高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分4（無料問題PDF）

このページは高校2年「数学Ⅲの積分」の無料問題プリント（数学Ⅲの積分4）です。このプリントは、分数式を部分分数に分けてから積分する回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高３数学 数学Ⅲの積分 4

部分分数に分けて積分するで何ができるようになるか

分母が積の形なら、分数をいくつかの簡単な分数の和に分けられます。1/(x(x+1)) = 1/x − 1/(x+1) のように分けてしまえば、あとは log の和です。分けるときの係数は、恒等式として係数を比べるか、分母が 0 になる値を代入すれば決まります。

解き方の手順

つまずくのはここ

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。

解答・解説を見る

解答

分子を x + 2 = (x + 1) + 1 と書き直します。
(x + 1)/(x+1)² + 1/(x+1)² = 1/(x+1) + 1/(x+1)²。
log|x + 1| − 1/(x + 1) + C
検算：微分すると 1/(x+1) + 1/(x+1)²。通分すると (x+2)/(x+1)² に戻ります。
分子を「分母 + 定数」に書き直すのが速い。

解答・解説を見る

解答

1/{x(x+1)} = 1/x − 1/(x+1)。
（分母の差が 1 なので、そのまま差の形になります。）
log|x| − log|x + 1| + C
検算：微分すると 1/x − 1/(x+1) = 1/{x(x+1)}。戻ります。
分母の差が 1 なら、そのまま引き算に分けられる。

解答・解説を見る

解答

2x + 1 = a(x + 2) + b(x − 1) と置きます。
x = 1 を代入すると 3 = 3a より a = 1。
x = −2 を代入すると −3 = −3b より b = 1。
log|x − 1| + log|x + 2| + C
検算：微分すると 1/(x−1) + 1/(x+2)。通分すると (2x+1)/{(x−1)(x+2)} に戻ります。
分母が 0 になる値を代入すると、係数が1つずつ決まる。

数学Ⅲの積分の他のプリント

同じ「数学Ⅲの積分」の無料プリントは全部で 10 枚あり、前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。

• 数学Ⅲの積分1｜展開・約分してから積分する
• 数学Ⅲの積分2｜分子の次数を下げて積分する
• 数学Ⅲの積分6｜分母を有理化してから積分する
• 数学Ⅲの積分7｜根号を置きかえて積分する
• 数学Ⅲの積分8｜かたまりを置きかえて積分する
• 数学Ⅲの積分9｜1次式が入った関数の積分
• 数学Ⅲの積分10｜1次式が入った指数・根号の積分

解き終わったら

• 積分（基本）の特訓道場——30題で計算を固める。

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