中3｜三平方の定理解き方がわからないときは 中３数学｜三平方の定理 証明・辺の長さ・平面と空間【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年「三平方の定理」の無料プリント（応用26）の解説です。佐賀県の入試問題——円と接線。直径に対する円周角が90°になることと、接線が半径に垂直であることを組み合わせます。
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下のリンクから PDF が開きます。三平方は図に直角三角形を見つけて印を付けるのが第一手です。印刷して使ってください。
円で使う2つの直角
| 性質 | 内容 |
|---|---|
| 直径に対する円周角 | 直径 AB に対する円周角 ∠ACB は 必ず 90° |
| 接線と半径 | 接点を通る半径と接線は 垂直 |
円の問題は直角を探す
三平方を使うには直角が必要です。円ではこの2つの性質が直角を供給してくれます。「直径がある」「接線がある」を見たら、まず直角の印を書き込んでください。
直径 AB に対する円周角 ∠ACB は、C がどこにあっても必ず 90°
弧を等分すると中心角も等分される
弧を3等分すれば中心角も3等分。半円（180°）を3等分なら各 60° です。
つまずくのはここ
つまずき1｜直径に対する円周角に気づかない
「AB を直径とする円」と書いてあれば、円周上のどの点 C でも ∠ACB = 90°。無条件で使える直角です。
つまずき2｜接線の垂直を使い忘れる
接点 B を通る接線と半径 OB は垂直。ここに直角三角形ができます。
つまずき3｜中心角と円周角を取り違える
円周角は中心角の半分。∠BOD が中心角なら、同じ弧の円周角はその半分です。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントの入試問題と同じ技能構成で、数値を独自に設計した問題です。
基礎練習1
線分 AB を直径とする円 O があり、AB = 2cm である。半円の弧 AB を3等分する点を A に近いほうから C、D とする。∠BOD の大きさを求めなさい。
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解答
半円の弧に対する中心角は 180°。3等分なので各 60°。
∠AOC = ∠COD = ∠DOB = 60°
∠BOD = 60°
検算：60 × 3 = 180° ○
応用練習2
（練習1の続き）点 B を接点とする円 O の接線と、直線 AD の交点を F とする。BF の長さを求めなさい。
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解答
∠BOD = 60° なので、円周角 ∠BAD = 30°（中心角の半分）。
接線 BF は半径 OB に垂直なので、∠ABF = 90°。
△ABF は ∠A = 30°、∠B = 90° の 30-60-90 の直角三角形。
AB = 2 が「√3」にあたる辺なので、比 1 : √3 : 2 より
BF = 2/√3 = 2√3/3 cm（≒ 1.15cm）
検算：AF = 4/√3 = 4√3/3。
AB² + BF² = 4 + 4/3 = 16/3 = AF² ○
標準練習3
半径 5cm の円 O の外部に点 P があり、OP = 13cm である。P から円に引いた接線の接点を T とするとき、線分 PT の長さを求めなさい。
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解答
接線と半径は垂直なので、∠OTP = 90°。
△OTP は直角三角形で、斜辺 OP = 13、他の辺 OT = 5（半径）。
PT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
PT = 12cm
検算：5:12:13 ○
「外部の点から接線」は必ずこの直角三角形——半径・接線の長さ・中心までの距離の3つです。
接線と半径は垂直——△OTP は 5-12-13 の直角三角形
定着チェック
いまの理解段階を自分で選んでみてください。
- 未習——用語の意味がまだ言えない。
- 用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
- 典型を解ける——同じ形なら解ける。
- 初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
- 入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。
この先の学習経路
- 三平方の定理 特訓道場30題——入試レベルの通し演習。
- 図形（相似と円）特訓道場30題——相似と組み合わせる問題へ。
- 図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
- 数学の要点辞典（中1〜数III）——学年をまたいで確認する。
数強塾について
数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。
ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。
次に解く問題・この単元の解説
📄 同じ単元のプリント（全73枚のうち、この前後24枚）
同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。
一覧に無いものも含め、三平方の定理のプリントは中３数学：三平方の定理 全73枚、学年全体の単元一覧は中３数学のページから確認できます。
