東京学芸大学 2018年度 過去問・解答

東京学芸大学2018年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[I] 整式の互除法と、1の5乗根

F(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1、G(x) = x³ − x² − x + 1 とします。

(1) 割り算を2回行う（整式のユークリッドの互除法）

F(x) を G(x) で割った余り R₁(x)

F の最高次は x⁴、G の最高次は x³ なので、商は1次式です。

F(x) = x(x³ − x² − x + 1) + 2x³ + 2x² + 1

まだ3次の項が残っているので、もう1回引きます。

= x·G(x) + 2(x³ − x² − x + 1) + 4x² + 2x − 1 = (x + 2)G(x) + 4x² + 2x − 1

検算：(x+2)(x³−x²−x+1) = x⁴ + x³ − 3x² − x + 2。F からこれを引くと 4x² + 2x − 1 ✓

G(x) を R₁(x) で割った余り R₂(x)

G の最高次 x³ を R₁ の 4x² で割ると (1/4)x。

G(x) = (1/4)x(4x² + 2x − 1) − (3/2)x² − (3/4)x + 1

さらに −(3/2)x² を消すため −3/8 を掛けて引きます。

= (1/4)x·R₁(x) − (3/8)(4x² + 2x − 1) + 5/8 = {(1/4)x − 3/8}R₁(x) + 5/8

余りが0でない定数になった — これは F と G が共通因数をもたない（互いに素）ことを意味します。整数のユークリッドの互除法で「最大公約数が1」に対応する状況です。

(2) α = cos(2π/5) + i sin(2π/5) に対する等式

まず F(α) = 0 を示す

ド・モアブルの定理より

α⁵ = cos(5 × 2π/5) + i sin(5 × 2π/5) = cos2π + i sin2π = 1

したがって α⁵ − 1 = 0。因数分解して

(α − 1)(α⁴ + α³ + α² + α + 1) = 0　すなわち　(α − 1)F(α) = 0

α = cos(2π/5) + i sin(2π/5) ≠ 1 なので、F(α) = 0。

(1) の結果を使って G(α) の逆数を求める

(1) の第1式に α を代入します。F(α) = 0 なので

0 = (α + 2)G(α) + R₁(α)　⇒　R₁(α) = −(α + 2)G(α)　…①

(1) の第2式に α を代入すると

G(α) = {(1/4)α − 3/8}R₁(α) + 5/8

ここに①を代入して R₁(α) を消去します。

G(α) = −(α + 2){(1/4)α − 3/8}G(α) + 5/8

G(α) について整理すると

G(α)[1 + (α + 2){(1/4)α − 3/8}] = 5/8

括弧の中を展開します。

1 + (1/4)α² − (3/8)α + (1/2)α − 3/4 = (1/4)α² + (1/8)α + 1/4

したがって

G(α){(1/4)α² + (1/8)α + 1/4} = 5/8

両辺を 8/5 倍して

G(α){(2/5)α² + (1/5)α + 2/5} = 1

これを G(α)(pα³ + qα² + rα + s) = 1 と比較して

この年の学習ポイント

この問題は整式版のユークリッドの互除法を、そのまま「逆数を求める」道具として使わせる設計になっています。

整数の世界では、互除法を逆にたどると ax + by = 1 という形（ベズーの等式）が得られ、これが「mod b における a の逆数」を与えます。この問題はその整式版で、

G(α) × （α の多項式） = 1

という形を作り、G(α) の逆数を α の多項式で表しています。

手順は明快です。(あ) 互除法で余りを2段階まで求める（最後は定数になる）／(い) F(α) = 0 を使って1本目から R₁(α) を G(α) で表す／(う) 2本目に代入して G(α) だけの式にする。

α⁵ = 1 から F(α) = 0 を導く部分も頻出です。1 の n 乗根は x^(n−1) + … + x + 1 = 0 を満たす（1 自身を除く）という事実を、いつでも使えるようにしておいてください。

東京学芸大学2018年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。