藤原進之介です。このページでは立命館大学2021年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
立命館大学2021年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
Ⅰ[1] 内積が0になる点の軌跡と、距離の最大値
A(−2, 4)、B(6, 8)、C(−4, −2) とし、点 P は AP・BP = 0 を満たすとします。
アイウ 点Pの軌跡
AP・BP = 0 が意味するのは
∠APB = 90° または AP = 0（P = A） または BP = 0（P = B）
したがって P の軌跡は 線分ABを直径とする円です（A, B 自身も含みます）。
「直径に対する円周角は90°」の逆。内積が0の条件を見たら、まず垂直を疑い、それが図形的に何を意味するかを考えてください。
中心 D は AB の中点なので
D = ((−2 + 6)/2, (4 + 8)/2) = (2, 6)
半径は AB の半分。
(1/2)AB = (1/2)√{(6+2)² + (8−4)²} = (1/2)√(64 + 16) = (1/2)√80 = 2√5
エ |CP| の最大値
P は中心 D、半径 2√5 の円周上を動きます。円外の定点 C から円周上の点までの距離は
最大値 = CD + 半径、最小値 = CD − 半径
CD = √{(2+4)² + (6+2)²} = √(36 + 64) = √100 = 10
CD = 10 ときれいな値になるのは、6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5 の直角三角形だからです。3-4-5 の相似形を見つけると計算が速くなります。
オカ 直線CD上の点Qをベクトルで表す
実数 t を用いて OQ = OC + t·CD と表します。
CD = D − C = (2 − (−4), 6 − (−2)) = (6, 8)
OQ = (−4, −2) + t(6, 8) = (6t − 4, 8t − 2)
|CP| が最大となるときの t
|CP| が最大になるのは、P が直線CD と円の交点のうち C から遠いほうにあるとき。そのときの P を Q とすると
CQ = OQ − OC = (6t, 8t) なので |CQ| = √(36t² + 64t²) = 10|t|
|CQ| = 10 + 2√5 で、図より t > 0 なので
10t = 10 + 2√5 ⇔ t = 1 + (√5)/5 = (√5 + 1)/√5
解答PDFでは |CQ|² = (10 + 2√5)² から 100t² = 120 + 40√5 として t² = (6 + 2√5)/5 を求め、二重根号をはずして t = (√5+1)/√5 としています。
検算：(6 + 2√5)/5 = (6 + 4.472)/5 = 2.0944、√2.0944 = 1.4472。一方 (√5+1)/√5 = 3.236/2.236 = 1.4472 ✓ 一致します。
10t = 14.472 = 10 + 2√5 ✓
なお 6 + 2√5 = (√5 + 1)² なので √(6+2√5) = √5 + 1。これを √5 で割って t = (√5+1)/√5 = 1 + √5/5 となります。二重根号 √(a + 2√b) は、和が a・積が b の2数を探すという手順で処理できます（ここでは 5 と 1）。
この年の学習ポイント
この問題は「内積0 → 垂直 → 円」という翻訳が出発点です。そこから先は円の標準的な性質だけで進みます。
(あ) 内積0 ⇔ 垂直（またはどちらかが零ベクトル）
(い) 直径に対する円周角は90° ⇒ 軌跡は円
(う) 円外の点から円周上の点までの距離は「中心までの距離 ± 半径」
(う) は図を描けば当たり前ですが、最大・最小を与える点が「中心と定点を結ぶ直線と円の交点」であることまで押さえておくと、後半の t を求める設問にスムーズにつながります。
立命館大学2021年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
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立命館大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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立命館大学 2021年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 関数・グラフ
- 指数・対数
- 整数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 空間図形
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2021年度の問題PDFでは、関数・グラフ、指数・対数、整数、微分・積分、確率・場合の数に関する語句や設問を確認できました。立命館大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は30年度、関数・グラフは28年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問4画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、指数・対数、微分・積分、図形・三角関数、確率・場合の数
(6, 8). (- 4 - 2)であるとき, AP・BP=0 の条件を満たす点Pの
opp, ponte ( 7]. ). [ラッ ] ones.
Be, このとき, |CP| の最大値は | エ | である。
直線 CD 上の点Q は, OG = OC + CD (は実数) と表せるので.
=([* |. ) となる。 このことから, CE| が最大となると
soap ouewma ( キ |]. ] でぁa。
(2) <. 5を定数とする。 WK f(x) = 2x? - ax +b がある。
(a) y=f(x) のグラフが2点(2. 5), (—2, 21 ) を通るとき,
a=[7 ]. 5-|コ | である。 このとき, 0 ミミ5 における
ron の最大値は| サ | , 最小仁は である。
(b) gミ0 EFS. OSeS5 におけるげ(r) の最小値は2であり, 最大値
を とする。g の値を決の3つの範囲に分けるとき, それぞれの範囲に
おいて, 4 を6を用いて表せ。
(i) 0se<10 のとき. が=| ス |
Gi) 10 szく20 OER, M=
(ii) 20a のとき, M=
=a
(ee9
(3) を定数とする。
(a) AERP - (2a + lye tata <0 を解くと,
<テマ である。
BHR I x93 x or L eMC,
s<L7]. [テ] <: cma.
ABR log, (x +1) + logt (3-4) >1 を解くと,
(b ) tic, 実数x についての条件P.Q.Rを
Pie-(2a+ let a+a<0
QB 9< 3" x art x F
R log; (x + 1) + log (3 -x)>1
と定める。PがR の必要十分条件であるとき. a = である。また,
QはRであるための 。 KEL, は次の1ー4のうちか
らあてはまるものを1 つ選び. 1ー4の番号で答えよ。
1必要十分条件である
2必要条件であるが, 十分条件でない
4必要条件でも十分条件でもない
ーター
(Sa®)
400人からなる集団X を対象として, 暗算を行う時に感じるストレスレベルを.
央液によって計測する実験を行った。ストレスレベルは。 0 から 100 で判定され
数値が高い程. 感じているストレスレベルが高いことを示す。
(1) 集団Xの中から選んだA~] の10人のストレスレベルは表1のとおりに
なった。
表1
PEPE eh]
slelslzlwlslwlmlilel
この 10 人のストレスレベルの平均値は 中央値は ;
wa ic fae as である。
(2) 集団Xのメンバーを「前日の睡虐時間が7時間以上] のグループと, [AA
OMIA 7 時間未満] のダループに分けた。各グループの人数は, TNE
れ 200 人であった。結果を箱ひげ図に示すと図 1のようになった。
| \
aT El > RARE I | |
7時間以上」 のグループ |
「前日の睡虐時間が |
7 時間未満] のグループ | |
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ストレスレベル
(a) 図1から,.「前日の睡眠時間が7時間以上] のグループのうち. ストレ
スレベルが50 以下の人数は, 少なくとも ACHE. Eh, HH
OWEIRME NID 7 ERA] DFL—TOIH, ARVALAITATOO 以上
DOMME, BRED 人である<
oo
(sa®)
(b) 図1の結果をもとにして, 集団Xについて, 次の命題Pを設定した。
命題 : 前日の隆眠時間が7 時間以上であれば. ストレスレベルが
低・中水準 (ストレスレベル0 一 60) である。
このとき, 次の命題 (ij) 一 (ili) は, 命題Pの逆、衰, 対個のいずれ
を述べたものか。 また, それぞれの真, 偽を調べよ。 HM (i) ~ (iii)
について, それぞれの人逆, 裏, 対偶と真、偽の正しい組み合わせを選択股
1~6の中から選び, HE ~ KO~OOHFCHAL
Ci) ストレスレベルが低・中水準であれば, Ti EL OBEMRER RAS 7 FLL
上である。
Ci) ストレスレベルが低・中水準でなければ, TEL CORREIA DS 7 時間
未満である。
(iii) 前日の皮眠叶間が7 時間未満でもれば. ストレスレベルが低・中水
8対偶・真 One -%
— 46 一
(Sa®)
Tl 放物線C:y=ェダー2r+ 2に, 点P(7. 0) から異なる2本の接線を引き, そ
の接点 A、B の座標をそれぞれeg. @(gく8) とする。次の問いに答えよ。
(1) ヶとrの関係式を求めよ。
(2) 直線ABの方程式を求めよ。ただし, 答えは 8を用いずに!を用いて表
せ。
(3) 直線ABが点Pの位置に関係なく通る定点の座標を求めよ。
(4) 放物線と直線 AB で囲まれる図形の面積を S,」 とする。S$」 = 4 となると
ADL の値を求めよ。
(5) 放物線C, 直線PA. PBによって囲まれる図形の面積を S。とする。 5。 の
最小値を求めよ。
ータター
(Sa®)
問5画像OCR
検出分野: 整数、指数・対数、確率・場合の数、関数・グラフ、図形・三角関数
2021年度 3
| (理 系)
(全5 ページ)
注 意 事項
1 REDS BAS 32S, この問題子の中を見てはいけません。
2 敵是文の| | にあてはまる適当なものを RanmoROT
に記入しなきい。
3. 解答用紙1枚・下書用紙2枚は, この骨子の中に折り込んであります。
4 試験終了後、問是町子・下書用交は持ち族りなきい。
(Mab)
数 F
ROT, 『。 到、Vの蔽問について問題文の | | にあてはまる適当なるのを,
解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
] ニコインを投げて家が出たら1点.表が出たらー 1齋とするゲームを考える。 BR
到ヵに対し、%, はこのルールのでのヵ較のコイン投ばによる点数の合計を表す
ものとする。ゲームを始めるときの点数は0雇とし。 =O EBS. BBL この
コイン投げばでは央が所る確座はの(0 くりく1) とする。
[1) 名が正である傘率は であり..X」 = 0 である確率は である。
(2) BRB nL, ¥, =X, oN EB ho HE WOM Ch STA
Th), EME Yi OHA 1 Ch | HEA である。
(3) 自銘数及を2夢法で表現したとき. mit, EOL LEM CTS ED
CHD. MAL, 3 = le. 6 = Oy LES. 2が (をは自然数) の位
の数字が1であるとき, その位に対して【21 で定めた ニルーーん を対
応きせる。
CHOY Oe Z, ETS. すなわち A= VY, を = VY, である。
このときる| オ | であり、 azm-[ カ | であぁる。 またみこ1
である確率は であり, Oy =ー1 である確率は である。
wf となるとき, かートク | である。 このとき ん=1である
Hea であるようなを一芝小さいものから喚に碁べて7薄明までを忌
したときの和は EES. REL CAREC HS.
( と はYYを用いて表すこと ]
ーー
(Mab)?
I 原点を0 とする座標空韻において, 3点A(g 0.0).B(0.6 0),
CWO, 0.c) を考える。ただし<>0.8>0、c>0 である。
WEEE OABC に内接する球の半径を求める。
SIE ABC を合わ平面とに垂直なペクトルを TAC, 5 の) とすると、
La Eo s=[o oop. TARE ZO, t= である。 ゆえに.
Fila LOGO ROME Cx 9, 2) とすると.カ上RAより xy, <は
の騰係式を満たす。
内接する球の半径を/とすると、球の中:心Pの度棟は.
(中. Ce]. ) とをる。 正面体OABC に内接する球と三角形
ABC E DHE QC. ya) とすると.
P= (s-[a].n- TE]. a- ) BI LB EaZOT,
PO = (h>0) SAT. kot. = +h,
ee tel アァ] a= + を| イ |] であぁる。 点は平面上の
京であるので.
eS
を の
at rg + Fg
が得られる。 CORE |PO| = であることよりァが得られる。例えば,
=. bel cs2088, r=[ a |となる。また. <=0=c=1であ
BLE, Miho Pia OFS LARME THe LORKEHETSLEOME
sr ET a) )ee». ai 2]. -- a]
ある。
( ~ a, bg アのいずれかを用いて表すこと )
ーッラー
(Rabi3
TL 各自然数んに対し, 閉区間[ょ- 1, &] CORR A(x) を.
fx) =logk (R-1Sx Sk と定める。 また, は2以上の自然数とする。 和寿
意の実数*に対し. の=exp(*) ERT.
1)
exp / fil) de) =
であり
ょ
exp / fila) dx | =
hoa
ChS. Ek, 2 以上の自然数ヶヵについて
a fk
exp | 2 / Gila) de | =
1スーュ
である。
(2) 2以上のすべての自然数をとんー 1生*計んを満たすすべての*に対して
log (x + y) SACx) を常に満たす実数yのうち最大のものをgとする。 EK,
すべての自然数んとょー1ミァミんを満たすすべてのrに対して
Als) Slog (x+y) を党に満たす実数yのうち最小のものをぁとする。この
とき.e=[ェ| o-[4 ] cas.
ー, =ー
(Mab)
(3) BI CO, 2) LOW g(r). Hor), (LI で求めた6 1の舘を用いて
0 (0szgi- )
9(*) =
Cr) = tog (a + } @ =o)
と定めると
oof yo] =[ヵ vo [nea =
である。
(4) 自希圭数の底6の定義より, ょに無関係な ヵニ に対して
jm が SSE = ュ
が成り立つ。
—# ox
(Mab)
W 関数7(yヶ)=Y1+m (420) について, 第1 次導関数と第2 WES
ei et 6*) =| アミ Gi = 4 | である。このとき
sn Ql =
となる。
Beso OM Ka COS, Lyx) は単調に拉加する。したがって
af >0)
ye SI
とおいたとき、ヵの値城は Kye となる。
きらに By) ニッ をxについて解き。 = aly) とおく。 LOLS, >を用い
て表すと ot) =a] であり. com nmmme Lo =[キ| でぁ
Bo
Wey) ALY) = FQ) ~ 0 { <o<[F ])ewce,
zoe womans Lacy) = | ク obo, y= Fs) であるとき.
2 po
となる。 eet, | ケ | は実数で答えよ。
ーーュー
(Mab@)