中3｜三平方の定理解き方がわからないときは 中３数学｜三平方の定理 証明・辺の長さ・平面と空間【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年「三平方の定理」の無料プリント（応用42・発展編）の解説です。福岡県の入試問題を土台に、三角柱の中の面積と体積をもう一段深く扱います。「辺⊥面」を見つけ、底面を取り替えて体積を出す——中学の空間図形で最も使う2つの技を、別の数値でもう一度通します。
プリントをダウンロード
下のリンクから PDF が開きます。三平方は図に直角三角形を見つけて印を付けるのが第一手です。印刷して使ってください。
もう一度確認——垂直の連鎖
側面がすべて長方形の三角柱——側辺は底面に垂直
- 側面が長方形 → 側辺 AD ⊥ 底面（AD ⊥ AB、AD ⊥ AC）
- ∠BAC = 90° → AB ⊥ AC
- AB は AC とも AD とも垂直 → AB ⊥ 面 ACFD
垂直がわかると2つ得をする
① 面 ACFD の中のどんな線分とも AB は垂直（だから ∠FAB = 90°）。② 面 ACFD を底面にとれば、頂点 B までの高さがそのまま AB。面積と体積が同時に片づきます。
体積は2通りの道で検算する
三角錐 M-FCB のような立体は、底面の取り方が2通りあります。両方で計算して一致すれば、答えはほぼ確実です。
1道1：底面を △MFC（面 ACFD 内）→ 高さは AB。
2道2：底面を △FCB → 高さは M から面 BCFE への距離（＝ A から BC への距離）。
つまずくのはここ
つまずき1｜∠FAB を直角と気づかない
AF は面 ACFD の中の線分。AB ⊥ 面 ACFD なので AB ⊥ AF。図に直角の印を書き込みます。
つまずき2｜M から面への距離を辺の長さで代用する
M から面 BCFE への距離は A から辺 BC への距離と等しくなります（AD は面 BCFE に平行だから）。AB でも AC でもありません——面積を2通りで表して求めます。
つまずき3｜√ の中を最小にしない
√208 は 4√13。答案では必ず 2乗の因数を外に出します。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントの入試問題と同じ技能構成で、数値を独自に設計した問題です。
応用練習1
底面 ABC が AB = AC = 8cm の直角二等辺三角形（∠BAC = 90°）で、側面がすべて長方形の三角柱 ABC-DEF がある。AD = 6cm とする。
（1）△FAB の面積を求めなさい。
（2）辺 AD の中点を M とするとき、三角錐 M-FCB の体積を求めなさい。
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解答
（1）△ACF は ∠ACF = 90° なので AF = √(8² + 6²) = √100 = 10cm。
AB ⊥ 面 ACFD より ∠FAB = 90°。
面積 = 1/2 × 8 × 10 = 40cm²
検算：6-8-10 = 3-4-5 の2倍 ○
（2）道1：底面を △MFC に取ります。面 ACFD 内で A(0,0)、C(8,0)、F(8,6)、M(0,3)。
CF = 6 を底辺、高さは A から CF までの距離 8 → △MFC = 1/2 × 6 × 8 = 24cm²
頂点 B から面 ACFD への距離 = AB = 8cm
体積 = 1/3 × 24 × 8 = 64cm³
発展練習2
（練習1のつづき）三角錐 M-FCB の体積を、底面を △FCB に取る方法でも求め、練習1の答えと一致することを確かめなさい。
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解答
BC = √(8² + 8²) = 8√2（直角二等辺三角形の斜辺）
CF は柱の側辺で底面に垂直なので CF ⊥ BC：
△FCB = 1/2 × 8√2 × 6 = 24√2 cm²
M から面 BCFE への距離は、A から辺 BC への距離と等しい（M は AD 上で、AD は面 BCFE に平行）。
A から BC への垂線 = 8 × 8/8√2 = 64/8√2 = 4√2 cm
体積 = 1/3 × 24√2 × 4√2 = 1/3 × 192 = 64cm³
道1と完全に一致 ○——√2 どうしが掛かって整数に戻るところが気持ちのよい検算です。
検算：三角柱全体 = 1/2 × 8 × 8 × 6 = 192cm³、三角錐はその 64/192 = 1/3 ○
応用練習3
底面 ABC が AB = AC = 12cm の直角二等辺三角形（∠BAC = 90°）、AD = 9cm の三角柱 ABC-DEF について、△FAB の面積と、辺 AD の中点 M を頂点とする三角錐 M-FCB の体積を求めなさい。
解答・解説を見る
解答
AF = √(12² + 9²) = √225 = 15cm（3-4-5 の3倍）
△FAB = 1/2 × 12 × 15 = 90cm²
△MFC = 1/2 × 9 × 12 = 54cm²、高さ = AB = 12
体積 = 1/3 × 54 × 12 = 216cm³
検算：三角柱 = 1/2 × 144 × 9 = 648、216/648 = 1/3 ○ 練習2と同じ比
この比が 1/3 で一定なのは偶然ではありません——底辺 a、高さ h とすると三角錐は a²h/6、三角柱は a²h/2。数値によらず必ず 1/3 です。
これで中学3年間の図形が一巡しました。ここまで解けたなら、高校の「空間ベクトル」は同じ景色を別の言葉で語り直すだけです。
定着チェック
いまの理解段階を自分で選んでみてください。
- 未習——用語の意味がまだ言えない。
- 用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
- 典型を解ける——同じ形なら解ける。
- 初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
- 入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。
この先の学習経路
- 三平方の定理 特訓道場30題——入試レベルの通し演習。
- 図形（相似と円）特訓道場30題——相似と組み合わせる問題へ。
- 図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
- 数学の要点辞典（中1〜数III）——学年をまたいで確認する。
数強塾について
数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。
ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。
次に解く問題・この単元の解説
📄 同じ単元のプリント（全73枚のうち、この前後24枚）
同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。
一覧に無いものも含め、三平方の定理のプリントは中３数学：三平方の定理 全73枚、学年全体の単元一覧は中３数学のページから確認できます。
