関西医科大学 2019年度 数学（医 一般(後期)を除く）

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：定積分の計算。原始関数を1つ求めて、上端と下端で引くだけ。ここで差がつくのは計算の正確さではなく、符号と分母の管理です。

1. なぜその一手を選ぶのか

被積分関数は 3x² − 10x 。項ごとに独立に積分できます（線形性）。xⁿ の原始関数は xⁿ⁺¹n+1 。

途中で数値を代入しないのがコツです。原始関数を最後まで文字のまま書き、代入は一度だけ。項ごとに代入して引き算を2回やると、符号ミスの機会が倍になります。

2. 解答

1. 原始関数：3x³3 − 10x²2 。
2. 上端 x = 3 を代入：27 − 45 。
3. 下端 x = 0 を代入：0 − 0 。
4. 差を取って −18 。

答え： −18

3. 検算

符号の見当をつける：被積分関数 3x² − 10x は x = 103 あたりで符号が変わります。区間 [0, 3] の大部分で負なら積分値も負になるはずで、答え −18.000 と整合します。定積分は面積の符号つきの和——値を出す前に符号だけ予想しておくと、計算ミスにすぐ気づけます。

この型の一般化：定積分で差がつくのは、原始関数を求める前に「そのまま計算するか、工夫するか」を決めるところです。区間が原点対称なら偶関数・奇関数の性質で半分または 0 になり、被積分関数が (x−α)(x−β) の形なら 6 分の 1 公式が使えます。展開して積分するのは、それらが使えないと確かめた後。第15章 微積分で型を整理しています。