高１数学：数と式｜１０（無料問題PDF）

解答

まず ( 3x + y )( 3x − y ) = 9x² − y²。
次に ( 9x² − y² )( 9x² + y² ) = 81x⁴ − y⁴。
さらに ( 81x⁴ − y⁴ )( 81x⁴ + y⁴ ) = 6561x⁸ − y⁸。
6561x⁸ − y⁸
検算：2乗の差が3回続きます。x = y = 1 で、もとの式は 4 × 2 × 10 × 82 = 6560、答えも 6561 − 1 = 6560 で一致。
2乗の差は連鎖する。次に掛ける相手が用意されている形になっている。

解答

( x + 1 ) の相方は x² − x + 1、( x − 4 ) の相方は x² + 4x + 16。どちらも中央項が公式と合っています。
( x + 1 )( x² − x + 1 ) = x³ + 1。
( x − 4 )( x² + 4x + 16 ) = x³ − 64。
( x³ + 1 )( x³ − 64 ) = x⁶ − 63x³ − 64。
x⁶ − 63x³ − 64
検算：隣どうしで組むのではなく、1番目と3番目、2番目と4番目を組みます。x = 1 で、もとの式は 2 × (−3) × 1 × 21 = −126、答えも 1 − 63 − 64 = −126 で一致。
相方は隣にあるとはかぎらない。1次式の符号と2次式の中央項で見分ける。

解答

定数を足して同じ数になる組を探すと、1 + 7 = 8、3 + 5 = 8。
( x + 1 )( x + 7 ) = x² + 8x + 7、( x + 3 )( x + 5 ) = x² + 8x + 15。
x² + 8x = t とおくと ( t + 7 )( t + 15 ) = t² + 22t + 105。
t を戻して ( x² + 8x )² + 22( x² + 8x ) + 105。
x⁴ + 16x³ + 86x² + 176x + 105
検算：x² の項は 64 + 22 = 86。x = 1 で、もとの式は 2 × 4 × 6 × 8 = 384、答えも 1 + 16 + 86 + 176 + 105 = 384 で一致。
足して同じ数になるペアを組むと、共通の x² + 8x が現れる。