立命館大学 2022年度 過去問・解答

(1) O<a<l, 0くく1 EL, 次の不等式を満たす*ャについて考える。
31ogre + logg ax <5
底をgとする対数で整理すれば,
+= -4<o
である。ここで, log。x = とおいて. この不等式を7 を用いて表すと.
SS
LRU. REL, と は単項式とする。
ょ> 0 より, この不等式を解くと,
である。 よって, xの範囲は.
となる。

(Sa@)

(2) #は定数とする。 放物線ゅ=ダデー1 LR y= be - 3 が異なる2点で交
わるとき, #のとり得る範囲は A> LF]. [= | >ょである。また.
この放物線と直線が接するとき。 接吉の座標は[| サ |. )

次に.ッ=ダー 1 上にない点 (a, 5) からリ=ダー1 に接線を引くとする。
このとき, 接線を2本引くことができるための必要十分条件は4々 と 》 を用いて
表すと。 | ソ | >1 であり. この2本の接線が寂直に交わるとき」
b= である。

(3) 変量*と変量からなるデータの組が下の表のように与えられている。ただ
し<は正の定数とし, Bike RARE, p<q とする。

x
|: |] >] x] v] 2] x] a | 3 | 0
y | 4 | 20 | 30 | 4a | 5a | 6a | 7a | Ba | 90 |
(a) 変量*の平均値が 32, 第1 四分位数が28。 第3四分位数が36 のとき
LOLS, 変量xの分散は Ch), 変量*から<=3x-5に
ko CHARGER 2 £26 SL, 2, OFM である。
(>) 次量ゞの平均値と分散をを用いて表すと. それぞれ| ナ ]. [2]
となる。
(c) (a), (b) £9, 変量ぇと変旦ゞの相関係数の値は [a] である。
—50 一
(Sa)

Tl ある海域における魚の生息量を一定の期間ごとに調査したとき, 漁業をしない場
合は生息量が毎期 1.6 倍になることが知られている。なお, 量の単位はトンとする。
(1) 初期を第1期とし, 第ヵ期の初めの生息量を Fy で表すことにする (KEL,

ヶは正の整数を表す)。この魚の増加する様子について訪 © Fyv1 OBIE
式のようになる。
ーーて
この関係式より, 第1 期の生息量を F = 80 としたとき, 第ヵ期の生息量選
は数列 {F,} で表きれる。よって, この数列の一般項は次の式のようになる。

(2) 次に. 漁業をするときの第ヵ期の初めの生息量をG,。 この魚の第ヵ期の漁
HEC, とすると. G, と C, の関係は.
G. =F, = 80. = すら +10
となる。
この漁業は第ヵ 期初めに行わんれ, そのときの魚の生息量は(C, - C,) とな
る。 KO n+ 1 期初めに生息量は1.6倍に増加する。この場合 Gk
6ょの関係を C, を用いないで表すと, 次式のようになる。
したがって, 第ヵ期初めの魚の生息量 G。 をぁの式として表すと,

となる。
ーー
(Sa

このまま漁業を続けて, 第x期の初めの生息量C,の値が0 以下と予測きれ
る場合を絶減と考える (xO, Qld, GSO を整理し. 両辺を
2 を底とする対数をとり, *について整理すると次式を得る。

i. 年

ここで jog5 = 2.32 として計算すると. この不等式を満たす最小の*は
となり。 第 Moma FHS NS.

(3) COMmondempiaree Los ( ー 1 期より生息量が第1期の
80 以上に回復するまでのヵ期間を完全杯漁とし (ne ー 1 について
=0). 最小のyを求める (yは正の整数)。そのためにまず2式から
cPコーュを計算した値を CPJュー とする。 rev, Le | は
小数第 AUB EA LAME FS 6

WIS, SESEARHALE des Lato 2208 ( ー 1 期を新たに第1 期日とす
So COLE, 第娘期日の生息量を万。(ただし, 娘 は正の整数) で表すと.
1式の考え方を応用することができ, BO (H,} が得られ. 初期値を
所 = GPコュー EL, その一般項は,

となる。

y MEER CH SOC, ORE ニッ+1 を代入し. Hyp 280 Sih
たすヵを求める。この不等式の両辺を, 2を底とする対数をとり, yについて
WHT SE,

yz ーー ...... 34
= pes
が得られる。

logs 5 = 2.32 として計算すると, 不等式1を満たす最小のヵは と
なる。このことから. 魚の生息量が80 以上に最も早く回復するのは第
期となることがわかる。

ーー
(Sa11}

Tl 7個の数字0. 1, 2, 2, 2, 3, 5がある。 次の問いに答えよ。
〔1〕 7 個の数字を全部使って, 7桁の整数をつくるとき, 整数は何個できるか。
(2) 7 個の数字から5 個選び, それら全部を使って5桁の整数をつくるとき, 次
の整数は何個できるか。
(a) 各位の数字がすべて異なる整数
(b ) 一の位が5 である整数
(c) 3の倍数である整数
(3) 7 個の数字から 2 個を選び, 2桁の整数N,をつくり, 残りの5個から5桁
DYEBN, をつくる。N。 = Nyx N。』を満たす整数N。を大きい順に並べたと
き, 第1番目, 第3番目のNi」とN。をそれぞれ求め. (Ni, Nz) の形で答え
お
— 53 一
(Sad)

(1) 50 以下の自然数を全体集合とし. その部分集合で以下の8つの集合を考え
る。
A= {ヵ|?は素数
Be={q|q=7m +k, m|238}
KEL. #は0以上6 以下の整数とする。
なお, 集合じに対して. その要素の個数を ヵ(C) で表すものとする。

(a) x4の=ェ[ァ| cH.

(b) n( By) が最大となるぁは cH), (AU Bry) =
となる。

(c) EB, yEB OLE, これらの積メxッは7で割って| = |余る
数となる。また. GEA LEB, C, これらの穂 cxx が7で割って3
余るときのZの値は| + | と| ヵ | cdo.

ー 55一
(Sa)

(2) a, 5を実数とする。 3 次方程式 ダ+ a? + be -6=0 ......1 OWT,
(a) 3次方程式1が, 1+ を解にちゃつとき, ge=| キ |.6=
である。
(>) 3次方程式が. 1と2を解にもつとき, <=| ヶ |.6=|ュ|
cH), 残りの解は*= | サ | でぁる。
(c) 3次方程式1がメー を解にもつとき. を用いて2を表し
OZBBTSL,
(«+[2]) {2+ (4) )*- Le] } -0 となる。 をただし.
[2] wie.
テー 以外の 2 つの解を2乗して加えると4になるとまき。,
[ 3 〕 1 辺の長さが4である正三角形ABC について, 辺BCを1 : 3に内分する
点をP. 3 : 1 に内分する点を Q とすると, 線分 AP と線分 AQ の長さはとも
に | チ | で。 ペタトルAE とベクトルAG の内積AP・AG omit LY] で
ある。
したがって, sinZPAQ = ERY, AAPQの外接円の半径は
LF でぁs。
その外接円の中心を O とすればぼ, AO = (BB + 2で) となる。

(Sa®)

Tl SoeRMICOWT, 1日当たりの費用 売り上げ, 価格, そしてこれらの変数
で定まる利益を考える。ここでは, 利益を除く変数はすべて正の仁をとるとする。
WH, 固定吉用と可変組用の和からなる。固定費用は. 来店客雪と関係のない
ih RE RAO MME CORN CHS. WERE, 1日当たりの来店客
HICKS SR CORN THB.
FAGEREAG IS 20000, 可変費用は来店竹単位当たり 500, 1 日当たりの来店客数を
a(x>0) とすると, 費用は,
ッ=20000+500xr......1
となる。
C1) 提供される料理は 1種類で. その価格を z とすると. 来店客数* の式は.
ァ=150 一 id ......2
と表される。費用ヶの式1に, この来店客数* の式3を代入すると.
となる。 売り上げR は. (価格) x (来店客数) とすると, z を用いて,
と表される。 利益G は. (売り上げ) - RA) とすると, z を用いて,
と表される。この式より. G が最大となるときの価格は THY, この
ときの利益は CHS. Ek, 来店答数は である。
ーgz 一
(Sa9)

(2) 次に来店客数が, «(a 20) だけ減少するときを考える。< を価格に左右さ
れない数とし, 価格z と来店客数の式は,
=10-a--——
= 180-a- 生々
と表きれる。このときの利益G」を【1) と同様に考えると, Giは<とgを用
いて
sa( Ex(昌) ...@
となる。 Gi が最大となるときの価格 は, < を用いて,
4g Saの
となる。 | シ |] ょり. zが0から 10に変化するとき, Giが最大となるとき
の価格は 下がる。
4のとき, 最大の利益 H Id,
となる。この式を用いると, eが0から 10に変化するとき. 最大の利益は
Le ]mrre.
ー 53 一
(Sa

Il 図のような東西6本, 南北6本の道がある。 a 7
assexaacunemancasy (| | | | |
wacsars. また.地点とQ地上京た | | | | gl |
はそれぞれ書店P と書店Qがあり, TOM a | 中 | | pe
県を通る場合は必ずその書店に立ち寄り, 書 | | | | i
Pcie yc, 書店 Q では確率 で | | 111
本を買うものとする。なお. X地点からY 。 に
地点への最知経路の選び方はすべて同様に確 上
からしいとする。なお, A さんはX 地点を出発するとき. 本を持っておらず. 途
中で買った本はY 地点まで持っていくと考える。次の問いに符えよ。

(1) A さんがP 地点を通り Y 地点に到着する最知経路は何通りあるか。
(2) A さんがQ 地点を通り書店 Q で本を買い. Y 地点に到着する確率を求めよ。
(3) Y 地点に到着したA さんが書店P. 書店Q の少なくともどちらかの書店に
立ち寄っていた確率を求めよ。

[4〕 (a) Y地点に到着したA さんが本を持っている確率を求めよ。

(b ) Y 地点に到着したA さんが本を持っていなかったとき, 書店Pに立

ち容っていた確率を求めよ。
=.
Sa

(第3時限 : 100分) 、
2022年度 2 .
理 系 - 、
(274-9)
注意 事項
1 試験開始の合図があるまで, この問題革子の中を見ではいけません。
2. 解答はすべて解答用紙に記入しなさい。
3. 解答用紙1枚・下書用紙2枚は, この冊子の中に折り込んであります。
4, 試験終了後, 問題町子・下書用紙は持ち帰りなさい。 、 」
tab)

1 OO SS—S—S————————V—V—— as
| -
|
| a 学 ]
ROL, 1, の設問について問題文の | . | にあてはまる適当なものを,
| SERGOMEOMICBAL EEL.
| T REO CHUIMELT, «> 0 で定義きれた関銘/() を f(x) = とする。
| 実数のみおよび0 でない実数 に対しで.
| 27a) + wef) = af (2) (*)
がすべての x>0 で成り立っているとする。このとき, &はぁゅに関する 2 次方程
式| ア | = 0 omees. ここで, はゅについて壮理きれた最高光の
HRB | THEURTH Bo
GA (*) WET AMLORUHEFSETSOLE, 』 をそれぞれヵを用
いて表すと, 4? = | ィ |.ぇ=| ラッ]でぁる。
以後,等式 (*) を満たすぁが2つ存在し, それらをoe BETS. ただし,
々>2 である。 」
(2) @te=[=], <-2ー | オォ | であぁる。また, <と2の符号が互いに
7 異なるための必要十分条件は| カ |] >0 であぁる。ここで, Le]. |
| [2]. Le ] はいずれも z。 2 を用いない式である。
(2) 。と2の符が也いに異なるとする。cをある正の実数とするとき, *き0
- CHB ES NAAR g(x) を -
x2zc のとき g(x) = ctx?
0 ミァくc DEE g(x) = ch x*
により定める。 O<s<c に対して
I(s) af" g(x) x? de ,
ーュー
(Mab

とすると, lim 1(s) = となる。 また, とぐ# を満たす実数に対して
- (の ~f ga) OF de
EGSE, jim JO) = となる。 よって im 1s) + fim JC) をちと
2 を用のて表すと。 となる。
(きま: Te]. [ララ |はzと2の素で符えよ。)
|

(Mab®)

|
|
I 座標平面上の原点0(0, 0) を中心とする半径 1 の円をとして, これと放
7 With y = f(x) との共有点を考える。
C1) ぁを実数として, プ(*) =ダ+んとする。このとき, ッニア(z) とが共有
| 点をもつための必要十分条件は, Shs である。
| を= | 7 | のとき, 共有点の個数は| ウ | cay, r= [a Joes,
共有点の信教は | エ | である。
| (2) y=s(2) との共有点の個数は最大 | オ | 個でぁる。 ]
|
(3) y=f(4) とCが3点(1, 0), (cos9 sind), (cos26, sin 29) を共有点
にもつとする。ただし. 9は O<SO< F を講たす定数である。このとき,
|
| f(x) 1d (x - 1) を因数にもつことから,
| f(x) = (#1) a(x)
| と表すことができる。ただし, g(a) はをの1 次式である。条件より,
9(cos9) ore 9( cos 20).= <= である。また, cos * cos 2
であるので emss9-mwe 121 ,, Be ただし
* cos29-cosの9 2cos9+キ1こうのたつ ・
Le]. はいずれも cos OBIT SBATH So TOT, y= g(x)
は, (cos, 9(cos9)) を通る直線であることから, この傾きを4とおくと,
g(x) = a(x — cos@) + g(cosの)
と表すことができる。これより, (cos 39)をを含まない sing CMTS
Le | と表すことができる。 ;

(Mab

| 特に a= oes, y= f(x) O79 70m [a | のようになる。
| (a mem | コ | に記載きれている図1に, YI TOMBE CLOK
有点が分かるようにかけ。 )
a
=
a1
=f =
7 (Mab2)

TL 7は虚数単位とし, 偏角は 0 以上 2z 未満でもるとする。また, z は複素数z OF
| BERBER.
|
| (1) BM OLFSHREPMLO RA を表す複素数を z とする。A ERIM
| 関して対称移動した点を B とするとき, Bを表す複素数は | ア | である。
また, A を原点 0 に関して対称移動した点をC とするとき, CERTERE
は CHS. A を族則に関して対称移動した点をD とするとき, DE
表す複数は | ウ | であぁる。ここで, 複素数| |. Ee].
は』を含まない式である。
| 原点 0 と cos9 + ising の表す点を通る直線を/とする。ただし
0 <9くzとする。A を直線?に関して対称移動した点をとする。Eを表
| FOR, < を 0 を中心に-9 だけ回転させ, SOIC L CH BER LI,
0 を中心に 9 だけ回転したものであるから, ぇ (cos + isin )
| と表せる。特に o-F のとき, これは| | と一致する。
: (2) k, ヶを正の実数とする。このとき, 等式
\e-kil=r
| EWA A OM MBER LTS. RERKOL costa tisinee
ORF HE HS WML CHBBD SLL LOE R LTB. COLE, R
LOR 2 は等式
（続きは問題PDFで確認できます）

(1) 攻客とAとの通話時間の平均値は 分間. 中央値は 分問。
Pas OB 分回標準信差は HMC Se
(2) LBS k(k=1, 2, 3, ..., 9, 10) の顧客の電話が着信した時刻か
ら次の願客の電話が着信した時刻までの時間を着信間隔 g。 として定開する。 」
ay OFFS So, PRBS 分問である。
[3〕 待機時間が0分問でない願客の数は 人である。 また, Aが応対した
10 人の待機時間の平均値は 分問である。
(4) ここで, 待機時間の平均値を減らすことを目的に2つのシステムを考えた。
(a) 10人の号客の電話が着信した時刻は表のデータのままで 従業員向け
のマニュアルをわかりやすくすることなどにより,各用客の通衝時間を1
分間だけ短くすることを考えた。このときの待機時間の平均値は
分問となり, よりも 分問浅らすことができる。
(も ) WAOKEOMEUM ALOT —F OF EC, HLH LOMEOR
話が沙信した時刻も午前9 時0分のままとしスマートフォンのアプリな
どを用いた事前約制にして着信間隔 g。 を 6 分問の一定間隔にすること
EBLE. LOL SOM BMM OPI (LE emery,
よりも HMB FLATS Bo
asp
(Sa@)

TL zは正の定数とする。 3次関数げ(*) = x(x -a)(x - 3a), 2次関数
g(x) = (テー 3a), 1 次関数 h(x) =ー ax がある。このとき, 次の問いに答え

よ。

(1) HAR y = f(z) と直線 =A) が原点で交わり, 他の1 点で接するとき
のの値を求めよ。

. (2) By = f(x) Bx =a CHAM, «= 8 で極小値をとるとき, 2H

A(a, f(a)), BB, f(B)) を結ぶ線分AB の中点M(z, y) OME a &
用いて表せ。 ・

(3) 直線 ゅ= ヵ(*) が (2) で定めた点 M を通るときのの値を求めよ。この
ER, 曲線ターア(*) と直線 ッー(z) で囲まれた2つの部分の面積が等し
いことを示せ。 *

(4) ヶ= 1 とする。曲線 = f(x) と放物線 = g(*) で囲まれた2つの部分
の面積が等しくなるときのoの値を求めよ。

ー59一 :
(Sa

(1) みが2桁の自然数であり 1 の位がgr 10 の位がであるとする。このと

km が をgm のに関する四則計算を用いて表すと=| ァ |
mt = となる。また, ma mt は常に の倍数になる。

(2) が3捧の自然数であり, 1の位が, 10 の位がgz 10*の位がgs。である
EPS. OLR, m= ml であるための必要二分条件は。m = が成
り立つことであり, そのようなは| オ | 個存在する。

また, カーが は常に の倍数であり. m= m' がとりうる最大の倍
は である。

(3) ヵを3以上の自然数とする。 がヵ桁の自然数であり、10-! の位がであ
るとする (R= 1, mo このとき, mam となるものは, ヵが奇数のと
き 個、ぁが偶数のとき| ヶ | 価存在する。

また。ヵが語数かつ gg。がともに偶数またはともに杏数であれば,
カーが は常に の倍数である。さらに。 a =a, THRE, カーが
は常に の倍数である。
(# (2 ]. 1] はそれぞれ当てはまる自然
数の中で最大のものである。 )
ーュー
(Mab

|
TL Way =f(x) を了ア(x) =ァlogr で定める。ただし.*>0 EL, loge はを

の自然対数である。 |
C1) f(x) の導関数(x) を求めると, ア(*) = | ア | である。 BA, |
|
f(x) = 0 を満たす*の値は| ィ ] でぁり.7( | ィ | )-[ッ|とを |
|
Bo ER, fl) ORME ROSE, |

である。 ただし. C は積分定数である。
(2) #>0 とする。 直線= Lily = s(x) OKO. mR LA | |
である。 2M y= ke, y= 0 BLOUMM y = f(x) で囲まれた図形の面積 |
を $」 とし. 2直線 =k, y= 0 および曲線 = f(x) で囲まれた図形の |
面積を $%% とする。このとき,$i = | ヵ ], %=| キ | であぁる。
（続きは問題PDFで確認できます）