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中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは 中３数学｜相似な図形とは 相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
プリントをダウンロード
下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
問題・解答を画像で見る
ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。
問題
図形（難問）で何ができるようになるか
三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。
解き方の手順
1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。
2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。
32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。
4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。
つまずくのはここ
つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる
△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。
つまずき2｜面積比を相似比のまま使う
相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。
つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす
折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
長方形ABCDで AB = 16cm、BC = 10cm です。対角線ACを折り目としてこの長方形を折り返したとき、辺ADと折り返した辺の交点をEとします。AEの長さを求めなさい。
長方形ABCD（AB = 16cm、BC = 10cm）を対角線ACで折り返す。
解答・解説を見る
解答
AE = 89/8 cm
- 折り返しても長さと角は変わらないので ∠EAC = ∠BAC。
- AD と BC は平行だから ∠EAC = ∠ACB、よって ∠EAC = ∠ECA。
- 2つの角が等しいので三角形EACは二等辺三角形で EA = EC。
- AE = x とおくと ED = 16 − x、EC = x。
- 直角三角形ECDで三平方の定理より x² = (16 − x)² + 10²
- 展開して x² = 256 − 32x + x² + 100
- 32x = 356、よって x = 89/8
- 確かめ: ED = 39/8 なので (39/8)² + 10² = 1521/64 + 100 = 7921/64、(89/8)² = 7921/64 となり一致する。
練習2
三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 3 : 1 で、三角形ABCの面積が 64cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。
DE ∥ BC。AD : DB = 3 : 1。
解答・解説を見る
解答
28 cm²
- DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 3 : 4。
- 面積比は相似比の2乗だから 3² : 4² = 9 : 16。
- △ADE = 64 × 9 ÷ 16 = 36（cm²）
- 四角形DBCE = 64 − 36 = 28（cm²）
練習3
四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 132cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。
P, Q, R, S はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点。
解答・解説を見る
解答
66 cm²
- 対角線ACを引くと、三角形ABCで PQ は中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = AC ÷ 2。
- 三角形ACDでも SR ∥ AC、SR = AC ÷ 2。よって PQ ∥ SR かつ PQ = SR。
- 1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形。
- 同じ議論を対角線BDでも行うと、切り落とされる4つの三角形の面積の和がもとの四角形のちょうど半分になる。
- よって PQRS = 132 ÷ 2 = 66（cm²）
解き終わったら
- 数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
数強塾について
数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。
次に解く問題・この単元の解説
📄 同じ単元のプリント（全76枚のうち、この前後24枚）
同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。
一覧に無いものも含め、図形（難問）のプリントは中３数学：図形（難問） 全76枚、学年全体の単元一覧は中３数学のページから確認できます。
