中３数学｜平方根の基礎 全13問を詳しく解説（無料問題PDF）

中3｜平方根解き方がわからないときは 中３数学｜平方根とは 根号・有理数・無理数を解説【中3】（無料問題PDF） を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

この教材では、中学3年で学ぶ平方根の最初の一歩を扱います。特に大切なのは、『ある数の平方根』と『根号を使った数』を区別することです。たとえば、36の平方根は と の2個ですが、記号 が表す数は正のほうの だけです。ここを丁寧に整理すると、符号の間違いが大きく減ります。

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問題

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平方根とは何か

数 に対して、2乗すると になる数を「 の平方根」といいます。つまり を満たす が、 の平方根です。正の数には、絶対値が等しく符号が反対の平方根が2個あります。

たとえば であり、同時に です。したがって、36の平方根は です。一方、 という記号は、 の平方根のうち0以上のものを表します。このため であり、 ではありません。

問題1：次の数の平方根を求める

この設問では「平方根を求めよ」と聞かれているため、正の平方根と負の平方根を両方答えます。PDFの条件 は、文字式の符号を確定するために使います。

1. 36： より、平方根は 。
2. 81： より、平方根は 。
3. 7：整数の2乗では表せないので、平方根は 。
4. ： なので、平方根は 。
5. ：2乗して になる数は と だから、。
6. ： より 。したがって 。
7. 5：平方根は 。
8. ： であり、 だから 。
9. ： より、平方根は 。

文字式では「何を2乗したら戻るか」を考える

指数を半分にするだけ、と暗記すると符号を落としやすくなります。たとえば では、まず と「ひとまとまりの2乗」に直します。そのうえで、その数の平方根を尋ねられているので、答えの先頭に を付けます。

なお、一般には です。この教材では と指定されているため とできます。条件がない問題で勝手に とするのは危険です。

問題2：根号を含む式の値を求める

こちらは「平方根を全部答える問題」ではなく、書かれた式そのものの値を求めます。したがって、根号の外に勝手に を付けません。

1. 。根号は0以上の平方根を表します。
2. 。まず を求め、その外側のマイナスを付けます。
3. 。一般則は ですが、ここでは です。
4. 。 は「2乗すると5になる0以上の数」なので、定義から5に戻ります。

よくある誤答と直し方

誤答1： とする。根号 自体は0以上の値だけを表すので、正しくは6です。誤答2：「36の平方根」を6だけにする。こちらは の解をすべて尋ねているため、 の2個が必要です。

誤答3： を7とする。根号を計算した後も、その外側にある負号は残ります。式を「外側」と「内側」に分けて読む習慣をつけましょう。

解くときの3段階

1. 問題文が「平方根」を尋ねているのか、「式の値」を尋ねているのか確認する。
2. 2乗すると根号の中や与えられた数に戻る形を探す。
3. 最後に が必要か、条件から絶対値を外せるかを点検する。

確認問題

次の4問を自分で解いてから答えを確認してください。

1. 121の平方根を求めよ。
2. のとき を求めよ。
3. を求めよ。
4. を求めよ。

答え：順に です。4問目は と見れば、 と分かります。

次につながる学習

平方根は、二次方程式、三平方の定理、無理数、指数法則へつながります。記号操作だけでなく「2乗すると元に戻る」という定義を意識してください。より深い整数の見方は整数問題からp進数へ、平方根の近似はペル方程式と連分数でも扱っています。

よくある質問

なぜ正の数の平方根は2個あるのですか

正の数を2乗しても、負の数を2乗しても結果は正になるためです。絶対値が同じ2数 と は、どちらも2乗すると になります。

いつ を付けますか

「ある正の数の平方根をすべて求める」ときや、 の解を求めるときです。すでに と書かれた式の値を計算するだけなら付けません。

学習相談

平方根で符号を間違える場合、計算力よりも定義の整理が必要なことがあります。数強塾では答案からつまずき方を分析し、次に何を復習するかを個別に設計します。指導方針と集計方法は合格実績ページで公開しています。学習状況の相談はお問い合わせページから受け付けています。