中２数学｜一次関数(難問) 速さ18（無料問題・解説つき）

中2数学「一次関数（難問）」18の全4問を、問題文つきで解説します。お茶の水女子大学附属の高校入試で実際に出た、3本の電車がすれ違う問題です。速さの単位を「km/分」にそろえるだけで、驚くほど式が軽くなります。問題PDF

お知らせ　この回には解答PDFが用意されていません。このページの解答は、求めた時刻で3本の電車の位置を計算し直し、すべて一致することを確かめたうえで掲載しています。

この回の型：速さを「km/分」に直すと、位置が1次式で書ける

型時刻を 6時00分からの経過分 t でそろえ、各電車のP 駅からの距離を t の式で書く。
すれ違い・追い越しは 位置が等しい、それだけです。

なぜこうするかこの問題は 20 km を 60 km/h で走るので、ちょうど 1 km/分。時速のまま扱うと分数だらけになりますが、km/分に直すと A の位置がただの t になります。
問題の数値が「20 km」「6時12分に出会う」ときれいなのは、km/分で扱うことを想定して作られているからです。単位をそろえた瞬間に難易度が下がる——これがこの問題の設計です。

問題文

(1) A・B の速さと、A の到着時刻

6時12分に出会うまでに、A は12分、B は8分走っています（B は6時4分発）。
2本合わせて 20 km 進んだので、速さを v km/h とすると
　v × (12/60) + v × (8/60) ＝ 20　→　v × (20/60) ＝ 20　→　v ＝ 60
よって 時速60 km（＝ 1 km/分）。
A が 20 km 走るのは 20分なので、Q 駅到着は 6時20分。

検証6時12分に A は 12 km、B は Q から 8 km（＝ P から 12 km）。同じ地点なので、たしかに出会います ○

(2) 特急 C が P 駅を出発した時刻

手順1：位置を式にする。　6時00分からの経過分を t、P 駅からの距離を km とすると
　A：t（0 ≦ t ≦ 20）
　B：Q(20 km) から 1 km/分 で戻るので　20 − (t − 4) ＝ 24 − t（t ≧ 4）
　C：出発を c 分、速さは2倍の 2 km/分 なので　2(t − c)

手順2：追い越しと出会いの時刻を c で表す。
　A を追い越す：2(t − c) ＝ t　→　t₁ ＝ 2c
　B と出会う：2(t − c) ＝ 24 − t　→　3t ＝ 24 + 2c　→　t₂ ＝ (2c + 24)/3

手順3：4分差の条件を使う。
　t₂ − t₁ ＝ 4　→　(2c + 24)/3 − 2c ＝ 4
両辺3倍して　2c + 24 − 6c ＝ 12　→　−4c ＝ −12　→　c ＝ 3
よって特急 C は 6時3分に P 駅を出発しました。

検証t₁ ＝ 6分（6時6分）：C は 2(6−3) ＝ 6 km、A も 6 km ○
t₂ ＝ 10分（6時10分）：C は 2(10−3) ＝ 14 km、B は 24−10 ＝ 14 km ○
差はちょうど 4分 ○　また C が Q 駅（20 km）に着くのは 2(t−3) ＝ 20 より 13分（6時13分）です。

よくあるミス　①B の位置の式を間違える。B は Q（20 km 地点）から P へ戻ってくるので距離は減ります。しかも4分遅れなので経過時間は t − 4。合わせて 20 − (t − 4) ＝ 24 − t。
②「追い越す」と「出会う」を同じ式にする。どちらも「位置が等しい」ですが、相手が A か B かで式が変わります。
③C の速さを「2倍の時間」と取り違える。速さが2倍なので 2 km/分です。

(3) 2分遅れで出発した日

手順1：この日の C の速さを出す。　通常の出発は6時3分、この日は2分遅れで 6時5分。
到着は通常どおり 6時13分 なので、8分で 20 km。
　速さ ＝ 20 ÷ 8 ＝ 2.5 km/分（＝ 時速150 km）
　C の位置：2.5(t − 5)

手順2：A を追い越す時刻。
　2.5(t − 5) ＝ t　→　2.5t − 12.5 ＝ t　→　1.5t ＝ 12.5　→　t ＝ 25/3（約8.33分）

手順3：B と出会う時刻。
　2.5(t − 5) ＝ 24 − t　→　2.5t − 12.5 ＝ 24 − t　→　3.5t ＝ 36.5　→　t ＝ 73/7（約10.43分）

手順4：差を出す。
　73/7 − 25/3 ＝ (219 − 175)/21 ＝ 44/21 分（＝ 2と2/21 分、約2.1分）

検証追い越しの瞬間（t ＝ 25/3）：C は 2.5 × (25/3 − 5) ＝ 25/3 km、A も 25/3 km ○
出会いの瞬間（t ＝ 73/7）：C は 2.5 × (73/7 − 5) ＝ 95/7 km、B は 24 − 73/7 ＝ 95/7 km ○
どちらもぴったり一致しました。

なぜこうするか通常は4分だった間隔が、速度を上げると 約2.1分 に縮まります。C が速くなったぶん、A を追い越してから B に出会うまでが短くなる——答えの向きが直感と合っているかを最後に確認してください。数字がきれいでなくても、大小関係が合っていれば安心できます。

よくあるミス　①答えが分数になったので計算ミスだと思う。44/21 は約分できません。この設定ではきれいな数にならないのが正しい答えです。不安なら解き直すより、両方の瞬間で位置が一致するかを確かめるのが確実です。
②A と B の式を「この日」用に変えてしまう。変わったのは C だけ。A（6時0分発）と B（6時4分発）は通常どおりです。
③「2分遅れ」を到着にも適用する。到着は通常と同時刻（6時13分）です。だからこそ速さが上がります。

定石　複数の乗り物の問題は「共通の時計」＋「km/分」で統一する。
すれ違い・追い越しは位置が等しいの一言。向かい合う相手の位置は減る向きで書く。

この回で身につくこと

この問題の急所は単位の選び方です。時速60 km を 1 km/分 と読み替えた瞬間に、A の位置がただの t になり、B が 24 − t、C が 2(t − c) という、すべて1次式の世界に入ります。
問題の数値がきれいなときは、作り手が想定している単位がある——20 km、12分、4分という数字はすべて「km/分」で扱うためのものでした。
もう1つは向かい合う相手の書き方。B は Q から来るので 20 − (経過時間)、しかも4分遅れなので経過時間は t − 4。ここを丁寧に書けるかどうかが、すれ違い問題全体の分かれ目です。
そして (3) の答え 44/21 のように、きれいでない数が正解のこともある。答えの形で正誤を判断せず、位置が一致するかで検算する習慣をつけてください。
一次関数の基礎は一次関数とは？式・グラフ・変化の割合を解説【中2数学】、同じ型は9（歩きとバスと自転車）／11（列車のダイヤグラム）／13（3人の速さ）へ。