滋賀大学 2010年度 過去問・解答

滋賀大学2010年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[I] さいころの目と逆数の不等式

さいころを投げて出た目を a, b, c とします。

(1) 1/a + 1/b ≧ 1 となる確率

a, b は 1〜6 の整数。1/a + 1/b ≧ 1 を満たす組を数えます。

a = 1 のとき：1/a = 1 なので、1/b > 0 より必ず成立。b は 1〜6 の 6通り。
a = 2 のとき：1/2 + 1/b ≧ 1 ⇔ 1/b ≧ 1/2 ⇔ b ≦ 2。b = 1, 2 の 2通り。
a ≧ 3 のとき：1/a ≦ 1/3 なので 1/a + 1/b ≦ 1/3 + 1/3 = 2/3 < 1（b ≧ 3 のとき）。b ≦ 2 なら a と b を入れ替えた場合として既に数えています。

整理すると、順序を区別した (a, b) の組は

(1,1), (2,2) が各1通り、(1,2)〜(1,6) とその入れ替えが 5 × 2 = 10通り

合計 2 + 10 = 12通り。全体は 6² = 36 通りなので

(2) 1/a + 1/b ≧ 1/c となる確率

c の値で場合分けします。

[1] c = 1 のとき

条件は 1/a + 1/b ≧ 1 で、(1) そのもの。確率は 1/3。

[2] c = 2 のとき

条件は 1/a + 1/b ≧ 1/2。a ≦ b として満たす組を数えます。

(1,1)〜(1,6)：a = 1 なら必ず成立　→ 6組
(2,2)〜(2,6)：1/2 + 1/b ≧ 1/2 は必ず成立　→ 5組
(3,3)〜(3,6)：1/3 + 1/b ≧ 1/2 ⇔ 1/b ≧ 1/6 ⇔ b ≦ 6　→ 4組
(4,4)：1/4 + 1/4 = 1/2 で成立。(4,5) は 1/4 + 1/5 = 9/20 < 1/2 で不成立　→ 1組

計 16組。このうち (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) の4組は入れ替えても同じなので1通りずつ、残り12組は入れ替えを含めて2通りずつ。

4 + 12 × 2 = 28通り。確率は 28/36 = 7/9。

[3] c ≧ 3 のとき

a, b は最大でも6なので、左辺の最小値は

1/a + 1/b ≧ 1/6 + 1/6 = 1/3

一方、c ≧ 3 より右辺は 1/c ≦ 1/3。したがって

1/a + 1/b ≧ 1/3 ≧ 1/c　（つねに成立）

確率は 1。

合計する

c = 1, 2 はそれぞれ確率 1/6、c ≧ 3（3, 4, 5, 6 の4通り）は確率 4/6 = 2/3 なので

(1/6)(1/3) + (1/6)(7/9) + (2/3)(1) = 1/18 + 7/54 + 2/3

分母を54にそろえて (3 + 7 + 36)/54 = 46/54

検算：1〜6 の目3つ (a, b, c) 全216通りのうち条件を満たすのは184通り。184/216 = 23/27 ✓

この年の学習ポイント

(2) の [3] が最も重要です。「左辺の最小値」と「右辺の最大値」を比べることで、c ≧ 3 のケースを一括して「つねに成立」と片づけました。

もしこれに気づかず c = 3, 4, 5, 6 を個別に数えていたら、作業量が4倍になり、しかも数え間違いのリスクが跳ね上がります。

場合分けを始める前に「まとめて処理できる範囲はないか」を探す — これが確率の数え上げを速く正確にするコツです。不等式の両辺の最大・最小を押さえるだけで、多くの場合が一気に決着します。

滋賀大学2010年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。