中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは 中３数学｜相似な図形とは 相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
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問題
図形（難問）で何ができるようになるか
三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。
解き方の手順
1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。
2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。
32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。
4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。
つまずくのはここ
つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる
△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。
つまずき2｜面積比を相似比のまま使う
相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。
つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす
折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
長方形ABCDで AB = 20cm、BC = 4cm です。対角線ACを折り目としてこの長方形を折り返したとき、辺ADと折り返した辺の交点をEとします。AEの長さを求めなさい。
長方形ABCD（AB = 20cm、BC = 4cm）を対角線ACで折り返す。
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解答
AE = 52/5 cm
- 折り返しても長さと角は変わらないので ∠EAC = ∠BAC。
- AD と BC は平行だから ∠EAC = ∠ACB、よって ∠EAC = ∠ECA。
- 2つの角が等しいので三角形EACは二等辺三角形で EA = EC。
- AE = x とおくと ED = 20 − x、EC = x。
- 直角三角形ECDで三平方の定理より x² = (20 − x)² + 4²
- 展開して x² = 400 − 40x + x² + 16
- 40x = 416、よって x = 52/5
- 確かめ: ED = 48/5 なので (48/5)² + 4² = 2304/25 + 16 = 2704/25、(52/5)² = 2704/25 となり一致する。
練習2
三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 3 : 2 で、三角形ABCの面積が 150cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。
DE ∥ BC。AD : DB = 3 : 2。
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解答
96 cm²
- DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 3 : 5。
- 面積比は相似比の2乗だから 3² : 5² = 9 : 25。
- △ADE = 150 × 9 ÷ 25 = 54（cm²）
- 四角形DBCE = 150 − 54 = 96（cm²）
練習3
四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 104cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。
P, Q, R, S はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点。
解答・解説を見る
解答
52 cm²
- 対角線ACを引くと、三角形ABCで PQ は中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = AC ÷ 2。
- 三角形ACDでも SR ∥ AC、SR = AC ÷ 2。よって PQ ∥ SR かつ PQ = SR。
- 1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形。
- 同じ議論を対角線BDでも行うと、切り落とされる4つの三角形の面積の和がもとの四角形のちょうど半分になる。
- よって PQRS = 104 ÷ 2 = 52（cm²）
解き終わったら
- 数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
数強塾について
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