中３数学｜根号の複合計算分数・乗除・有理化の全8問を詳しく解説（無料問題PDF）

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中3｜平方根解き方がわからないときは中３数学｜平方根とは根号・有理数・無理数を解説【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

次の計算をしなさい。

——さて、どこから手をつける？

この記事の解説を読めば、この形の問題が解けるようになります。（数強塾オリジナル問題）

この教材では、分数を含む根号の加減、係数付きの乗除、有理化を一つの式の中で処理します。平方根の個別規則を覚えていても、複合計算では順序を誤ることがあります。大切なのは、各部分を最簡形にしてから同類項を探すことと、掛け算・割り算を左から処理することです。

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問題

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複合計算の基本方針

根号内の分数や大きな数を最簡形にする。
割り算は逆数を掛ける形に直し、係数と根号部分を分ける。
掛け算・割り算を加減より先に計算する。
最後に同じ根号をもつ項の係数をまとめる。

途中式を一行で済ませず、「簡単化」「乗除」「加減」の段階を分けると、符号や係数のミスを見つけやすくなります。

【1】問題1：分数型の平方根をそろえる

式はです。分数型の根号を有理化すると

また

です。したがって第2項と第3項が打ち消し合い、

となります。見た目の異なる根号も、最簡形にすると同じ根号になることがポイントです。

【1】問題2：大きな根号の積

は、先にそれぞれを簡単にすると

なので、

です。直接としても正解ですが、因数分解を先に行う方が平方数を見つけやすくなります。

【1】問題3：係数付き根号の割り算

では、係数と根号部分を別々に割ります。

12を3で割って4、60を10で割って6です。先にとしても解けますが、この問題では根号内で60を10で割る方法が短くなります。

【1】問題4：乗除を左から処理する

式はです。まず最初の割り算を計算します。

次にを掛けます。

答えはです。掛け算と割り算は同じ優先順位なので、左から順に処理します。

【1】問題5：積と有理化の和

を二つの部分に分けます。

一方、は

です。よってとなります。足し算の前に両方が同じの項になるところまで整理します。

【1】問題6：分数係数をまとめて計算する

式はです。割り算を逆数の掛け算に直すと

となります。整数部分は、根号部分は

です。したがってです。係数と根号部分を別々に追うと見通しがよくなります。

【2】問題1：先に根号を簡単にする有理化

では、まずとします。

最初から14と98を使って有理化することもできますが、分母を先に最簡形にすると約分が見えやすくなります。

【2】問題2：分子にも根号がある有理化

では、なので

です。分子と分母にを掛けて、

となります。答えはです。

全8問の答え一覧

よくある誤答

誤答1：問題1で分数型の根号を別々のまま計算する。最簡形にそろえると第2項と第3項が打ち消し合います。誤答2：問題4の割り算で分数をそのまま掛ける。割る数を逆数にしてから掛けます。

誤答3：問題6でをのまま残す。まで計算します。誤答4：有理化後の約分を忘れる。分母だけでなく係数全体を確認してください。

確認問題

を計算せよ。
を計算せよ。
を計算せよ。
を有理化せよ。

答え：順にです。1問目は、4問目はとします。

次につながる学習

有理化の基本は分母の有理化｜全16問、係数付きの根号計算は平方根の応用計算で復習できます。この先は根号を含む式の展開や二次方程式へ進みます。

よくある質問

複合計算はどこから始めますか

まず各根号を最簡形にし、次に乗除、最後に加減です。掛け算と割り算が続く場合は左から処理します。

有理化は計算の途中でも行いますか

行って構いません。同類項を見つけやすくなる場合は早めに有理化し、分母の根号を整理します。

学習相談

複合計算では、途中式の区切り方が正答率を左右します。数強塾では答案をもとに、簡単化・乗除・有理化・加減のどこで崩れたかを個別に分析します。集計方法を含む実績は合格実績ページ、学習相談はお問い合わせページをご覧ください。

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