三平方の定理｜応用35の無料問題PDFと練習3問【中学3年・解説つき】

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中３数学三平方の定理応用35（PDF）

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中3｜三平方の定理解き方がわからないときは三平方の定理｜証明・辺の長さ・平面と空間の応用を24問で練習【中3数学】を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

直角をはさむ2辺の長さが 336 cm と 52 cm の直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年「三平方の定理」の無料問題プリント（応用）です。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学三平方の定理応用35

問題・解答を画像で見る

ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。

問題

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三平方の定理で何ができるようになるか

直角三角形の3辺の関係 a² + b² = c² を使って、辺の長さ・対角線・高さ・2点間の距離を求められるようにします。高校の三角比と座標幾何へ直結する単元です。

解き方の手順

1直角がどこにあるかを図に書き込む。斜辺は直角の向かい側で、いちばん長い。

2求める辺を x とおき、a² + b² = c² に当てはめる。斜辺を c の位置に置く。

32乗を計算して x² の値を出す。

4√ を外し、中を簡単にする（√50 なら 5√2）。長さなので正の方だけ答える。

つまずくのはここ

つまずき1｜斜辺がどれか確かめずに式を立てる

斜辺は直角の向かい側にあり、必ずいちばん長い辺です。ここを間違えると足すべきところで引く（またはその逆）ことになります。

つまずき2｜√ の中を簡単にしない

√50 は 5√2 まで直します。答えが合っていても簡約していないと減点されることがあります。

つまずき3｜特別な直角三角形の比を覚えていない

45°・45°・90° は 1 : 1 : √2、30°・60°・90° は 1 : 2 : √3。正方形の対角線と正三角形の高さは、この2つで即答できます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

直角をはさむ2辺の長さが 336 cm と 52 cm の直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

三平方の定理より、斜辺を c とすると c² = 336² + 52² = 112896 + 2704 = 115600。
c > 0 だから c = 340 cm。
検算：336² + 52² = 115600 = 340²。

練習2

斜辺が 255 cm、他の1辺が 39 cm の直角三角形がある。残りの辺の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

求める辺を x とすると x² + 39² = 255²。
x² = 65025 − 1521 = 63504 だから x = 252 cm。
斜辺がどれかを最初に確定する。斜辺は必ず直角の向かいにあり、いちばん長い。ここを取り違えると 65025+1521 を計算してしまう。

練習3

等しい2辺が 15 cm、底辺が 24 cm の二等辺三角形がある。高さと面積を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺をちょうど半分に分ける。
半分は 12 cm なので、高さを h とすると h² + 12² = 15²。
h² = 225 − 144 = 81 より h = 9 cm。
面積は 24 × 9 ÷ 2 = 108 cm²。
二等辺三角形では頂点からの垂線が底辺を二等分する——この一言が使えるかどうかで解けるかが決まります。