藤原進之介です。このページでは埼玉大学2001年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 4 、|OB| = 9 、挟角 120° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が 120° の鈍角なので、影は OA と逆向きに伸びます。だから内積は負になります。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 120° = 12 × 4 × 9 × √32 = 9√3 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 120° = 4 × 9 × −12 = −18 。
答え： 面積 = 9√3 、 OA · OB = −18
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 120° = 鈍角なので内積は負で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 36 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。また sin 120° = sin 60° なので、面積は挟角 60° のときと同じ値になります。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
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埼玉大学の数学の過去問は24年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
埼玉大学 2001年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 空間図形
- 整数
- 方程式・不等式
- ベクトル
- 数列
この年度の出題範囲と傾向
2001年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、空間図形、整数に関する語句や設問を確認できました。埼玉大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は24年度、関数・グラフは24年度、図形・三角関数は23年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、整数
た図形の面積を とする。ただし, <おとする。S ニーに(8一g)*である
ことを示せ。
(2) C上の点アを通り.アでの接線と直交する直線を m EFS. PAA
のC上の点を動くとき, CE m で囲まれた図形の面横の最小値を求めよ。
円に内接する四角形 ABCD で, 四辺の長きが
AB=1, BC=V2, CD=V3, DA=2
であるとする。
A) 対角線 のの長さを求めよ。
(2) 対角線4Cの長さを求めよ。
10 個の内容から正しいものを3 個選ぶ問題を出題することになった。 正しい
回答には 1 個につき 5 点を与え, 問違った回答には 1 個につき ヵ 点を減点する
ものとする。ただし, ヵ は正の整数とする。 回答者がでたらめに 3 個の答えを選
んで回答するとき, 得点の期待値が負にならないようにヵを設定したい。 ヵ ER
めよ。
問2画像OCR
検出分野: 微分・積分、関数・グラフ、図形・三角関数、空間図形、方程式・不等式
(2) a, および65。 を求めよ。
(3) Jim a, および lim 5。 を求めよ。
空間ベクトル a,b. e は条件
ja|=|b|=|e)=1, すす=すまで=でで=0
をみたすものとする。 空間内に原点 O をとり, 定点 A, N および, Rt (0 <t < 20)
を変数とする動京P を
04 =a, ON =-さ+ で, OF = (cost)a + (sint)d
によって定める。 次の問いに答えよ。
(1) JAN), IAP| および AN-AP を求めよ。
(2) AANP の面積 & ¢ を用いて表せ。
(3) S の最大値を求めよ。 また, そのときの OP を a,b を用いて表せ。
回 1
右図のように, 2つの放物線 リッ=ーz2 +1, Ne
y=az? (a>0) が2点PQで交わり, 点Pに EB
ZZ
おける接線が互いに直交しているものとする。 LA
Kh, 点 P、Q におけるリーーg2 +1 ORO グイ に
交点を R とする。 次の問いに答えよ。 o Na
(1) a の値および交点 P の座標を求めよ。 ペ
(2) 放物線タニーz2二1 OAP P における接線 9 *
の方程式を求めよ。
(3) 穫線で示す図形 PQR を y 軸のまわりに 1回転してできる回転体の体積を求めよ。
2 以上の自然数 に対し, 関数 fale) を
な5) =ユーターの
と定義する。 次の問いに等えよ。
(1) Sula) の最大値とそのときの > を求めよ。
(2) 方程式 た(z) = 0 の解で正のものはただ 1 つであるこ とを示せ。
(8) 2) OME an とする。 Hm on =1 を示せ。
(4) mm / た(@) を求めよ。
ae,