高3｜複素数平面解き方がわからないときは 複素数平面｜極形式・回転・軌跡と条件の見分け方 を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは数学III・C「複素数平面」の無料問題プリント（複素数平面）です。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
複素数平面で何ができるようになるか
複素数を平面上の点として見ることで、回転・拡大・軌跡が計算で扱えるようになります。極形式とド・モアブルの定理が中心です。
解き方の手順
1まず絶対値 |z| を出す（実部と虚部の2乗和の平方根）。
2点がどの象限にあるかを確認してから偏角を決める。
3極形式 r(cos θ + i sin θ) に直す。
4累乗はド・モアブル、回転は絶対値1の複素数を掛ける。
つまずくのはここ
つまずき1｜偏角を tan の値だけで決める
tan が同じ値になる点は180°離れて2つあります。どの象限にあるかを確認してから偏角を決めます。
つまずき2｜回転の中心が原点でない場合を同じに扱う
点 α のまわりに回すときは、平行移動 → 回転 → 戻すの3段階です。いきなり掛けると答えがずれます。
つまずき3｜絶対値と偏角の役割を混ぜる
累乗では絶対値は累乗、偏角は整数倍。掛け算では絶対値は積、偏角は和。ここを整理しておくと計算が速くなります。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
複素数 z = −2 − 2i を極形式で表しなさい（偏角 θ は −π < θ ≦ π）。
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解答
絶対値は |z| = √((−2)2 + (−2)2) = √8 = 2√2
点 (−2, −2) は第3象限にあり、実部と虚部の絶対値が等しいので偏角は −3π/4。
z = 2√2(cos(−3π/4) + i sin(−3π/4))偏角は象限を確認してから決める。tan の値だけで決めると、180° ずれた点と区別がつかない。
練習2
(cos(π/8) + i sin(π/8))16 の値を求めなさい。
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解答
ド・モアブルの定理より、絶対値は累乗、偏角は整数倍になる。
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθθ = π/8、n = 16 なので偏角は 16 × π/8 = 2π。
cos 2π = 1、sin 2π = 0 だから
値は 1
検算：偏角 π/8 を 16 回足すと 2π、つまり一周して元に戻る。絶対値は1のままなので値は1。
2π の整数倍は 1 に戻る。ここに気づけば計算せずに答えが出る。
練習3
複素数平面上で、点 z を原点のまわりに 120° 回転した点を表す複素数を、z を用いて表しなさい。
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解答
原点のまわりの回転は、絶対値1の複素数を掛けることで表せる。
120° = 2/3π ラジアンなので、掛けるのは
cos 2/3π + i sin 2/3πよって求める点は (cos 2/3π + i sin 2/3π)z
点 α のまわりに回転するときは、いったん原点に平行移動してから回して戻す：w = (cos θ + i sin θ)(z − α) + α。
この「平行移動 → 回転 → 戻す」の3段階が、複素数平面の図形問題の骨格になる。
複素数平面の他のプリント
同じ「複素数平面」の無料プリントは全部で 5 本あります。近い番号のものを並べました。
解き終わったら
- 数学IIIの要点辞典——複素数平面を含む数III全範囲。
- |z+4/z|の最小値はなぜ0なのか——複素数平面の入試問題を深掘りする。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
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