立命館大学 2023年度 過去問・解答

(1 ) ガソリン車が1 km 走行するのにかかるガソリン代は 円. 電気
自動車が1 km 走行するのにかかる電気代は 円である。ただし.
ここでは車体購入費は除く。
(2) 車にかかる総費用を, 車体購入費と走行距離に応じたガソリン代または
電気代の合計とする。坪行距離が同じとき, 電気邊動車の総細用がガソリ
ン車の総費用よりも低くなるのは. 車体購入後の走行距離が km
を超えたときである。
(3 ) 政府が電気自動車の購入に対して補助金を出す場合を考える。車体財入
後の走行距離が 50.000 km に達したときに電気自動車とガソリン車の総
費用が等しくなるようにするには, 1 台当たりの補助金額を 円に
設定する必要がある。
[2] 累積生産台数が倍増するごとに車体価格は常に一定の比率 (定数) で変化
する。その一定の比率を習熟率と呼び、ヵで表す。*は1から2. 4, 8. ...
に倍増した台数とし, そのときの車体価格を (x) と表す。 台数xが2xに倍
増したとき, (2x) はぁヵを用いて y (2x) = py(x) となる。 以下, ぁ=0.96
として考える。
99 =
(Sa@)

r= 1 であるときの車体価格を<円とする。 例えば. *が1から8に増加した
ときの車体価格の容化は表2 のようになる。

表2
WRI AE (x) 1台 sa |
1台当りの車体価格 (A) | cx 0.96"

(1) 1から倍増する*は, 29 2) 22 DB at ...のように2の累乗で表すこと
ができる。 x(xB2) になるまでに倍増してきた回数を々とすると, 4はxを
用いて a = tog | オ | と表きれる。

(2 ) 果策生産台数rにおける車体価格y (x) は, 累積生産台数が1のときの車体
価格 。 BRK p, 思積生産台数*になるまでに1から倍増してきた回数なを
用いて, 次の式で表される。

¥ (4) = ch = X 0,96"
電気自動車の累積生産台数*が 1024 のときの車体価格を 4, 000, 000 円とする
と, 累積生産台数が1 のときの車体価格は次のように表きれる。ただし,こ
こでは電気自動車の購入に対する補助金は福定しない。

。= 4000000 x 0, 961
電気邊動車の車体価格が初めて 2,500,000 円以下となるのは. a = の
ときである(ただし. @UEBMETS). EK, alt のときの電気邊
動車の累積生産有数ををとすると. をは| ク | 符の数である。また. その最
BAO MF である。ただし, logio2 = 0.3010, loga3 = 0.471 と
する。

ーー
Sa)

Il 定数 bre b>a>0, 0く<ヶく2 とする。 中心が点0i(g. 7), 半径ァ
OME C. 中心が点 0。(0. 47), 半径4zの円をらとする。 2つの円 GA
外接するとき, 次の問いに答えよ。

(1) ぁ5を2とヶァを用いて表せ。
(2) m>0 EFS. 2 つの円選、らがともに原点を通る直線 = me に接する

EK, 。 をァヶを用いて表し. さらに, 妨 の値を求めよ。
[3 ] (2] の条件のとき,

(1) FIG MAC, 3) を通るとき,. ヶの値を求めよ。

(2) きらに, 200%, らの共通接線のうち, 直線ッ=0.ッ=x と

異なる接線の方程式を求めよ。
ーョカー
(Sa)

(1) 〆+ダジア+ォアデェ[ェ|
@) (e-D@-D7ーリジェ[|ォ |
ez lg dig ey
(3) (e+の(9+のO+の (se tg+2) =a
(4) の+が+アェ|[キ|
ー gi一
(Sa2)

(2) Webi y=- Pee 32-1 ......1 がある。
(1) KOBODORROMAD1 ERS £5 LHL A の座標は.
(TJ. ) であり. その接線の方程式は,
である。 また,接線2に垂直で点 A を通る直線の方往式は.
である。
(2) 直線4とゅ軸との交点をB とするとき,点Bを中心とする円と放物線
1が, ただ1つの共有点をもつとき, この円の方程式は。
:
である。
(3) 立不等式>ミーや+8r-1 2+ (y- ) =[ュ|.
£20, 9s DRG FURO TAPS である。
[3 〕 へOAB において, |OA| = 2. |OB| = 3. |20A - OB| = /19 DE x,
cos ZAOB の値は 。へOAB の面積は である。
次に。 ベクトル方程式 (OP - OA) + (OP + OB) = 0 SHAT NP OFF
く図形は円であり, その中心をC とする。OC を OA, OB を用いて表すと.
oC = CH), この円の半径の値は である。
Ee, この円と辺 OB との交点をD とすると, へAOD の面積は で
ある。
* AAI (2) (3) の設問「セ」について条件設定が不十分であった
ため、学習指導要領の範囲を超える解答を求める設問になった。
上記設問「セ」について全員正解として扱う。
ne
(Sa2)

次のような赤い色と吾い色の正二十面体のサイコロがある。
赤い色のサイコロ (WE, REWER) の面には, 数字の 80 が書かれた面が 12 面
RED 160 が書かれた面が 8 面ある。 青い色のサイコロ (以下, 青と呼ぶ) の面に
は. 数字の 90 が書かれた面が 16 TH, BED 200 が書かれた面が 4 面ある。
どちらのサイコロについても, どの面が出るかについては同様に確からしいとす
る。 以下,「面が出る] ことを「数字が出る] と表すことにする。 例えば, [80が
基かれた面が出る] ことを「80 が出る」 と表す。
(1) 赤を1回投げたとき, 80 が出る確率は 。 160 が出る確率は
である。また, WELMRUES, 90 が出る確率は 200 が出る確
率は である。
ここで, 次のようなルールのゲームを考える。
1参加者は 100ポイント (以下 ポイントをpt と表す) をゲーム管理人に渡す。
@参加者は Ope 渡したときに, 赤か青のどちらかを選択する。
3参加者が 100 人になった時点でゲーム管理人は赤と青の 2 つのサイコロを
同時に投げる。
4参加者は自分が選択したサイコロの出大数字と同じ pt をもらう。
このゲームの参加者は 自分が選択した色のサイコロの出た数字が, 選択し
なかったサイコロの数字よりも小さいとき. 自分の選択を後悔する。例えば,
ある参加者が赤を選択したとき, 赤の出た数字が80. 至の出た数字が200 で
あったとする。赤を選択した参加者は 80 pt をもらえるが, 青を選択していれ
ば200 pt をもらえたのにと. 自分の選択を後悔する。
Tk, 青2 つの場合, 参加者が赤を選択したことで後悔する確率は 0
埋を選択したことで後悔する確率は になる。
KI, 選択の好ましきの度合いを「効用] と呼び それを数値で表す。効用
の値が大きい方が好ましいと考える。
赤を選択した効用を Vy 青を選択した効用を V。で表すと, Vi。。V』は次の
式で与えられ,
ー ss 一
(sa

va = 80x [7 ] +160~ [4 ] - 10x [4 ]- |
となる。このことより 効用が大きいのは. を選択したときである。
ISTE, には. Ak, HOVTRDEBLS SL.

(2) 新たに自い色の正二十面体のサイコロを追加レゲームを続けることにした。
自い色のサイコロ (以下, 自と呼ぶ) の面には, BRO 95 が書かれた面が 18
ii, 数字の 205 LAA ALMA? 面ある。この和正についても、 どの面が出るか
については同様に確からしいとする。

この自を1回投げたとき. 95が出る確率は «205 が出る確率は
である。

Cot, ゲーム管理人は. 白を追加したことによりゲームのルールの1と4
は変更せず, 2と3については, 次のように変更した。

@参加者は 100 pt 渡したときに,. 赤か青か白のいずれか 1 つを選択する。

参加者が 100 人になった時点でゲームの管理人が赤, 青白の3つのサイ

コロを同時に投げる。

(1) の場合と同様に。このゲームの参加者は自分が選択したサイコロの出
TEED, 選択しなかったサイコロの色字よりも小さいとき, 自分の選択を化
WIS. HA, ある参加者が赤を選択したとき, ROMABEEA 16, WO
軸た数字が90. 自の出た数字が 205 であったとすると がを選択した参加者
は160 pt をもらえるが、自を選択していれば205 pt をもらえたのにと. 自分
DHE MES B

RH, 自3つの場合. 参加者が赤を選択したことで後悔する確率は
。青を選択したことで後悔する確率は 。 自を四択したことで
後悔する確率は である。

(次ページに続く)
(Sa2)

ここで, 赤を選択した効用を Vi 青を選択した効用を Vi。自を選択した効
用を Vw で表すと, Vea Va, Viは次の式で与えられ.
vq = 80x [7 _] riox[ィ]-iox[シ| -[ッ]
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) 7を定数とする DAHER 2 2x +g = 0 が異なる2つの整数解をも つ。
その2 つの幣数解の徒が最大となるとき, WRMD I SS vIils .
大きい方は ch), ?= である。
ここで, 平面上の3つのベクトル4 6 でを9*0. 5は単位ベクトル.
で= (2/2, 22) とする。 7お=| テア | 7.<=| イ | でぁるとき,
とすのなす角9 と9とでのなす角について. 29 = [= | % が成り立
Do
(2) へABC において, AB・AC = 2、BC・BA = 4、CA・CB = 8 であるとき,
(1) DAB, BC, CAの長きは, それぞれAB=| ォ | gc=|ヵ|].
CA = である。 また, へABC owes | ク | である。
(2) 頂点んから辺BCに下ろした歪線と BCとの交点をHHとするとき,
線分 AH の長きは でぁり. Ht = である。
ーョー
(Sa4)

(3)

(1) AlCix + y= 41 の円周上の点で座標, y BDL OI CHS
点の個数は 個である。

(2) 直線/: 3x + 5y ー 23 =0 上の点で座標. 座標がともに整致である
点を考える。その点の座標を整数ヵ を用いて = gzちの形に表すと.
ター CHS. KEL, 4は自然数.ヵは絶対値が最も小さきくなる
数とする。このとき. yen を用いて表すと, y= とをる。

Ek, COWMIBN CI Lo TH OMSAZM OAT MRE, y HE
BLES (MECC BHO BM 個である。

(3 ) 2つの不等式 2 + S41 PO Br + Sy - 23ミ0 の表す領域におい

て. 座標,y座様がともに整教である点の個数は 個である。
ーー
(Sa@)

IL KOMVICBAL. BE, この問題の末尾に示す別表の数値を使うよう指示があ
るところは, その数値を使って解答すること。
銀行に年利率 25 %で 100 万円を六金するとき. 25 万円の利息が1 年後につくこ
とから. ORM (元の預金額と利記を合計した金額) は 125 万円となる。こ
の金額は元の金額の づ 合になる。これは。 現在の 100万円と1 年後に街られる
125 万円とは同じ価舘をもつことを意味しており. 1 年後に得られる 125 万円は.
現在の価値に割引いて換算すると, 100 万円になることを表している。よって, 1
人化に答られる 100 万円を現在の価値に割引いて換算すると。 Dae te
100 万円にかけた100 x Sin, つまり 80 万円になる。この80万円を1年後に
HSN lO AMOR MEL Ow, - を害四率という。 同様に 2 年後に
香られる 100 万の前現在価値は 100 x | て ] 万円つまり 4 万円となる。
このように, 将来に発生するお金の額に対し. 現在からその将来時点までの年数
に合わせた割引率を適用して割引現在価値に換算することがおこなわれている。な
お. 以下では, 最初の 1 年を第1期 (現在) としヵ年後を第ヵ期。 利益の単位を
方円とする。また. 料来の各期間で発生する利益を現在の価値に換算するときに適
用きれる (1期間あたりの) 割引率を-全とする。
(1) 第4期までの投資プロジェクトを各期間の利益の割引現在価値の合計によっ
て評価することを考える。この投資プロジェクトから毎期 100 の利益が伸られ
るとすると、 第1 期の利益 100 は割引現在価値100. 第2 期の利益 100 は割引
現在休値80, 第3期の利益 100 は割引現在価値664. などと計算されることか
©, 第ヵ期の利料100の割引現在価値を割引率-全を用いて表すと.
100 | 7 | となる。 このことから. 第1期から第4 期まで毎期100 が利状と
して得られる投資プロジェクトの評価は となる。
ーー
(Sad!)

(2) 駅前のA 地区に出店すると, 第1期から待期 1000 の利益が得られる。o, を
第ヵ期の利益とし, BA {a,} CHEE,
a; = 1000, a, = 1000, ... a, = 1000, ...
ERS. COAMRMNI TOS x 7 b OREM HTB MMO GACH AS.
第ヵ期に得られる利益の割引現在価値を EL, BO LR} CHEE,
Ry = 1000, R= 800, ... R, = 1000 [a].
となる。第1 Sn WE CED IS MAO HE BLAM MLO Gat S, は
S.= (1-24)
となるので, 第10 期までのA MAMBO 7 hOR MIE, 別表を用いて
計算すると, Sy = となる。
(3) 郊外のB地区出店プロジェクトでは。, MGS SAMRAT Bb, を
第ヵ期の利益とすると, BH {b,} は次の条件で定まる。
=400 ない計れす25
Lot, この利益 IL, 次のようになる。
saきき) ヶ
第 期から第ヵ期に得られる各期の利益の割引現在価値を数列 {1 Q, | で表
FE, @, = 400, Q = 380 となるので, Q, は,
fat 9 5 4 \
となる。 よって, 第1 期から第ヵ期までに得られる利益の割引現在価値の合
iT, tt,
9 | 4
(ロリ| (ca)
となり, 第10 期までのB 地区出店プロジェクトの評価は, 別表を用いて計算
FOL. To = となることがわかる。
(次ページに続く)
= 4g
(Said

別表
‘
GY] | Gi
Paso [are | see | cm [a]
m=n | 0.086 | 0.274
_ 生
(Sa4)
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) BARREN (N 2 10) が17 の倍数であることを判定する 1 つの方法として,
次の命題がある。
命題「自然数 の一の位を除いた数から一の位の数の5倍を引いた数が17 の
倍数であれば, は 17 の倍数である」
例えば, 2023 の場合, 一の位を除いた数は 202 で, 一の位の数3の5倍は
15 である。したがって, 202 - 15 = 187 = 11 x 17 より 17 の倍数となり,
2023 = 7 X17 X 17 も 17 の倍数であることが分かる。
この命題が成り立つことを示す。/ は, AMR a LMR (0Sb59)%
用いて, = 10g+ 5 と表される。このとき,「一の位を除いた数から一の位
の数の5 倍を引いた数」は, と表きれる。
が17 DMCS NITEM EAT = 17 とおけるので,
Wはを消去することにより=17[ ) となる。 したがって,
EMBCHZOLEY, 命題は成立する。なお, COGMOM, +e
わち,「自然数 が 17 の倍数ならば, の一の位を除いた数から一の位の数
の5 倍を引いた数は 17 の倍数となる] も成立する。
次に, 1 次不定方程式 7x + 17y = 1 OURO (x, y) を考える。この
基数解の組のうち, の値が最も小さい自然数であるのは
(Lg 1 ) である。 また, COLAREHERE LT ERED
f(x, 9) のうち, Baty が17の倍数で最も小さい自然数は
ォオリー CHB. COLE OBRMORIE

(2) 図のような東西4本, 南北4本の道がある。道は点Aから点Pまでの各点
で区切られた 24 の区間に分けられ, その長きはそれぞれ等しい。点 0 TH
Li 次の点に到逢したとき. 直前に進んで来た区間を戻らずに次の区間に同じ
確率で進むものとする。 例えば, 点Oから点A に進む確率と点B に進む確率
はそれぞれ人 であり, 仮に点 0 から点4に到傍したとき。点でと点DC進
も確率もそれぞれである。 また,仮に点きから点Dに到傍したとき, A
B と点G と虚時に進む確率はそれぞれユである。 なお,直前に進んだ区間
を戻らなければ, 同じ区間を通ることも可能とする。

ーー M ae
Let 」
| | |
fe} B E ま
re
(1) 点Oから出発し点Pに到達したとき, 通過する区間の最少の数は
である。
(2) 点Oから順に点A, D, G, K, Nを通って点Pに到達する確率は
である。
(3) Roms, ク | 反間進んだときに, 点 0 にいる確率は| コ | cbs.
次に, AD と点G の区問が通行止めになった場合を考える。
(4) 点 0 から| ク |区間進んだときに, xo にいる確率は| サ | である。
(5) 点0から点Kを通って点Pに区間の数 で到達する確率は
である。

(3) すべての項が実数である数列 {g}, {6』} があり, a =3, =0 とする。
ここで, BH {a} Day と, BH {by} の 、ュの間に, 等式
Ana + bai = Zico, — di) +1 (MHL, 2, 3, ...)......9
が成立している。ただし, # は虚数単位である。このとき,
である。
次に, DEY, gm ber Eby の を用いて表すと,
CHS. @, OLY
となる。 よって, gs」 を の』-ュ を用いて表すと,
dou = [LE ] ome + seeの
EMR Bo URIS, oper を Oy を用いて表すと,
となる。 瀬化式の2, OLY, ay, gi をそれぞれヵ の式で表すと,
である。 このことから。 dager — de> yy CET RAO wid, =
である。

(このページは空白)

I 下の表は, 10人の社会人の1 か月の収入と支出の金額 (単位は万円) をまとめ
たものである。 WADE BI, 支出の金額を変量>で表し. それぞれの平均
分散が示されている。表の数値は*の小さいものから大に並んでいる。表中の
my, MOV TH, 数値が表示されていない。また, ァの四分位信差は6 である。

なお, 必要な場合は /56.2 = 7.50, (192 = 4.38 として計算せよ。
Ed
lきsilslsl4lslslzlslsl
中2|
a
(1) a=-[7_]. »- [4] cae. tx, »- [eo ] cae.
(2) rey oxstit [=] である。
(3) xy OMWRME LTS. OPES SMHE LTEL MOLE
である。ただし, は下記の選択肢の中から適切なものを1つ選び, 番
号で答えよ。
[選択肢】 1 rs -0.9 @ -0.9くヶミー0.8
® -08<rs-0.7 ® 0.7ミァく0.8
® 0.8ミヶマ0.9 © 0.9ミァ
(4) 10人全員に1 ヶ月5 万円の給付金が支給されることになった。 給付金支給
後の収入を変量とすると, ?の平均は 。分数は である。
(5) 給付金支給後の収入を1 ドル= 100 円で挨算した金額を変量ゅとすると,
の平均は ドル。 標準信差は ドルである。

(6) 全員が支出後に残ったお金を全額貯著する場合を考える。貯著する金額 (万
円) を変量z で表すと, z ニャーy となる。 z の分散s2Z は, *とヶの分散s2.
sf *とッヶの共分散s。 を用いて表すと,
となる。 したがって, szの値を求めると, s2 = である。

I] 2>0. 5> 1 とする。 MWHC:y =a -(b-1)x と, 直線7/:ッニャー4
が接している。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 。を?ヵを用いて表せ。
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) PB F(t) = log (t
（続きは問題PDFで確認できます）