中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは 中３数学｜相似な図形とは 相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
プリントをダウンロード
下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
図形（難問）で何ができるようになるか
三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。
解き方の手順
1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。
2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。
32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。
4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。
つまずくのはここ
つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる
△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。
つまずき2｜面積比を相似比のまま使う
相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。
つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす
折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 25、CB = 60、AB = 65 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。
∠C = 90°、CA = 25、CB = 60、AB = 65。H は C から AB に下ろした垂線の足。
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解答
CH = 300/13、AH = 125/13、BH = 720/13
- 三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
- 面積を2通りに表すと 25 × 60 ÷ 2 = 65 × CH ÷ 2 なので CH = 25 × 60 ÷ 65 = 300/13
- △ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 25² ÷ 65 = 125/13
- 同じく BH = BC² ÷ AB = 60² ÷ 65 = 720/13
- 確かめ: AH + BH = 125/13 + 720/13 = 65 で AB と一致する。
練習2
長方形ABCDで AB = 15cm、BC = 9cm です。対角線ACを折り目としてこの長方形を折り返したとき、辺ADと折り返した辺の交点をEとします。AEの長さを求めなさい。
長方形ABCD（AB = 15cm、BC = 9cm）を対角線ACで折り返す。
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解答
AE = 51/5 cm
- 折り返しても長さと角は変わらないので ∠EAC = ∠BAC。
- AD と BC は平行だから ∠EAC = ∠ACB、よって ∠EAC = ∠ECA。
- 2つの角が等しいので三角形EACは二等辺三角形で EA = EC。
- AE = x とおくと ED = 15 − x、EC = x。
- 直角三角形ECDで三平方の定理より x² = (15 − x)² + 9²
- 展開して x² = 225 − 30x + x² + 81
- 30x = 306、よって x = 51/5
- 確かめ: ED = 24/5 なので (24/5)² + 9² = 576/25 + 81 = 2601/25、(51/5)² = 2601/25 となり一致する。
練習3
三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 5 : 1 で、三角形ABCの面積が 360cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。
DE ∥ BC。AD : DB = 5 : 1。
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解答
110 cm²
- DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 5 : 6。
- 面積比は相似比の2乗だから 5² : 6² = 25 : 36。
- △ADE = 360 × 25 ÷ 36 = 250（cm²）
- 四角形DBCE = 360 − 250 = 110（cm²）
解き終わったら
- 数学Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
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