藤原進之介です。このページでは立命館大学2019年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
とする。
を と を用いて表せ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
立命館大学2019年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
Ⅰ〔1〕3次関数が極値をもつ条件
y = x³ + ax² + bx + c について考えます。
ア 極大値と極小値をもつ条件
y’ = 3x² + 2ax + b
3次関数が極大値と極小値の両方をもつ ⇔ y’ = 0 が異なる2つの実数解をもつ。
x の係数が偶数なので判別式は D/4 を使います。
D/4 = a² − 3b > 0
答 b < a²/3
3次関数の極値の有無は導関数（2次関数）の実数解の個数で決まります。
D > 0 → 極大・極小の両方をもつ
D = 0 → 変曲点で接し、極値をもたない（単調増加）
D < 0 → 単調増加で極値なし
この3分類を押さえておいてください。
イ a = 4 のときの b の個数と最大値
a = 4 を代入すると b < 16/3 ≒ 5.33。b が自然数なら
b = 1, 2, 3, 4, 5 の 5個。最大は b = 5。
ウエ 極大値・極小値
a = 4、b = 5 のとき y = x³ + 4x² + 5x + c で
y’ = 3x² + 8x + 5 = (3x + 5)(x + 1)
y’ = 0 より x = −5/3, −1。増減表を作ると
| x | … | −5/3 | … | −1 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | − | 0 | + |
| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
極大値（x = −5/3）
(−5/3)³ + 4(−5/3)² + 5(−5/3) + c = −125/27 + 100/9 − 25/3 + c
分母を27にそろえて (−125 + 300 − 225)/27 = −50/27。したがって −50/27 + c
極小値（x = −1）
−1 + 4 − 5 + c = −2 + c
答 極大値 −50/27 + c ／ 極小値 −2 + c
検算：分数を厳密計算したところ、x = −5/3 での値は正確に −50/27、x = −1 での値は −2 でした ✓
−50/27 ≒ −1.85 > −2 なので、確かに極大値のほうが大きくなっています ✓ この大小関係の確認は、極大と極小を取り違えていないかのチェックになります。
この年の学習ポイント
3次関数の極値問題は、次の流れが完全に定型です。
(あ) 微分して y’（2次関数）を求める
(い) 極値をもつ条件は「y’ = 0 が異なる2実数解」＝ 判別式 > 0
(う) y’ を因数分解して極値を与える x を求める
(え) 増減表を作り、極大・極小を判定する
(お) 元の式に代入して極値を計算する
この問題では定数項 c が最後まで残りますが、c は極値の位置を上下に平行移動するだけで、極値を与える x や増減には影響しません。「c は放っておいて最後に足す」と割り切ってよい、と理解しておくと計算が軽くなります。
(え) の増減表は省略せずに書いてください。x = −5/3 が極大、x = −1 が極小という判定は、y’ の符号変化からしか出てきません。「小さいほうの解が極大」と暗記するのではなく、毎回符号を確認する習慣をつけましょう（3次の係数が負なら逆になります）。
立命館大学2019年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
立命館大学 数学 過去問｜他の年度を見る
立命館大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
- 2025年度
- 2024年度
- 2023年度
- 2022年度
- 2021年度
- 2020年度
- 2019年度
- 2018年度
- 2017年度
- 2016年度
- 2015年度
- 2014年度
- 2013年度
- 2012年度
- 2011年度
- 2010年度
- 2009年度
- 2008年度
- 2007年度
- 2006年度
- 2005年度
- 2004年度
- 2003年度
- 2002年度
- 2001年度
- 2000年度
- 1999年度
- 1998年度
- 1997年度
- 1996年度
- 1995年度
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
過去問は「解いて丸付け」で終わらせると得点になりません。数強塾は数学専門・プロ講師のみ・完全1対1のオンライン個別指導です。あなたが解いた答案を見ながら、抜けている型を特定して志望校の出題に合わせて埋めていきます。体験授業を見る（初回3,000円・税込） ／ 無料で相談する
問題PDFをテキストでも確認
立命館大学 2019年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 整数
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- データ・統計
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2019年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、関数・グラフ、整数、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。立命館大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は30年度、関数・グラフは28年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、微分・積分、関数・グラフ、ベクトル、空間図形
〔2〕 都市の数が10あるとすると, それぞれの都市を 1 回ずつ訪れてふたたび原
点に戻る巡回ルートの数は
sEH ,;2), 21,2
となる。ここでも, あるルートとその逆の向きのルートは同じものと考える。
これは 桁の数となる。ただし, logy 2 = 0.3010, oge3 = 0.471,
1ogio 7 = 0.8451 とする。ただし, ある数* について, x =x と表す。
ーー一
(Sa)
Tl 図のような四面体 0ABC があり, AB=AC=2, BC=3, OA=1,
OB = OC = 2 CHS. OA=a, OB =5, OC =e とするとき, 次の問いに答え
Bs
(1) 3つの内積 @・あ, ぢ・c. c・g の値をそれぞれ求めよ。
(2) 平面0AB 上の点HHについて, CH と平面 QAB が垂直であるとき, OH Ea,
す を用いて表せ。
[ 3 〕 辺 BCの中点を M とする。 平面OAB上に点Pを CP+ MP が最小となる
ように定めるとき, OPをg. 》 を用いて表せ。
C
JN
A
=
(Sa)
点に戻る巡回ルートの数は
sEH ,;2), 21,2
となる。ここでも, あるルートとその逆の向きのルートは同じものと考える。
これは 桁の数となる。ただし, logy 2 = 0.3010, oge3 = 0.471,
1ogio 7 = 0.8451 とする。ただし, ある数* について, x =x と表す。
ーー一
(Sa)
Tl 図のような四面体 0ABC があり, AB=AC=2, BC=3, OA=1,
OB = OC = 2 CHS. OA=a, OB =5, OC =e とするとき, 次の問いに答え
Bs
(1) 3つの内積 @・あ, ぢ・c. c・g の値をそれぞれ求めよ。
(2) 平面0AB 上の点HHについて, CH と平面 QAB が垂直であるとき, OH Ea,
す を用いて表せ。
[ 3 〕 辺 BCの中点を M とする。 平面OAB上に点Pを CP+ MP が最小となる
ように定めるとき, OPをg. 》 を用いて表せ。
C
JN
A
=
(Sa)
問2画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、方程式・不等式、図形・三角関数、微分・積分、データ・統計
(第3時限 : 80分)
2019 年度 @
選 択 科 目 es
| 問 a
ページ
注 意 事項
1. 試験開始の合図があるまで, この問題世子の中を見てはいけません。
2. 解答にあたっては, 上記の科目から 1 科目を選択しなさい。
3. 解答はすべて別紙の解答用紙に記入しなさい。
4. 試験終了後, 問題冊子・選択しなかった解答用紙は持ち帰りなさい。
(Sa9)
数 学
ROI, TI, 邊の設問について解答せよ。ただし, IIについては問是文中の
| ] にあぁてはまる適当をものを, 解符用紙の所定の欄に記入せよ。なお, 解答が
分数になる場合は。すべて既約分数で答えること。
I
C1) 2つの変量x, yOMOME (m,n). (放電) (1% HW) とする。 xr YD
平均値をそれぞれ*。 FETS.
*=ニ2. 9=5, BK, a tal taal, oy ty tof = 77D &,
BEG x の標準偏差 の値は | 変量 の標準信差の値は と
なる。 さらに, oY + yt my = 28 OLS, 変量*とyヶの共分散s。の値
は 相関係数。 の値は となる。
(2) *についての 2 次方程式
ダダ2(2sinの9+1)*ー(cos29-sin9-4)=0 «+ ©
がある。ただし, 0ミ9ミ2z とする。
方程式1が実数解をもつとき, ODL NASON,
である。
次に, 方程式1の実数解をg, BEL, (e+1)(@+1) をsinのだけを用
いて表すと, | キ | となる。
したがって, (e+ 1)(@ + 1) の量大値は| ク | , 最小億は と
なる。
ーー
(Sa®)
(3) PAR f(x) = 23 + a? + be が*ニー4 とょ=2 で極値をとるとき,
ァーア(*) のグラフにおいて, ACL, 1)) における接線を7 ETS. CO
RL の方程式を求めると y=- | シ|*ー になる。
アニア(*) のグラフと接線 で囲まれた面積は である。
os gp =
(Sa®)
I AB, C, D, E, Fの6名の候補者から 2 名を選出することを考える。
[1 〕 6本中2本が「当選] のくじを準備し, 6 名の候補者が一斉に 1 本ずつくじ
を引いて,「当選] くじを引いた人が選出されるとする。
このとき, AとBの2名が同時に当選する確率は CH), Bが当
選したときにAも当所している確率は である。
(2) 45名の投票者が 6名の侯補者の中から1 名ずつを選んで投票した後得
齋数順に上位 2 名を当選者とする。なお, 候補者の得票数が 0 となる場合もあ
Bo
投票結果は次の通りである。
・投票総数は 45 で無効時はない。
+ CHE 6 名の得票数はそれぞれ異なる。
このとき, 他の修補者の得票数にかかわらず, 常にAが当選するために必
要なAの得票数の最小値は である。また, Aと有Bの2名とも当選す
BBE, AL BOBRBOMOR MAL である。
ag
* Ga®)
(3) 侯入者はそれぞれ。政先 Y』Zのどれか1つに所属しており, 投票が政
沈に対して行われる場合を考える。各芝の得票率に差づき 次の1と2の規
旭にしたがって 2 名の当志者を決めるものとする。なお 各政革の得票率はそ
れぞれ異なる0以上の値をとり, その和は1であるものとする。 EK,
[2]. [| TE). Jeeta (d > 1) を用いて, 条件を
満たす最小の値で答えるるのとする。
© EF, RAMBO EM (CNERBEL, その得票率を7と
する) に所居する合補者のうち1各を当選とする。
2 Ki, rをある4で割った値が, 他のどの政革の得昧率よりも大きけ
Hid, 発に所属する価補者をもう 1 名当選とする。そうでなければ,
RF 発以外で最も得昧率が高い政飼に所属する候補者のうち1名を当選と
する。
(a) EV, A BAXS, C, D, BE FがY党に所属している (Z党には誰
CARES, Z 沈に投票されることはない) とする。 UT, XEOBME
を*とおくと, AとBのうち少なくとも1名が当選する場合得票率の
とり得る値の範囲は = である。また, AとBの2名とも当
する場合得票率のとり得る値の範胃は * > である。
(b) ABがX党. C, DAYS, EB FがZ党に所属しているとする。こ
DES, AとBのうち少なくとも 1 名が当選する場合 BRK OED
得る値の範囲は ヶ > CHS, Ek, AとBの2名とも当選する
場合,得村率のとり得る値の範囲は z > である。
ー54一 ・
(Sa9)
1つの袋に 1から9までの数字が 1 つずつ書かれた 9 個のボールが入っている。
この中から 3 個のボールを同時に取り出し, ボールに書かれた数字を記録してもと
の袋に戻す。この試行を ヵ 回繰り返し, 記録した3ヵ 個の数字の和が 3 の倍数とな
る確率を ア, とする。ただし, ボールを取り出す確率は同様に確からしい。このと
き, 次の問いに答えよ。
(1 〕 1回の試行で取り出した3 個のボールに書かれた数字すべてが, 3 の倍数と
なる確率 3 で割って 1 余る数となる確率, 3 で割って 2余る数となる確率を
それぞれ求めよ。 」
〔 2 〕 1回の試行で取り出した3 個のボールに午かれた数字の和が, 3で割って1
余る数となる確率を求めよ。
(3) 及。及の値を求めよ。
(4) とちの関係式を求めよ。
(5) P,をぁの式で表せ。
‘ (Sa®)
2019 年度 @
選 択 科 目 es
| 問 a
ページ
注 意 事項
1. 試験開始の合図があるまで, この問題世子の中を見てはいけません。
2. 解答にあたっては, 上記の科目から 1 科目を選択しなさい。
3. 解答はすべて別紙の解答用紙に記入しなさい。
4. 試験終了後, 問題冊子・選択しなかった解答用紙は持ち帰りなさい。
(Sa9)
数 学
ROI, TI, 邊の設問について解答せよ。ただし, IIについては問是文中の
| ] にあぁてはまる適当をものを, 解符用紙の所定の欄に記入せよ。なお, 解答が
分数になる場合は。すべて既約分数で答えること。
I
C1) 2つの変量x, yOMOME (m,n). (放電) (1% HW) とする。 xr YD
平均値をそれぞれ*。 FETS.
*=ニ2. 9=5, BK, a tal taal, oy ty tof = 77D &,
BEG x の標準偏差 の値は | 変量 の標準信差の値は と
なる。 さらに, oY + yt my = 28 OLS, 変量*とyヶの共分散s。の値
は 相関係数。 の値は となる。
(2) *についての 2 次方程式
ダダ2(2sinの9+1)*ー(cos29-sin9-4)=0 «+ ©
がある。ただし, 0ミ9ミ2z とする。
方程式1が実数解をもつとき, ODL NASON,
である。
次に, 方程式1の実数解をg, BEL, (e+1)(@+1) をsinのだけを用
いて表すと, | キ | となる。
したがって, (e+ 1)(@ + 1) の量大値は| ク | , 最小億は と
なる。
ーー
(Sa®)
(3) PAR f(x) = 23 + a? + be が*ニー4 とょ=2 で極値をとるとき,
ァーア(*) のグラフにおいて, ACL, 1)) における接線を7 ETS. CO
RL の方程式を求めると y=- | シ|*ー になる。
アニア(*) のグラフと接線 で囲まれた面積は である。
os gp =
(Sa®)
I AB, C, D, E, Fの6名の候補者から 2 名を選出することを考える。
[1 〕 6本中2本が「当選] のくじを準備し, 6 名の候補者が一斉に 1 本ずつくじ
を引いて,「当選] くじを引いた人が選出されるとする。
このとき, AとBの2名が同時に当選する確率は CH), Bが当
選したときにAも当所している確率は である。
(2) 45名の投票者が 6名の侯補者の中から1 名ずつを選んで投票した後得
齋数順に上位 2 名を当選者とする。なお, 候補者の得票数が 0 となる場合もあ
Bo
投票結果は次の通りである。
・投票総数は 45 で無効時はない。
+ CHE 6 名の得票数はそれぞれ異なる。
このとき, 他の修補者の得票数にかかわらず, 常にAが当選するために必
要なAの得票数の最小値は である。また, Aと有Bの2名とも当選す
BBE, AL BOBRBOMOR MAL である。
ag
* Ga®)
(3) 侯入者はそれぞれ。政先 Y』Zのどれか1つに所属しており, 投票が政
沈に対して行われる場合を考える。各芝の得票率に差づき 次の1と2の規
旭にしたがって 2 名の当志者を決めるものとする。なお 各政革の得票率はそ
れぞれ異なる0以上の値をとり, その和は1であるものとする。 EK,
[2]. [| TE). Jeeta (d > 1) を用いて, 条件を
満たす最小の値で答えるるのとする。
© EF, RAMBO EM (CNERBEL, その得票率を7と
する) に所居する合補者のうち1各を当選とする。
2 Ki, rをある4で割った値が, 他のどの政革の得昧率よりも大きけ
Hid, 発に所属する価補者をもう 1 名当選とする。そうでなければ,
RF 発以外で最も得昧率が高い政飼に所属する候補者のうち1名を当選と
する。
(a) EV, A BAXS, C, D, BE FがY党に所属している (Z党には誰
CARES, Z 沈に投票されることはない) とする。 UT, XEOBME
を*とおくと, AとBのうち少なくとも1名が当選する場合得票率の
とり得る値の範囲は = である。また, AとBの2名とも当
する場合得票率のとり得る値の範胃は * > である。
(b) ABがX党. C, DAYS, EB FがZ党に所属しているとする。こ
DES, AとBのうち少なくとも 1 名が当選する場合 BRK OED
得る値の範囲は ヶ > CHS, Ek, AとBの2名とも当選する
場合,得村率のとり得る値の範囲は z > である。
ー54一 ・
(Sa9)
1つの袋に 1から9までの数字が 1 つずつ書かれた 9 個のボールが入っている。
この中から 3 個のボールを同時に取り出し, ボールに書かれた数字を記録してもと
の袋に戻す。この試行を ヵ 回繰り返し, 記録した3ヵ 個の数字の和が 3 の倍数とな
る確率を ア, とする。ただし, ボールを取り出す確率は同様に確からしい。このと
き, 次の問いに答えよ。
(1 〕 1回の試行で取り出した3 個のボールに書かれた数字すべてが, 3 の倍数と
なる確率 3 で割って 1 余る数となる確率, 3 で割って 2余る数となる確率を
それぞれ求めよ。 」
〔 2 〕 1回の試行で取り出した3 個のボールに午かれた数字の和が, 3で割って1
余る数となる確率を求めよ。
(3) 及。及の値を求めよ。
(4) とちの関係式を求めよ。
(5) P,をぁの式で表せ。
‘ (Sa®)
問3画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、指数・対数、微分・積分
(1) 2次方程式 2?+ 22+2=0 の2つの解のうち, 虚部が正であるものをz,
負であるものを とおく。それぞれを極形式で表すと
となる。
(2) を複素数とする。みが 2 =ぇを満たすとき, w を極形式で表すと
となる。 また, w? = を満たすとき, w を極形式で表すと
となる。 これら 4 つの覆素数を, MAA SVMS wy, wy, wy, my ET So
Sm(k=1, 2, 3, 4) は。 のの4次方程式| キ | - 0 の解となる。 こ
26) は の係数が1 である w COV CHS NLSBRTCH 3
また, wy + wy + wy + wy = [7]. WWW, Wy = [=].
we + wf = である。
(3) 複表数平面上の3 点0, a, を頂点とする三角形の面積を $。 3点0, a
wm を頂点とする三角形の面積を 5。 とおくと,
である。
met = -
(Mbの
I
(1) a OWE CUFORRELT, 2g」 を64で割った余りをg。 とする。以
下同様に ぁ=2. 3....に対して, 2g,を64で割った余りをgg.」とするこ
とで, 数列 {a,} を定める。
る=43 とする。ムを2進法で表すと| ア | 。となる。このとき,
を 2 進法で表すと | イ | cH), 10進法で表すと となる。 以降
ome 10 進法で表すと a= =]. =| ォ|.ぁ= である。
n2 Le | のとき, aq OIL OF a, = 0 CHS. nB6 OLE
a, =0 を潜たするは| ク | 個ある。
(2) を0以上127 以下の整数として4 を128 で割った余りを j。 とする。以
下同様に.ぁ=2, 3....に対して, 4b, 128 で割った余りをヵ,」とするこ
とで, BF {b,} を定める。
n& LF | のとき, ちの値によらず 6。= 0 CHS. nB2OLE
6, =0 を満たすは| コ | 個ある。
(3) qt OMNES MFORME LT, 3q+ 1 を81で割った余りをるとする。
以下同様に.ぁ=2, 3,...に対して, 3c。+ 1 を81で割った余りをと
することで, BH {c,} を定める。
ne のとき, q の値によらず 6 = である。
Ge: | キ | | ヶ | | サ |] は条件を満たす最小の自然色で倫えよ。)
ーー
Mab2
I BKM CO, +] 上で定義された連続関数上 があり, 区間(0,*] 上では
(の = HBL eR ORTH’, vem [roe OBE ID TVs
ん
(1) 0) = tim f(t) = TCHS
(2) 0<aSn ELT, BP (a) = [noe を考える。log (1 ~ cost)
の導関数が であるので, 部分生分法を用いると,
7(e) = = alog (1 ~ cosa) -/ wo -cosのみ (1)
となる。 三角開数の半角の公式を用い。』 = 2x LB CHINE ASL,
[i costae = TE] +4 foe (sins) a (2)
< た
となる。
HE Jim (a) が存在すること。 および lim alog(1— cosa) = 0 であるご
とを用いると, MRK (1), (2) より. wart Bm。/ peanoe が存在す
な
+
ることがわかる。そこで im, [ log (sins) de =/ とおいて/ を求める。
ーョー
Oo】
(3) 0<5 く今 に対し. ;
Sb Bab
K(b) = log (sinx) dx, L(b) a log (cos x ) dx
A /
とする。 まず, = Po とおいて重拓積分法を用いると,
を(め) - L() =
がわかる。 一方, 和については, 三角関数の倍角の公式を用い, Ix = とお
arn
+
K(b) + L(b) =f log (sin) dt +
hy
となる。
これらより, lim K(b) = となる。
onto
(4) J = lim K(b) と関係式 (1) (2) より,
[roe = lim f(a) =
が得られる。 5
=e fies
(Mab®)
WV 4つのチームA, B, C, D が参加し優勝を決める大会がある。大会のルールは,
2つのチームが対戦し, 必ず勝敗は決まり, 引き分けはないとしている。 A, B,
C, D がそれぞれ対戦したときに, 対戦相手に勝っ確率は次の1ー1のとおりであ
る。
1 AがB に騰っ確率は 2 cds.
49 AがCに勝つ確率は + である。
OAD BMH + である。
OB, CDの3チームにおけるどの組合さも互いに騰つ確率は である。 」
[1〕 春の大会では, A B, C, Dから選記すべての組合せについて 1 回ずつ試
合を行い最も勝ち数の多いチームを優勝とする。ただし, 複数のチームの勝
ち数が最大である場合は. 勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする。
すべての投合数は である。4 が全勝する確率は である。A
がC のみに負けるが, C が全勝しない確率は である。 春の大会で, A
ART 2 He である。
(2) 秋の大会では, くじで2チームずつに分かれて 1 回戦を行い, 1 回戦の勝者
同二で 2 回戦を行ってその勝者優勝とする。
Aが1回戦でBと対戦し. か2回戦でCと対戦する確率ば であ
る。秋の大会で、A が人勝る確率は である。
ー5sー
- abの
(3) Aが巡 チームと交代して, A, B,C, Dが大会に参加する。大会のルール
は変わらず, A , B, CD がそれぞれ対戦したときに, 対戦相手に勝つ確率
（続きは問題PDFで確認できます）
負であるものを とおく。それぞれを極形式で表すと
となる。
(2) を複素数とする。みが 2 =ぇを満たすとき, w を極形式で表すと
となる。 また, w? = を満たすとき, w を極形式で表すと
となる。 これら 4 つの覆素数を, MAA SVMS wy, wy, wy, my ET So
Sm(k=1, 2, 3, 4) は。 のの4次方程式| キ | - 0 の解となる。 こ
26) は の係数が1 である w COV CHS NLSBRTCH 3
また, wy + wy + wy + wy = [7]. WWW, Wy = [=].
we + wf = である。
(3) 複表数平面上の3 点0, a, を頂点とする三角形の面積を $。 3点0, a
wm を頂点とする三角形の面積を 5。 とおくと,
である。
met = -
(Mbの
I
(1) a OWE CUFORRELT, 2g」 を64で割った余りをg。 とする。以
下同様に ぁ=2. 3....に対して, 2g,を64で割った余りをgg.」とするこ
とで, 数列 {a,} を定める。
る=43 とする。ムを2進法で表すと| ア | 。となる。このとき,
を 2 進法で表すと | イ | cH), 10進法で表すと となる。 以降
ome 10 進法で表すと a= =]. =| ォ|.ぁ= である。
n2 Le | のとき, aq OIL OF a, = 0 CHS. nB6 OLE
a, =0 を潜たするは| ク | 個ある。
(2) を0以上127 以下の整数として4 を128 で割った余りを j。 とする。以
下同様に.ぁ=2, 3....に対して, 4b, 128 で割った余りをヵ,」とするこ
とで, BF {b,} を定める。
n& LF | のとき, ちの値によらず 6。= 0 CHS. nB2OLE
6, =0 を満たすは| コ | 個ある。
(3) qt OMNES MFORME LT, 3q+ 1 を81で割った余りをるとする。
以下同様に.ぁ=2, 3,...に対して, 3c。+ 1 を81で割った余りをと
することで, BH {c,} を定める。
ne のとき, q の値によらず 6 = である。
Ge: | キ | | ヶ | | サ |] は条件を満たす最小の自然色で倫えよ。)
ーー
Mab2
I BKM CO, +] 上で定義された連続関数上 があり, 区間(0,*] 上では
(の = HBL eR ORTH’, vem [roe OBE ID TVs
ん
(1) 0) = tim f(t) = TCHS
(2) 0<aSn ELT, BP (a) = [noe を考える。log (1 ~ cost)
の導関数が であるので, 部分生分法を用いると,
7(e) = = alog (1 ~ cosa) -/ wo -cosのみ (1)
となる。 三角開数の半角の公式を用い。』 = 2x LB CHINE ASL,
[i costae = TE] +4 foe (sins) a (2)
< た
となる。
HE Jim (a) が存在すること。 および lim alog(1— cosa) = 0 であるご
とを用いると, MRK (1), (2) より. wart Bm。/ peanoe が存在す
な
+
ることがわかる。そこで im, [ log (sins) de =/ とおいて/ を求める。
ーョー
Oo】
(3) 0<5 く今 に対し. ;
Sb Bab
K(b) = log (sinx) dx, L(b) a log (cos x ) dx
A /
とする。 まず, = Po とおいて重拓積分法を用いると,
を(め) - L() =
がわかる。 一方, 和については, 三角関数の倍角の公式を用い, Ix = とお
arn
+
K(b) + L(b) =f log (sin) dt +
hy
となる。
これらより, lim K(b) = となる。
onto
(4) J = lim K(b) と関係式 (1) (2) より,
[roe = lim f(a) =
が得られる。 5
=e fies
(Mab®)
WV 4つのチームA, B, C, D が参加し優勝を決める大会がある。大会のルールは,
2つのチームが対戦し, 必ず勝敗は決まり, 引き分けはないとしている。 A, B,
C, D がそれぞれ対戦したときに, 対戦相手に勝っ確率は次の1ー1のとおりであ
る。
1 AがB に騰っ確率は 2 cds.
49 AがCに勝つ確率は + である。
OAD BMH + である。
OB, CDの3チームにおけるどの組合さも互いに騰つ確率は である。 」
[1〕 春の大会では, A B, C, Dから選記すべての組合せについて 1 回ずつ試
合を行い最も勝ち数の多いチームを優勝とする。ただし, 複数のチームの勝
ち数が最大である場合は. 勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする。
すべての投合数は である。4 が全勝する確率は である。A
がC のみに負けるが, C が全勝しない確率は である。 春の大会で, A
ART 2 He である。
(2) 秋の大会では, くじで2チームずつに分かれて 1 回戦を行い, 1 回戦の勝者
同二で 2 回戦を行ってその勝者優勝とする。
Aが1回戦でBと対戦し. か2回戦でCと対戦する確率ば であ
る。秋の大会で、A が人勝る確率は である。
ー5sー
- abの
(3) Aが巡 チームと交代して, A, B,C, Dが大会に参加する。大会のルール
は変わらず, A , B, CD がそれぞれ対戦したときに, 対戦相手に勝つ確率
（続きは問題PDFで確認できます）
問4画像OCR
検出分野: 数列、関数・グラフ、図形・三角関数、整数、方程式・不等式
(1) AB=c, BC=a, CA=b であるへABC について考える。ただし. Bald
a. 6. cを用いた式で天すこととする。
AB とAC の内穂は AB・AC = となる。
EX, BAC の2等分線と辺 BC の交点を D、へABC の内心を1とすると.
(2) *についての 2 次方程式
デ+gw+5=0 ......1
3 EK
9 totes r= ... @
を考える。ただし, a. bd. 9. ァは実数であり. のゃ0 とする。また. 7は
Domoisy 一3エソ7 でるるならま <=[ぁ|.ゅ=
aie, ©§ 3447 を通にもっとする。また.2の左辺の式を *+ 2
で割ったとき. 余りが- 6であるならぼヵ=|ク| <-|ヶ|.
r= である。
_—
(Sa3)
(3) 座標平面において. |ヵ|ミーg|*| + 1 (<は正の完数) が表す領域の面和
は. となる。 また. A(x, y) がこの食域を動くとき. ェ+ッと
vty? の最大値をそれぞれヵ.、 9 とおくと. a= の場合には
=9ー1となり.cく| シ |の場人人にほはゥ=| ス | 6-|[モ|と
なる。
ーぬ一
(Sa®)
TL ある朱品の水浴液Aが毎秒1g 容器に注がれでいる。Aの渡度は時間とともに
BEL, 注ぎはじめからの時間が#秒 (0 ミミ 60) のとき注がれるAの渡度 (%)
(a,
es
Ff) = FF zt +10
vee, Reo BAO TM (g) ee
である。 水溶液の渡度20) は Keo BTot (@ * 100 とする。 最初は容器に
は何$ゃ入っていない。
BROW OAEUE AUB & Lo
x Bt O<x S 60), B DME (%) は.
B の中の薬品の質量 (g) el ie
Bowe (g) WO J Fae
となる。このB OMEMUEL SOBMEM<S.
AとB の濃度が同じになる時間は、 注ぎはじめてから 秒後となる。こ
DLE, 注ぎはじめてからの時間が 秒よりも短いと. ので. At
加え続けるとBの渡度は 。 また.注ぎはじめてからの時間が 秒
よりる長いと濾度の変化が送になる。よって. BOREAL CMMs, 注ぎ
はじめてから 秒後である。
ただし。 5 は次のそれぞれの選択受から 1OBU, 符号で答え
xo
の選択肢 | © ALY BORA © BよりAの渡度が音い
@ AとBの滋度が等しい
の選択肢 | 1 高くなる @ 変わらない @ 低くなる
ーーター
(S28)
I 数列 1を.
1.3.1.3.9.3.1.3.9.27.9.3.1.3.9.27.81.27.9 ....81.248....
EFS. {a,} を
1/3.1.3/9.31.3.9| 27. 9.3.1.3, 9, 27| 81, 27, 9. --. 81 243.
のように. 第ぁ辞の最初の項と最後の項がともに 3!となるように和群に分けて考
える。このとき, 次の問いに答えよ。
7 み
(1) 第を群に含まれる項の和を S。とするとき. S。を求めよ。また. S = 2S
を求めよ。
(2) {2。} においてgs gn をそれぞれ求めよ。 答えは3 の累舟の形で答えて
もよい。
(3) {2。} において. gel, gs=1. ニー1 のように=1 となるぁみを小
きい順に並べて数列を作ると.
1, 3. 7,
となる。この数列を {b, | とするとまき. 一般項 6。 を求めよ。
(4) {g,) の初項から第 1000 項までに. 1 である項は何個あるか。
(5) aio を求めよ。 答えは 3 の梨乗の形で答えてもよい。
ーー一
(Sa@)
ee SS SS aa ESS
a. 6. cを用いた式で天すこととする。
AB とAC の内穂は AB・AC = となる。
EX, BAC の2等分線と辺 BC の交点を D、へABC の内心を1とすると.
(2) *についての 2 次方程式
デ+gw+5=0 ......1
3 EK
9 totes r= ... @
を考える。ただし, a. bd. 9. ァは実数であり. のゃ0 とする。また. 7は
Domoisy 一3エソ7 でるるならま <=[ぁ|.ゅ=
aie, ©§ 3447 を通にもっとする。また.2の左辺の式を *+ 2
で割ったとき. 余りが- 6であるならぼヵ=|ク| <-|ヶ|.
r= である。
_—
(Sa3)
(3) 座標平面において. |ヵ|ミーg|*| + 1 (<は正の完数) が表す領域の面和
は. となる。 また. A(x, y) がこの食域を動くとき. ェ+ッと
vty? の最大値をそれぞれヵ.、 9 とおくと. a= の場合には
=9ー1となり.cく| シ |の場人人にほはゥ=| ス | 6-|[モ|と
なる。
ーぬ一
(Sa®)
TL ある朱品の水浴液Aが毎秒1g 容器に注がれでいる。Aの渡度は時間とともに
BEL, 注ぎはじめからの時間が#秒 (0 ミミ 60) のとき注がれるAの渡度 (%)
(a,
es
Ff) = FF zt +10
vee, Reo BAO TM (g) ee
である。 水溶液の渡度20) は Keo BTot (@ * 100 とする。 最初は容器に
は何$ゃ入っていない。
BROW OAEUE AUB & Lo
x Bt O<x S 60), B DME (%) は.
B の中の薬品の質量 (g) el ie
Bowe (g) WO J Fae
となる。このB OMEMUEL SOBMEM<S.
AとB の濃度が同じになる時間は、 注ぎはじめてから 秒後となる。こ
DLE, 注ぎはじめてからの時間が 秒よりも短いと. ので. At
加え続けるとBの渡度は 。 また.注ぎはじめてからの時間が 秒
よりる長いと濾度の変化が送になる。よって. BOREAL CMMs, 注ぎ
はじめてから 秒後である。
ただし。 5 は次のそれぞれの選択受から 1OBU, 符号で答え
xo
の選択肢 | © ALY BORA © BよりAの渡度が音い
@ AとBの滋度が等しい
の選択肢 | 1 高くなる @ 変わらない @ 低くなる
ーーター
(S28)
I 数列 1を.
1.3.1.3.9.3.1.3.9.27.9.3.1.3.9.27.81.27.9 ....81.248....
EFS. {a,} を
1/3.1.3/9.31.3.9| 27. 9.3.1.3, 9, 27| 81, 27, 9. --. 81 243.
のように. 第ぁ辞の最初の項と最後の項がともに 3!となるように和群に分けて考
える。このとき, 次の問いに答えよ。
7 み
(1) 第を群に含まれる項の和を S。とするとき. S。を求めよ。また. S = 2S
を求めよ。
(2) {2。} においてgs gn をそれぞれ求めよ。 答えは3 の累舟の形で答えて
もよい。
(3) {2。} において. gel, gs=1. ニー1 のように=1 となるぁみを小
きい順に並べて数列を作ると.
1, 3. 7,
となる。この数列を {b, | とするとまき. 一般項 6。 を求めよ。
(4) {g,) の初項から第 1000 項までに. 1 である項は何個あるか。
(5) aio を求めよ。 答えは 3 の梨乗の形で答えてもよい。
ーー一
(Sa@)
ee SS SS aa ESS
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、関数・グラフ、空間図形、整数、方程式・不等式
(1) y#fG) Ey = ols) はゃの舘によらずァー| ア | で共有点をもつ。
また. flz) の第2 RUBS (x) が関数g(z) に等しくなるのは.
a=[ イ |のときである。
(2) m=SEL, 0<2く1とする。このとき.Sをgを月いて表すと.
= である。 また, OS2S1 の範囲において、g(*) — f(x) は
=ト| エ | のとき. 衣大値| オ | をとる。
(3) $ を<. ヶを用いて表すと0く4く1 であるとき.S$=| ヵ | 021
であるとき、3 = である。各ヵに対して. $ を最小にするcをぁを
用いて表すと, a= である。
=
(tab)
I p&3<p 54 を満たす定数として、 (x) = な (ユーテ) とおく。
(1) *に関する方程式 = Ale) OME ょニ ‘
([ | <[ィ ]) でぁs。 en. (4 |) = である。
(2) o(2) =FU() とおく。 x RIF SHER x = o(x) ORO 4,
2A f(x) THREAVSOEG, Bla <8) EFS. @, はをに関する2次
wet e+ Te ee = 0 OCH), f(a) F(A) = で
ある。 さらに. KER [f(a f(s) | く1 を満たすヵの部囲を求めると.
3<p< となる。
また. fg) = g(() であることより. fa). HA) もテーッ(r) の
解となることから、/(e) = (8) =a WYN. SHED,
の(<) = の(4) = を得る。
(年 すべて 9. a, 9 を用いずに等えよ。)
ーッラー
(Mab@)
TL xyz BMRZEMICALO ©, 0 0), ACL -1. 10.B(-3. 1, 3) および点Pを考
える。
(1) PHWMABLICS SESS. PARP ABOWATHSL ES, POTS
CHS. Pity: FHLCHSLS, POLE である。 直線
OP HH AB と直交するとき. Pomms 7 | である。
(2) Pが AP = BP を満たすとする。このとまき. AP・AB=| エ | である。ま
た、 PCr。 2) とするとき、zを*。うを用いて表すと. 2=[ オ | である。
きらに. 340, A Pが同一直線上にあるとき。Pの座要は| カ | である。
(3) を定数とし.Pは AP+ BP=r SWALEMORC EFS. OLDE
afte r= [¥ | でぁる。
ァー[キ|のとき. pazalz |. を側点とする線分上にあ
Be
r> とする。P が直良 AB 上にあるならば、AP = | コ | ABまた
ap = | サ | < Hk yo. また. PLEMABOMMORAME re
用いて表すと. となる。
ーョー
Gt)
WV A岩とB岩が箱を1つずつもっていて. それぞれの箱の中には1 から4の数字
が1 つずつ千かれた4個の球が入っている。
(1 〕 ABs, 箱から 1 個の球を取り出し、そこに書かれた数字を記録して. 箱に
球を実す。この試行を ヶ HRY 返したとき、記録された数字の和を $。とする。
COBAEAMAORLS, %が4以下になる稚率は である。 この
試行を4回閑り返したとき、S。が16 になる確率は CHS. ORT
を10田株り近してが6以上であり. POS AI KESMHE Hy
である。
(2) KK. A君とB放の2 名で以下の試行 (*) を行う :
(x) ABEL BERSEORPSTHEN] 個球を取り出し. そこに等かれ
CHEENLT S. 2 つの数字が異なる場合は、大きな数であった方のみ
が3点を得る。 2つの色字が同じであった場合は、 RHYL 点を得る。到
り出した球は元の箱に戻す。
この恋行を 1 回行ったとき、 ABMBAT ARSE である。
少なくとや一方の得点の合計が10 ADEE ESE CLORTERD ET.
BATRA BPRS. MTARNT Bfibh, Zone
は である。 試行がちょうど5回で終わる確擬人は である。
CH: 確率はすべて算約分数で符えよ。)
; ーォー
(Mab)
また. flz) の第2 RUBS (x) が関数g(z) に等しくなるのは.
a=[ イ |のときである。
(2) m=SEL, 0<2く1とする。このとき.Sをgを月いて表すと.
= である。 また, OS2S1 の範囲において、g(*) — f(x) は
=ト| エ | のとき. 衣大値| オ | をとる。
(3) $ を<. ヶを用いて表すと0く4く1 であるとき.S$=| ヵ | 021
であるとき、3 = である。各ヵに対して. $ を最小にするcをぁを
用いて表すと, a= である。
=
(tab)
I p&3<p 54 を満たす定数として、 (x) = な (ユーテ) とおく。
(1) *に関する方程式 = Ale) OME ょニ ‘
([ | <[ィ ]) でぁs。 en. (4 |) = である。
(2) o(2) =FU() とおく。 x RIF SHER x = o(x) ORO 4,
2A f(x) THREAVSOEG, Bla <8) EFS. @, はをに関する2次
wet e+ Te ee = 0 OCH), f(a) F(A) = で
ある。 さらに. KER [f(a f(s) | く1 を満たすヵの部囲を求めると.
3<p< となる。
また. fg) = g(() であることより. fa). HA) もテーッ(r) の
解となることから、/(e) = (8) =a WYN. SHED,
の(<) = の(4) = を得る。
(年 すべて 9. a, 9 を用いずに等えよ。)
ーッラー
(Mab@)
TL xyz BMRZEMICALO ©, 0 0), ACL -1. 10.B(-3. 1, 3) および点Pを考
える。
(1) PHWMABLICS SESS. PARP ABOWATHSL ES, POTS
CHS. Pity: FHLCHSLS, POLE である。 直線
OP HH AB と直交するとき. Pomms 7 | である。
(2) Pが AP = BP を満たすとする。このとまき. AP・AB=| エ | である。ま
た、 PCr。 2) とするとき、zを*。うを用いて表すと. 2=[ オ | である。
きらに. 340, A Pが同一直線上にあるとき。Pの座要は| カ | である。
(3) を定数とし.Pは AP+ BP=r SWALEMORC EFS. OLDE
afte r= [¥ | でぁる。
ァー[キ|のとき. pazalz |. を側点とする線分上にあ
Be
r> とする。P が直良 AB 上にあるならば、AP = | コ | ABまた
ap = | サ | < Hk yo. また. PLEMABOMMORAME re
用いて表すと. となる。
ーョー
Gt)
WV A岩とB岩が箱を1つずつもっていて. それぞれの箱の中には1 から4の数字
が1 つずつ千かれた4個の球が入っている。
(1 〕 ABs, 箱から 1 個の球を取り出し、そこに書かれた数字を記録して. 箱に
球を実す。この試行を ヶ HRY 返したとき、記録された数字の和を $。とする。
COBAEAMAORLS, %が4以下になる稚率は である。 この
試行を4回閑り返したとき、S。が16 になる確率は CHS. ORT
を10田株り近してが6以上であり. POS AI KESMHE Hy
である。
(2) KK. A君とB放の2 名で以下の試行 (*) を行う :
(x) ABEL BERSEORPSTHEN] 個球を取り出し. そこに等かれ
CHEENLT S. 2 つの数字が異なる場合は、大きな数であった方のみ
が3点を得る。 2つの色字が同じであった場合は、 RHYL 点を得る。到
り出した球は元の箱に戻す。
この恋行を 1 回行ったとき、 ABMBAT ARSE である。
少なくとや一方の得点の合計が10 ADEE ESE CLORTERD ET.
BATRA BPRS. MTARNT Bfibh, Zone
は である。 試行がちょうど5回で終わる確擬人は である。
CH: 確率はすべて算約分数で符えよ。)
; ーォー
(Mab)
問6画像OCR
検出分野: データ・統計、確率・場合の数、図形・三角関数、数列、微分・積分
(1) BI {a,} DDH a, PON Ha, E COMES, ETS.
S,+4,=4n+2 であるとき, ムー| ア | m= [4 ] でぁる。
gmをg。 を用いて表すと, gn = [9 Ja, + である。
これより, この数列の一般項は g。 = である。
（続きは問題PDFで確認できます）
S,+4,=4n+2 であるとき, ムー| ア | m= [4 ] でぁる。
gmをg。 を用いて表すと, gn = [9 Ja, + である。
これより, この数列の一般項は g。 = である。
（続きは問題PDFで確認できます）