高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分8（無料問題PDF）

解答

t = 2x + 3 と置くと x = (t − 3)/2、dx = dt/2。
被積分関数は {(t − 3)/2}·t⁴·(1/2) = (t⁵ − 3t⁴)/4。
積分して t⁶/24 − 3t⁵/20。
(2x + 3)⁶/24 − 3(2x + 3)⁵/20 + C
検算：微分すると (2x+3)⁵/2 − 3(2x+3)⁴/2 = (2x+3)⁴{(2x+3) − 3}/2 = x(2x+3)⁴。戻ります。
dx = dt/2 の 1/2 を落とさない。

解答

u = x² − 1 と置くと x² = u + 1、x dx = du/2。
x³(x²−1)⁴dx = x²·u⁴·x dx = (u + 1)u⁴·du/2。
= (u⁵ + u⁴)/2 を積分して u⁶/12 + u⁵/10。
(x² − 1)⁶/12 + (x² − 1)⁵/10 + C
検算：x = 2 で微分の値を計算すると 8×81 = 648。被積分関数も 8×81 = 648。一致します。
x dx = du/2 の形を見つけると一気に片づく。

解答

u = x² + 1 と置くと x² = u − 1、x dx = du/2。
2x³/(x²+1)² dx = 2x²/u²·x dx = 2(u − 1)/u²·du/2 = (1/u − 1/u²)du。
log(x² + 1) + 1/(x² + 1) + C
検算：微分すると 2x/(x²+1) − 2x/(x²+1)² = 2x{(x²+1) − 1}/(x²+1)² = 2x³/(x²+1)²。
分母が2乗でも、置きかえれば 1/u と 1/u² に分かれる。