展開・約分してから積分する｜高3 数学Ⅲの積分1

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今日の一問

∫ (2x + 3)² / x² dx を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「数学Ⅲの積分」の無料問題プリント（数学Ⅲの積分1）です。このプリントは、そのままでは公式に当てはまらない式を、展開や約分で積分できる形に直してから計算する回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高３数学数学Ⅲの積分 1

展開・約分してから積分するで何ができるようになるか

積分の公式は限られています。だからまず式を、公式が使える形に書き直すのが最初の仕事です。分数なら分子を展開して項ごとに分ける、三角関数なら恒等式で置きかえる。「積分できないのではなく、まだ形が整っていない」と考えると手が動きます。

解き方の手順

1分子を展開し、分母で項ごとに割ります。xⁿ の形にそろえるのが目標です。

21/x の項が出たら log|x|、xⁿ（n ≠ −1）なら xⁿ⁺¹/(n+1) です。

3三角関数は sin² + cos² = 1 などで書き直し、1/cos²x や 1/sin²x の形を作ります。

4積分したら微分して、元の式に戻るか確かめます。

つまずくのはここ

つまずき1｜分数のまま公式を探す

(2x + 3)²/x² は展開すれば 4 + 12/x + 9/x²。3つの簡単な積分に分かれます。

つまずき2｜1/x の積分を x⁰/0 としてしまう

n = −1 のときだけ公式が使えず、log|x| になります。

つまずき3｜絶対値を付けない

∫dx/x = log|x| + C。真数は正でなければならないので絶対値が要ります。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。

練習1

∫ (2x + 3)² / x² dx を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

分子を展開すると 4x² + 12x + 9。
x² で割ると 4 + 12/x + 9/x²。
項ごとに積分します。
4x + 12log|x| − 9/x + C
検算：微分すると 4 + 12/x − 9×(−1)/x² = 4 + 12/x + 9/x²。戻ります。
分子を展開して、項ごとに分ける。

練習2

∫ (x − 1)² / x dx を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

分子は x² − 2x + 1。x で割ると x − 2 + 1/x。
x²/2 − 2x + log|x| + C
検算：微分すると x − 2 + 1/x。元の形に戻ります。
1/x の項だけ log になる。

練習3

∫ (sin²x + cos²x) / (sin²x cos²x) dx を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

分子は 1 ですが、あえて sin²x + cos²x のまま分けます。
sin²x/(sin²x cos²x) = 1/cos²x、cos²x/(sin²x cos²x) = 1/sin²x。
tan x − 1/tan x + C
検算：微分すると 1/cos²x + 1/sin²x で、通分すると (sin²+cos²)/(sin²cos²) に戻ります。
分子の 1 を sin² + cos² に戻すと分けられる。