立命館大学 2020年度 過去問・解答

※ 問題文は立命館大学が公表した2020年度入学試験問題（選択科目 数学・冊子①）を、解説のために引用したものです。解説はオンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したものです。当解説の答え（全33問）はすべて一般的な解答例と突き合わせて一致を確認しています。加えて、〔Ⅰ〕〔2〕の塗り分けは 通りの全数列挙、〔Ⅰ〕〔3〕は数式処理システムによる判別式の連立と定積分、〔Ⅲ〕は800万分割の数値最大化でも独立に検算しました。

〔Ⅰ〕【空所補充】 軸に接する円と正三角形／6領域の塗り分け／2放物線の共通接線

分野：図形と方程式・場合の数・微積分　難易度：標準（〔2〕のみ注意）　目標時間：35分

〔Ⅰ〕〔1〕（a）　［ア］半径と［イ］中心から直線 までの距離

【型】「 軸に接する円」の半径は中心の 座標の絶対値。距離は点と直線の距離の公式

【なぜこうするか】
円が 軸に接するということは、中心から 軸までの距離がちょうど半径だということ。中心 から 軸（）までの距離は （）なので

次に直線 、すなわち までの距離は、点と直線の距離の公式から

なので絶対値はそのまま外せます。有理化すれば ですが、一般的な解答例は の形です。

【定石】座標軸に接する円は、中心の座標がそのまま半径になる—— 軸に接するなら 、 軸に接するなら 。円の問題は「中心」と「半径」の2つを最初に確定させるのが鉄則で、あとの (b)(c)(d) はすべてこの2つと「中心から直線までの距離」の3つで処理できます。

〔Ⅰ〕〔1〕（b）　［ウ］［エ］共有点をもつための条件

【型】円と直線が共有点をもつ （中心と直線の距離）（半径）

【なぜこうするか】
判別式でも解けますが、距離と半径の比較が圧倒的に速い。(a) の2つを並べるだけです。

で割って の形を作ります。両辺に を掛けて 、すなわち 。両辺を で割ると

もう一方の不等号は問題文の条件から。 より です。したがって

よってウ 、エ 。

【検算】。数式処理システムで を について解くと となり、 も確認 ✓。

【よくあるミス】エに など計算で出てきた値を入れようとすること。エは問題文の から自動的に決まる です。「共有点をもつ条件」だけを考えていると気づけません。与えられた変域の条件も答えの一部だと意識しましょう。

【定石】円と直線の位置関係は距離 と半径 の3通り——（2点で交わる）、（接する）、（共有点なし）。分母の有理化 は頻出なので即答できるように。

〔Ⅰ〕〔1〕（c）　［オ］正三角形になるときの

【型】円に内接する正三角形では「中心から辺までの距離＝半径の半分」

【なぜこうするか】
は円 上にあり、 は直線 上の弦です。 が円に内接する正三角形になるということは、 がその正三角形の1辺だということ。
円に内接する正三角形では、中心（＝外心＝重心）から各辺までの距離は外接円の半径の になります（中心角 の弦なので、中心から弦までの距離は ）。
したがって条件は「中心から までの距離が 」：

両辺を 倍して 、すなわち 。よって

(b) の範囲に入るかの確認も忘れずに。 で、 ✓ 確かに共有点を2つもつ範囲にあります。

【検算】数式処理システムで を について解くと となり、 ✓。

【よくあるミス】「中心から辺までの距離＝」や「」としてしまうこと。正三角形の外接円半径 と内接円半径 の関係は （重心が に内分することから）。「中心から頂点までが 、中心から辺までが 」と対にして覚えます。

【定石】円に内接する正三角形の基本量——外接円半径 のとき、1辺 、中心から辺までの距離 、面積 。この3つは (c)(d) の両方で使うので、セットで暗記しておくと速いです。

〔Ⅰ〕〔1〕（d）　［カ］［キ］面積が のときの

【型】正三角形の面積 から半径を出し、(c) の比で を復元する

【なぜこうするか】
外接円の半径は （(a)）なので、面積の式から が一発で出ます。

次に (c) の から を求めます。

よってカ 、キ （ を満たします ✓）。

【検算】 として実際に確かめると、中心から直線 までの距離は 。半径の半分 と一致 ✓。
弦の長さは 、正三角形の1辺 と一致 ✓。面積は ✓。

【定石】面積から長さを逆算する問題は「面積の公式を の式で書けているか」がすべて。 を覚えていなければ、1辺 と から導けます（）。導けるなら暗記は不要です。

〔Ⅰ〕〔2〕（a）　［ク］6色で塗り分ける方法

【型】まず「どの領域とどの領域が隣り合うか」を図から抜き出して、点と線の図（グラフ）に描き直す

【なぜこうするか】
塗り分けの問題は、図の見た目ではなく隣接関係だけで決まります。そこで最初に、6つの領域を点、隣り合う関係を線にした図を描きます。

読み取れる隣接関係は次のとおりです。

（④は③としか接していない点、①は②③としか接していない点がポイントです。）

ここが最大の注意点——この問題の「6色で塗り分ける」は6色すべてを使うという意味です（一般的な解答例が 通りであることから確定します）。「使わない色があってもよい」と読むと 通りになり、まったく違う答えになります。

6つの領域を6色すべてで塗る、つまり6領域が全部違う色になるということ。全部違えば隣り合う条件は自動的に満たされるので、単純に6色を6領域に並べる順列です。

【検算】 通りの塗り方をすべて列挙し、隣接条件を満たすものを数えると「高々6色」は 通り、「6色すべてを使う」は 通り。一般的な解答例の と一致 ✓。

【よくあるミス】「6色で塗り分ける」を「6色から選んで塗る（使わない色があってよい）」と読むこと。日本の入試ではこの言い回しは「その色数をちょうど使い切る」意味で使われることが多く、本問もそうでした。後続の (b)(c)(d) で色数が減っていく構成になっていることが、「使い切る」読みの証拠です（使わなくてよいなら色数を減らす意味が薄い）。

【定石】塗り分けは「隣接関係のグラフ」に描き直してから数える。図の形（面積や位置）は一切関係ありません。領域数と色数が同じなら、答えは無条件に ——隣接条件が自動的に満たされるからです。

〔Ⅰ〕〔2〕（b）　［ケ］5色で塗り分ける方法

【型】領域6・色5なら「ちょうど1組だけが同じ色」——同色にできるのは隣り合わない2領域だけ

【なぜこうするか】
6領域を5色すべてで塗るので、ある1色だけが2つの領域に使われ、残り4色は1領域ずつ。つまり「同じ色になる2領域の組」を1つ選び、それを1つのかたまりと見て5つのかたまりに5色を並べます。
同じ色にできるのは隣り合っていない2領域だけ。全部の組は 組、そのうち隣り合う組（辺）が8組なので

具体的には の7組です。
選んだあとは5つのかたまりに5色を1対1に割り当てるので 通り。

【検算】全数列挙で「5色すべてを使う」塗り方は 通り。一般的な解答例と一致 ✓。
包除原理でも確認できます。隣接条件を満たす「高々 色」の総数は （後述）なので、 では

✓ 一致します。

【よくあるミス】隣り合わない組を数え間違えること。 や のように図の上では離れている組を見落としがちです。「全部の組 辺の本数」で機械的に数えると漏れません（）。

【定石】領域数 、色数 のときは「同色にする1組を選ぶ 」。同色にできる組は非隣接ペアで、その個数は から辺の本数を引いたものです。この形は頻出です。

〔Ⅰ〕〔2〕（c）　［コ］4色で塗り分ける方法

【型】組み分けが複雑になったら、彩色多項式（高々 色の総数）を作って包除原理で引く

【なぜこうするか】
6領域を4色で塗ると「2領域が同色の組が2つ」または「3領域が同色の組が1つ」などパターンが増えて数え上げが煩雑になります。そこで発想を変えて、「高々 色」の総数を先に求めてから包除原理で引くのが確実です。

高々 色の総数は、隣接グラフの構造から順に決めていけます。まず三角形 を塗ると 通り。次に

・①は②③（すでに異色の2つ）に隣接 残り 通り
・⑥は②⑤（すでに異色の2つ）に隣接 残り 通り
・④は③のみに隣接 残り 通り

この式に代入すると で 、 で 、 で 、 で 。
求めたいのはちょうど4色を使う数なので、包除原理で「3色以下しか使わない」分を引きます。

（ では隣接条件を満たす塗り方が 通りなので、そこから先は消えます。）

よってコ 通り。

【検算】全数列挙で「4色すべてを使う」塗り方は 通り。一般的な解答例と一致 ✓。

【よくあるミス】 通り（高々4色）と答えること。ここが (a) と同じ落とし穴で、3色で済んでしまう塗り方 通り（）を引かなければなりません。

【定石】「ちょうど 色」（包除原理。 は「高々 色」の総数）。逆に「高々 色」はグラフを「すでに塗った点に隣接する順」に並べて掛け算すれば作れます。両方を行き来できると、この手の問題は完全に機械化できます。

〔Ⅰ〕〔2〕（d）　［サ］3色で塗り分ける方法

【型】色数が最小に近いときは、公式に代入するだけで終わる（引き算が不要になる）

【なぜこうするか】
(c) で作った式に を代入します。

ここでは包除の引き算が要りません。なぜなら、この図には三角形（①②③が互いに隣接）があるので、2色以下では絶対に塗り分けられないからです。つまり「高々3色」で数えたものは自動的に「3色すべてを使う」ものになっています。

【検算】全数列挙でも「高々3色」も「3色すべて」もともに 通り。一般的な解答例と一致 ✓。
直接数えても確かめられます。①②③の三角形に3色を割り当てるのが 通り。すると⑤は②③と異なる色＝残り1色に確定、⑥は②⑤と異なる色＝確定、④は③と異なる2色から選べるので 通り。合計 ✓。

【定石】グラフに三角形（互いに隣接する3領域）があれば、最低3色が必要。この「彩色数」を最初に見抜いておくと、(d) のように引き算が不要になる場合が判断できます。一般に「高々 色」と「ちょうど 色」が一致するのは が彩色数に等しいときです。

〔Ⅰ〕〔3〕　［シ］［ス］2放物線の共通接線

【型】共通接線は とおいて、2つの「判別式 」を連立する

【なぜこうするか】
接線を とおきます。放物線と接する条件は、連立した2次方程式が重解をもつこと、すなわち判別式 。

と接する条件： より 。

と接する条件： より 。

①から②を引くと が消えます（ここが計算の急所）。

①に戻して 、すなわち より 。

問題文が ［シ］［ス］の形なので、シ 、ス 。

【検算】数式処理システムで2つの判別式を連立して解くと の1組のみ ✓。
なぜ共通接線が1本しかないのか——2つの放物線は の係数が等しく平行移動でぴったり重なる（合同）ので、共通接線は1本だけです。係数が違えば普通は2本あります。

【よくあるミス】接点を文字でおいて「接線の方程式」を2本立てる方法を採ると、未知数が2つ増えて計算量が跳ね上がります。 と判別式2本が最短。また問題文が と「マイナス」で書かれているので、ス には ではなく を入れます（符号の読み違いに注意）。

【定石】2次の係数が等しい2放物線の共通接線は1本で、 と判別式2本の連立が最速。2式を辺々引くと定数項 が消えて が一発で出る——この「引き算で1文字消す」動きを最初から狙いましょう。

〔Ⅰ〕〔3〕　［セ］［ソ］［タ］［チ］2つの接点の座標

【型】接点の 座標は「重解」——完全平方の形にすれば一瞬

【なぜこうするか】
接するとき、連立してできる2次方程式は完全平方になります。前問で立てた式に を代入するだけです。

との接点：

との接点：

よってセ 、ソ 、タ 、チ 。

【検算】放物線の式に直接代入しても一致します。 ✓、 ✓。
微分でも確認できます。 が になるのは ✓、 が になるのは ✓。

【定石】接点の 座標は「接線の傾き 微分係数」からも出せる。 を解くほうが速い場合も多く、2通りで出して一致を見るのが安全です。次の面積計算では完全平方の形 、 をそのまま使うので、こちらの形で持っておくと得です。

〔Ⅰ〕〔3〕　［ツ］2放物線と接線で囲まれた部分の面積

【型】「放物線 接線」は完全平方。展開せずに で積分する

【なぜこうするか】
まず2つの放物線の交点を求めて、積分区間の切れ目を確定させます。

（このとき 。）

囲まれた図形は、左側（）は と の間、右側（）は と の間です。ここで前問の完全平方がそのまま効きます。

展開してはいけません。この形なら積分が暗算でできます。

、 なので

よってツ （）。

【検算その1】数式処理システムで定積分を実行すると ✓。
【検算その2（対称性）】2つの積分値がともに と等しくなったのは偶然ではありません。 と は合同な放物線で、交点 は2つの接点 のちょうど中点（）。図形全体がこの点について点対称なので、左右の面積が等しくなるのです ✓。

【よくあるミス】 を展開して のまま積分すること。答えは同じですが計算量が3倍になり、符号ミスの温床です。「放物線 接線」は必ず（2次の係数）（ は接点の 座標）の形になるので、完全平方のまま扱いましょう。

【定石】 を使えば、放物線と接線の面積は一瞬。関連して（6分の1公式）、接線がらみは 公式・ 公式もセットで押さえておきます。

〔Ⅱ〕【空所補充】複利と「現在価値」——等比数列で発電施設の収益を評価する

分野：等比数列・等比級数（金融の応用）　難易度：標準　目標時間：25分

〔Ⅱ〕〔1〕　［ア］1年後の元利合計

【型】「元利合計」は「元金 （1＋利率）」。足し算ではなく掛け算で捉える

【なぜこうするか】
元金 に対して利子が つくので、元利合計は

この「 倍になる」という掛け算の見方が、以降すべての土台です。（万円）を代入して

よってア 万円。

問題文の続きが重要です。「現在の100万円」と「1年後の104万円」が同じ価値をもつ——だから逆に「1年後の100万円」は現在の価値に直すと 万円になる。この「割り戻す」操作が現在価値の正体です。

【定石】利率 の複利は「毎年 倍」＝公比 の等比数列。逆に将来の金額を現在に直すときは で割る＝公比 。この2方向をはっきり区別できれば、この大問は全問取れます。

〔Ⅱ〕〔2〕　［イ］［ウ］10年後の元利合計と、10年後の100万円の現在価値

【型】複利は毎年 倍なので、 年後は 倍。現在価値はその逆数倍

【なぜこうするか】
1年ごとに 倍が繰り返されるので、10年後は を10回掛けたもの。

現在価値はこの逆で、 で割ります。別表で のとき なので

よってウ 万円。

【検算】厳密に計算すると 万円。別表の は小数第2位までの丸めなので、表を使う指示に従えば が正解です ✓。

【よくあるミス】厳密値 などと答えること。問題文に「別表の数値を使って」と明記されているので、表の値をそのまま使うのがルールです。逆に表を使わずに電卓的な計算をすると、以降の［カ］［ケ］でも答えがずれます。

【定石】現在価値は「将来の金額を で割ったもの」。この を割引率と呼びます。別表はこの割引率の一覧表で、実務でも「現価係数表」として使われているものです。

〔Ⅱ〕〔3〕　［エ］［オ］数列 の初項と公比

【型】定義に戻って を式で書けば、初項と公比は目で見える

【なぜこうするか】
年後の100億円を現在価値に直すには で割るので

この形にすれば、初項と公比がそのまま読み取れます。

よってエ 、オ 。

ここは別表を使いません。 の値が表に載っていないこともありますが、そもそも問題文が「別表の数値を使って」と指示しているのは［ウ］［カ］［キ］［ク］［ケ］［コ］だけです。指示のないところは分数のまま答えるのが正解で、一般的な解答例も と分数のままです。

【検算】 億円。 で、比は ✓ 確かに公比 の等比数列です。

【よくあるミス】初項を としてしまうこと。 は「1年後の100億円の現在価値」なので、すでに1回割ってあります。「初項＝ を代入した値」と機械的に確認しましょう。

【定石】等比数列は （ が初項、 が公比）の形に整形してから読む。 のままだと初項を読み違えます。指数を にそろえる——これが唯一の作業です。

〔Ⅱ〕〔3〕　［カ］20年間の現在価値の合計

【型】等比数列の和の公式。（ は公比）の部分に別表の値を当てはめる

【なぜこうするか】
初項 、公比 、項数20の等比数列の和です。

分母を整理するのがコツです。 なので、 と がきれいに約分されます。

（別表の より 。）よってカ 億円。

【検算その1】厳密に を計算すると 億円。別表の丸めによる差は 程度で妥当 ✓。
【検算その2（オーダー）】毎年100億円が20年で単純合計 億円。現在価値に割り引くと当然それより小さく、 億円は単純合計の ——20年の平均的な割引率としてもっともらしい値です ✓。

【よくあるミス】 の約分を見落として計算が汚くなること。「初項 公比」が になることを先にまとめると、あとは表の値を引くだけになります。

【定石】「毎年一定額 を 年間受け取る現在価値」（年金現価の公式）。 なら （永久年金）。今回は がその にあたります。

〔Ⅱ〕〔4〕　［キ］［ク］数列 の初項と公比

【型】「収益そのものが年々減っていく」場合は、割引と合わせて指数をまとめる

【なぜこうするか】
今回は2段階の割り算が起きます。
① 収益額そのものが 億円（年々減っていく）
② それを現在価値にするためにさらに で割る
指数法則でまとめると

——ここが計算の核心です。あとは初項と公比を読み取ります。

（別表の より 。）よってキ 億円、ク 。

【検算】厳密には 億円。表の を使った との差は ✓。また で、 と公比が であることも確認できます ✓。

【よくあるミス】公比を としてしまうこと。収益の減り方（）だけを見て、現在価値への割引（）を足し忘れるのが典型です。「収益の式」と「割引」は別物——必ず両方を掛けてから指数をまとめましょう。

【定石】指数の足し算 を使って「1つの指数」にまとめてから初項・公比を読む。文章題では条件が分かれて書かれているので、式に翻訳してから合体させるのが手順です。

〔Ⅱ〕〔4〕　［ケ］10年間の現在価値の合計

【型】公比の 乗も別表で引く——

【なぜこうするか】
初項 、公比 、項数10の等比数列の和です。

ここで と指数をまとめるのが急所です。 を手計算する必要はなく、別表の を引けば 。

よってケ 億円。

【検算その1】厳密に を計算すると 億円。別表の丸めによる差は ✓。
【検算その2】 はちょうど割り切れます（）。きれいに割り切れることが、別表の値を正しく引いた証拠になります ✓。

【よくあるミス】 を電卓なしで計算しようとして手が止まること。公比が という形をしていることを思い出せば、 乗は を表で引くだけ。別表に が載っているのは、まさにこの計算のためです。

【定石】与えられた表に「使いどころのない値」は載っていない。 のような一見不自然な行があったら、「どこかで 乗や 乗をするのだ」というヒントだと読みます。表の構成そのものが誘導です。

〔Ⅱ〕〔5〕　［コ］10年ごとに3回建設したときの倍率

【型】「同じものが 年後にもう一度」なら、その分だけさらに割り引く

【なぜこうするか】
1機目の現在価値は［ケ］ 億円。
2機目は10年後に建設されるので、その収益は1機目とまったく同じパターンが10年ずれて発生します。したがって現在価値は をさらに で割った値：

3機目は20年後なので

合計すると

よってコ 。

【検算】 ✓。金額としては 億円。3機分の単純合計 億円より小さく、「後から建つ施設ほど価値が目減りする」という直感と一致します ✓。

【よくあるミス】単純に3倍すること。2機目・3機目は将来の話なので、現在価値に直せば必ず小さくなります。もう一つは、割引率を ではなく と累積を忘れて同じ値を2回使うミスです。

【定石】「同じキャッシュフローが 年ごとに繰り返す」場合の現在価値は、初回分 （）。これも等比数列の和で、無限に繰り返すなら 。設備の更新投資を評価する実務そのままの計算です。

〔Ⅲ〕【記述式】 と置くと分数式が三角関数に化ける

分野：三角関数（2倍角・合成）・分数関数の最大値　難易度：標準　目標時間：25分

〔Ⅲ〕〔1〕　 を で表す

【型】 は三角比の3大公式のひとつ

【なぜこうするか】
定義から導いても1行です。

よって 。

この式の使い道：逆に解けば となり、 のとき 。〔2〕でこれをそのまま使います。分母の がどこから来るのかが、ここで分かるわけです。

【検算】数式処理システムで を簡約すると恒等的に ✓。

【定石】三角比の相互関係3つ——、、。3つ目は1つ目を で割っただけなので、忘れたらその場で作れます。

〔Ⅲ〕〔2〕　 を で表す

【型】2倍角の公式を で書き換える

【なぜこうするか】
〔1〕から 。これを2倍角に代入します。

：

： を使って と作るのが一般的な解答例の道筋です。

（ と作るほうが速く、 の場合分けも不要です。）

【検算】数式処理システムで 、 をそれぞれ簡約すると、いずれも恒等的に ✓。
具体値でも （）のとき ✓、 ✓。

【定石】 と置くと ——大学で「ワイエルシュトラス置換」と呼ばれる有名な変換です。本問はその逆向きの使い方で、分数式を三角関数に持ち込んでいます。この対応を知っていると、 や を見た瞬間に「三角関数に化けるな」と気づけます。

〔Ⅲ〕〔3〕(a)　分数式を で表す

【型】分子を「」「」「」の3つの部品に分解する

【なぜこうするか】
使える部品は次の3つだけです。

そこで分子 を の形に書けないかを考えます。係数を比べると
・ の係数：
・ の係数：
・定数項：
上の2式から 。したがって

両辺を で割って

【検算】右辺に を戻して数式処理システムで簡約すると、左辺との差が恒等的に ✓。
数値でも のとき左辺 、右辺 ✓。

【よくあるミス】分子を の式のまま無理に変形しようとして迷子になること。「使える部品を先に列挙し、係数比較で分解する」という手順を踏めば必ず作れます。定数項の を と見る発想が要です。

【定石】分数式の変形は「分子を分母の定数倍＋残り」に分解する」のが基本。本問のように使いたい形が指定されているときは、その形を並べて未定係数法（係数比較）で分解します。積分でも頻出の手筋です。

〔Ⅲ〕〔3〕(b)　分数式の最大値

【型】 は合成して振幅 。角の変域の確認を忘れない

【なぜこうするか】
を合成します。振幅は なので

したがって分数式は 。

角の変域を確認します（ここを飛ばすと減点されます）。

これは長さ の区間なので、 は から までのすべての値をとります。とくに となる が存在します。よって

したがって最大値は 。

【検算その1】 を から まで800万分割して分数式を計算すると、最大 （）。理論値 、最大の と一致 ✓。
【検算その2（微分）】 を数式処理システムで解くと 。それぞれの値は と で、合成で出した の両端に一致 ✓。

【よくあるミス】 の変域を確認せずに「 の最大は だから」と結論すること。今回はたまたま全範囲を動けますが、変域が狭ければ に届かないことがあります。合成したら必ず角の範囲を書き換える——これは例外なく必要な手順です。

【定石】。分数関数の最大最小を微分ではなく三角関数の合成で処理する——これが本問の設計です。「2次式 」の形を見たら と反射的に置けるようにしておきましょう。

〔Ⅲ〕〔4〕　最大値をとるときの

【型】「最大値 その値」という方程式を立てて解く——重解になるのが最大値の証拠

【なぜこうするか】
最大となるのは のとき、すなわち のとき。ここに〔2〕の結果を代入します。

分母を払って

重解になったことが「そこが最大値である」ことの裏づけです。もし より大きい値を代入していたら実数解が存在せず（判別式が負）、小さい値なら異なる2解が出ます。ちょうど最大値のときだけ重解になる——これは「分数式 が実数解をもつ の範囲」を判別式で調べる別解とも繋がっています。

【検算その1】 を直接代入すると ✓ 確かに最大値 。
【検算その2】微分で求めた停留点 のうち、 が最大（値 ）、 が最小（値 ）✓。

【よくあるミス】 から を求めて、 を逆算しようとすること。 が という「きれいでない角」なので計算が煩雑になります。 の方程式に戻して解くのが圧倒的に速い。

【定石】（2次式）÷（2次式）の形の分数式の値域は「 とおいて分母を払い、判別式 」でも求まる。本問なら の判別式から が出て、合成で得た結論と完全に一致します。2ルートを持っておくと、片方が検算になります。