獨協医科大学 2023年度 数学

(1)2個 目の玉 を取 り出 した ところで操作が終了 となる確率 は であ る。
イ

ウ
3個 目の玉 を取 り出 した ところで操作が終了 となる確 率 は であ る。
エ オ

カ
(2)4個 目の王 を取 り出 し,か つ そ の玉 が 3個 目の赤 玉 で あ る確 率 は で
キ ク

ある。

(3)4個 目の玉 を取 り出 し操作 が終了 となった とき,自 玉が袋 か ら連続 して取 り出 さ
ケ コ
れて い る条件付 き確率 は である。
サ シ

(下 書 き 用 紙)

数学 の試験 問題 は次 に続 く。

2+ノ 2=任 >0)を
2 4,2

)十 ナ =1(α >わ >0)は 円χ
つこ
^ ́

χァ平面 上の楕 円 θ

海子

χ軸をもとにして ノ軸方向にニ ー倍 したものである。Cの 2つ の焦点のうち,χ 座標が
テ

負 で ある もの を Fl,正 で ある もの を F2と す る。 また θ と ッ軸 との 2つ の交点 の うち ,

y座 標が負 であ る もの を Aと す る と き,FlA=2/5が 成 り立 っている。
ヽ
この とき,γ = ア イ であ り,Flの 座標は ウ 0 で
ヽ ノ
̀
ある。

(1)直 線 FlAに 平行 な楕 円 θの接線 の うち,y切 片が正 で ある もの を ιとす る と,0
の方程式 は ノ=一 エ χ 十 オ 力 である。

また,Pを 楕 円 ε上の点 とす る と き,三 角形 FlAPの 面積 の最大値 は

□ √匝コ (
ケ +1
)

で あ り, この と き点 Pの χ座 標 は コ である。

(2)Qを 楕円 θ上の第 1象 限の点 とする。三角形 QFlF2の 内心を Iと し,点 Q,点 I
の ァ座標をそれぞれ ノQ,yIと するとき

ツQ== サ yI

が成 り立 つ 。

また,点 (0,夕 Q)を 焦点,直 線 夕=yIを 準線 とする放物線が点 Qを 通るとき

ン ス

νQ==
セ

である。

(下 書 き 用 紙)

数学 の試験 問題 は次 に続 く。

う0
空間内に平行四辺形 ABCDを 底面 とす る四角錐 0‐ABCDが あ り,平 行四辺形

ABCDは AC=/石 T,BD=γ /21 を 満 た してい る。 また,線 分 ACと 線分 BDの 交点
を Hと す ると,直 線 OHは 平面 ABCに 垂直で

砿・
面=― ÷雨・
雨=け ,砿 ・
面=誓
が成 り立 ってい る。 この と き

OA= ア イ , OB= ウ
□ 面 ・面 =□
である。

(1)AB= キ , BC= ク である。

また,平 行 四辺形 ABCDの 面積 を Sと す る と,S= ケコ サ である。

(2)線 分 OAの 中点をP,線 分 OBを 3:1に 内分する点を Q,線 分 ODを 1:3に
内分する点を Rと し,平 面 PQRと 直線 OCの 交点をTと する。OTを OCを 用い
ン

て表す と OT OCで ある。線分 PTと 線分 QRの 交点をUと するとき,

ス セ

OUを OA,OCを 用 いて表す と
ソ
OU (OA+OC)
タチ

である。

また, UO・ UD =ω l, OH・ OA=ω 2と する とき

ι1
(ノ
ツテ ト

Zι
'2
ナ

である。

(下 書 き 用 紙)

数学 の試験 問題 は次に続 く。

Иπ %を 正の整数とする。関数ん (χ )を
ス (χ )=cos χ ,

ん+1(χ )=光 3 cosχ (sinχ ̲sin′ )光 )ご ′ =1,2,3,・ ......
′̲■

(ι (π )

で定 め る。

(1)数 列 lα │を
│,lι ′′
′′
r

=光 °
ん ′二

ι
α
ご
o
ノ b′′ (Sin′ )ん (′ )ご

によって定義す る と

ア ウ
α l== ,bl
イ 工

オ キ
α′′.1 α′′ ― b′′

カ ク

ケ サ
b′′ α′′ b′
ン
ヽ
コ

である。 よって

ス
α′′+2 α′′

セ ツ

が成 り立 つ 。

(2)η が奇数の とき

タ
ん (χ )= COS χ
( チ ツ

であ り,"が 偶数 の と き

匝∃ ナ ヌ

ん (χ )= sin2x COS χ
( チ ツ ) 不 )

で ある。

ただ し , 7 にはそれぞれ最も適切なものを次の◎から2のうち
か ら選 べ 。

◎ η ‐2 η ‐1
2 4 3 η +1
π 2‐1 %+1
4 ―

5 2
3÷ 乙
2 2

(1)点 Pが χ回 目に頂点 Cに 到達す る時刻 は
ア イ χ ― ウエ (秒 )

である。また,点 Qが y回 目に頂点 Cに 到達する時刻は

オカ y一 キ (秒 )

である。

(2)あ る時刻で点 Pと 点 Qが 頂点 C上 でちょうど互いにすれ違っているとする。2点
P,Qが 動 きはじめてからその時刻に頂点 Cへ 到達するのは,そ れぞれちょうど
α回日,b回 目であった。 このとき

ク α ― ケ b=1
が成立す る。

(3)点 P,Qが 1回 目に頂点 Cで 互いにすれ違 うのは時刻 コサ 秒 で あ り,6回 目
に頂点 Cで 互 い にすれ違 うのは時刻 シ ス セ 秒 で ある。

また,点 P,Qは 1回 目に頂点 Cで 互いにすれ違ってから,そ れぞれ長方形 ABCD
を ソ 周 , タ 周するたびに頂点 Cで 互いにすれ違 う。

□ │は ,す べ ての正 の整 数 ηに つ い て
正 の 数 か らなる数列 lα ′′
・α′′
10g2(α l・ α2・ α3... ...・ )= 2η 3+49+log2α ′′ 2

を満 た して い る。

log102=0.3010,log103=0.4771と す る。

+1を b′′ を用 い て表す と
(1)b′′ =10g2α ′′とお くと き,わ ′′
2+
b′ +1= ア b′′ 十 イ π ウ η + 工 1

である。
2+β η+γ (α
/(η )=α η ,β ,γ は定数)と する。

ノ(η +1)= ア /(η )+ イ η
2+ ウ η + 工 ・
・・
・・
・C

が ηについ ての恒等式 となるよ うな α,β ,γ の値 を求める と

α =― オ ,β =― カキ クケ

である。
│の 一般項
1 ― 2 より,数 列 lb′′ ―ノ(η )│は 等比数列 になる。よって,数 列 │ろ ′′
島は
′θ ′′ ― ̲ 2̲
コ サ □
オ π カキ η ― クケ

となる。

(2)b′ が最小 となる %の 値 は
/
′′ ス セ
ヽただ し ス セ

であ る。

また,α ′′の最小値 は 2 で あ り,2 ソ タチ ツ を小 数 で 表 した と き,小 数 第

テ ト 位 に初 め て 0で な い 数 ナ が現 れ る。

(下 書 き 用 紙)
数学 の 試験 問題 は 次 に続 く。

ク ̲ τ

′を虚数単位 とす る。複 素数 zに 対 して とお く。
□ "=元 I北ァ

(1)複 素数平面 にお いて,ω が実数 となる点 zの 描 く図形 は,中 心が
イ 工

占 ア + ,半 径
′ の 円 で あ る。 この 円 を θlと す る。
ウ オ

(2)複 素数平面において,lω +11=2を 満たすような点 zの 描 く図形は,中 心が
カ ク
占 J,半 径 コ の 円である。 この 円を ε2と する。
キ ケ

(3)点 zが (2)の c全 体 を動 くとき,複 素数 αに対 して,点 z+α が描 く図形をθ3と
する。(1)の Qと θ3が 共有点をもたないのは,点 αが
サ シ ソ
占 + セ ′を中心 とす る半径 の 円の 内部, または
ス タ

チ ツ ナ
」P
占 + Jを 中心 とす る半径 の 円の外部
ア ヌ

にあるときである。

(下 書 き 用 紙)

数学 の 試験 問題 は次 に続 く。

′4
0を 原点 とす る座標空間内に,底 面 の 円の半径 が 1で 高 さが 1の 円柱
θ :χ 2+ノ 2≦ 1,0≦ z≦ 1

がある。η 平面上の直線 y=― (z=0)を 含 み,点 (0,1,1)を 通る平面を αと
す
す る。平面 αで 円柱 θを 2つ の立体 に分けるとき,点 (0,1,0)を 含 む方の立体 を K
とす る。また,円 柱 θの側面 と平面 αとの交線 (円 柱 θの側面 と平面 αとの共通部分)

を Lと す る。
2+ノ 2=1(z=0)上 の点
曲線 L上 に点 Pを とる。円 χ Qを 線分 PQが χァ平面 に
垂直 となるような点 とす る。ただ し,点 Pが χノ平面上にあ るときは,点 Qは 点 Pと

同 じ点である とす る。点 Pの 夕座標が ′であるとき,線 分 PQの 長 さを ′を用 い て

表す と
ア ウ
PQ ι+
イ 工

である。

ヽ
(1)立 体 Kの 平面 夕=ι ̲三 ̲≦ ′≦ 1 による切 断面 の面積 を S(′ )と す る と

( 2 /

/ オ キ
S(′ )= ι+ ケ ― ′
コ

ヽ カ ク

であ り,立 体 Kの 体積 を yと す る と

サ ス
y= + π
ン
ヽ
セ

であ る。

,円 χ =1(2=0)の 夕
し ≧―サの
/0

部分に
おける
ヽ ■
//旦 2+ノ
(2)A 1
ヽ ̀ぅ
。 ' 2 0)と

弧 AQの 長さを θとする。 のとき,線 分 PQの 長さを θを用いて表す と
ソ チ ヽ 7
PQ sln θ π 十
k ト
`
タ ソ ノ
である。

た
しがっ
て,円 柱の側面のう
ち,円 χ
2+ノ =1(z=0)の ≧
ノ ―すの
部分と
んで 囲 まれた部分 の面積 を ′′ とす る と

ナ 不
7= 十 π

ヌ ノ

である。