 96² = 12100 + 9216 = 21316。
c > 0 だから c = 146 cm。
検算：110² + 96² = 21316 = 146²。

練習2

斜辺が 109 cm、他の1辺が 60 cm の直角三角形がある。残りの辺の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

求める辺を x とすると x² + 60² = 109²。
x² = 11881 − 3600 = 8281 だから x = 91 cm。
斜辺がどれかを最初に確定する。斜辺は必ず直角の向かいにあり、いちばん長い。ここを取り違えると 11881+3600 を計算してしまう。

練習3

縦 2 cm、横 3 cm、高さ 4 cm の直方体がある。対角線の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

直方体の対角線は、三平方の定理を2回使う。
まず底面の対角線は √(2² + 3²) = √13。
次にこれと高さで直角三角形を作ると、対角線² = 13 + 16 = 29。
よって √29 cm（√の中は必ず簡単にする）。
公式は √(縦² + 横² + 高さ²)。丸暗記より「底面 → 立体の2段階」で覚えると、辺が3つでない場合にも対応できます。

三平方の定理の他のプリント

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同じ「三平方の定理」の無料プリントは全部で 71 本あります。近い番号のものを並べました。

解き終わったら

中3数学の要点辞典——三平方の定理を含む中3全範囲。
ブレートシュナイダーの公式｜幾何の深掘り——三平方の先にある面積公式の世界。
数学I・Aの要点辞典——高校の三角比・図形の性質へ。

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