立方公式と多項定理を使い分ける｜高2数学式と証明11の無料PDFと練習3問

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高２数学式と証明（基本） 11（PDF）

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高2｜式と証明解き方がわからないときは式と証明｜二項定理・恒等式・定義域と等号条件の追試を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

(x + 2y)(x² − 2xy + 4y²) を展開しなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「式と証明（基本）」の無料問題プリント（式と証明（基本）11）です。このプリントは、立方の和・差の公式による展開と因数分解、そして3項の展開の係数を扱う回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の式で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学式と証明（基本） 11

立方公式と多項定理を使い分けるで何ができるようになるか

式を見て、どの道具を使うかを決めるところがこの回の中心です。1次式と2次式の積なら立方の公式、4項で係数が 1, 3, 3, 1 なら3乗の形、3項の累乗なら多項定理。道具を選ぶ基準を持っておくと、手が止まらなくなります。

解き方の手順

11次式 × 2次式なら、2次式の中央項が公式と合うかを確かめます。

24項の式は、両端が3乗になっているかを見ます。係数が 1, 3, 3, 1 の並びなら (a ± b)³ です。

33項の累乗は多項定理。何個ずつ選ぶかを決めて n! ÷ (p! q! r!) を作ります。

4定数や係数は、選んだ個数だけ累乗して掛けます。

つまずくのはここ

つまずき1｜中央項の係数を確かめずに公式を使う

(x + 4y)(x² − 4xy + 16y²) は公式が使えますが、中央項が −2xy などになっていたら使えません。

つまずき2｜3乗の因数分解で符号を逆にする

x³ − 6x² + 12x − 8 は (x − 2)³ です。符号が交互に並んでいるかを確かめます。

つまずき3｜多項定理で残りの個数を数え忘れる

(a+b+c)⁸ で a を 4 個、b を 2 個選んだら、c は 2 個です。合計が 8 になるか確かめます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、式を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは式が異なります。

練習1

(x + 2y)(x² − 2xy + 4y²) を展開しなさい。

解答・解説を見る

解答

a = x、b = 2y とすると 4y² = b²、2xy = ab。
(a + b)(a² − ab + b²) の形なので立方の和です。
x³ + 8y³
検算：x = y = 1 で左辺 3 × 3 = 9、右辺 1 + 8 = 9。
b = 2y のとき b² = 4y²、b³ = 8y³。

練習2

x³ − 12x² + 48x − 64 を因数分解しなさい。

解答・解説を見る

解答

両端は x³ と 4³。符号が交互なので (x − 4)³ を疑います。
展開すると x³ − 12x² + 48x − 64 で一致します。
(x − 4)³
検算：x = 5 で左辺 125 − 300 + 240 − 64 = 1、右辺 1³ = 1。
両端の3乗と、交互の符号を確かめる。