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中3｜三平方の定理解き方がわからないときは 三平方の定理｜証明・辺の長さ・平面と空間の応用を24問で練習【中3数学】 を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学3年「三平方の定理」の無料プリント（応用67）の解説です。土佐高の入試問題——三角錐を底面に平行な平面で切る。相似比が体積比・面積比にどう伝わるかを、1つの立体の中で全部確かめられる問題です。
プリントをダウンロード
下のリンクから PDF が開きます。三平方は図に直角三角形を見つけて印を付けるのが第一手です。印刷して使ってください。
問題・解答を画像で見る
ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。
問題
解答・解説
相似比 → 面積比 → 体積比
底面に平行な平面で切ると、上にできる小さい錐は元と相似
| 比べるもの | 比 |
|---|---|
| 長さ（辺・高さ） | m : n |
| 面積（底面・側面・表面積） | m² : n² |
| 体積 | m³ : n³ |
中点で切ると体積は8分の1
相似比 1 : 2 なら体積比は 1 : 8。つまり上の小さい錐は全体の 1/8、残った下の立体（円錐台ならぬ角錐台）は 7/8 です。「半分に切ったから半分」ではありません。
表面積は「相似」と「そうでない部分」を分ける
角錐台の表面積は3つの部分でできています。
- 元の底面——切っても変わらない（そのまま）
- 切り口——相似比 1 : 2 なので面積は元の底面の 1/4
- 側面の台形部分——側面全体から上の小さい三角形（1/4）を引いた 3/4
つまずくのはここ
つまずき1｜体積比を相似比のまま使う
相似比 1 : 2 の体積比は 1 : 8。2乗でも 2倍でもありません。長さ・面積・体積で1乗・2乗・3乗と上がります。
つまずき2｜表面積で切り口を足し忘れる
切ったら切り口も表面になります。逆に、上の錐と下の台をくっつけると切り口2枚が内部に隠れます。
つまずき3｜側面の三角形の高さを辺の長さで代用する
側面 OBC の高さは O から BC の中点まで。底面の中点までの距離（AM）と高さ OA の三平方で求めます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントの入試問題と同じ技能構成で、数値を独自に設計した問題です。
標準練習1
底面が1辺 8cm の正三角形 ABC、OA = 12cm で OA が底面に垂直な三角錐 O-ABC がある。この三角錐を、底面 ABC に平行で辺 OA の中点を通る平面で切り、2つの立体に分ける。体積が大きいほうの立体の体積を求めなさい。
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解答
底面積 = √3/4 × 8² = 16√3
全体の体積 = 1/3 × 16√3 × 12 = 64√3
上の小さい錐は相似比 1 : 2 → 体積比 1 : 8 なので 64√3 × 1/8 = 8√3
大きいほう = 64√3 − 8√3 = 56√3 cm³（≒ 97.0cm³）
検算：56√3 : 8√3 = 7 : 1 ——角錐台と小錐の体積比 7/8 : 1/8 ○
標準練習2
（練習1の三角錐で）側面 OBC の面積を求めなさい。また、三角錐 O-ABC の側面積（3つの側面の合計）を求めなさい。
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解答
OA ⊥ 底面なので、OA ⊥ AB、OA ⊥ AC。
△OAB と △OAC は直角三角形：1/2 × 8 × 12 = 48（それぞれ）
△OBC は OB = OC の二等辺三角形。BC の中点を M とすると
AM = √3/2 × 8 = 4√3（正三角形の高さ）
OM = √(12² + (4√3)²) = √(144 + 48) = √192 = 8√3
△OBC = 1/2 × 8 × 8√3 = 32√3 cm²
側面積 = 48 + 48 + 32√3 = 96 + 32√3 cm²
検算：OB = √(12² + 8²) = √208 = 4√13、△OBC を3辺 8, 4√13, 4√13 で見ても高さ √(208 − 16) = √192 = 8√3 ○
発展練習3
（練習1で切ってできた、体積が大きいほうの立体について）表面積を求めなさい。
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解答
3つの部分に分けます。
① 元の底面（1辺8の正三角形）= 16√3
② 切り口（1辺4の正三角形、相似比 1 : 2）= √3/4 × 16 = 4√3
③ 側面の台形部分＝ 側面積 × 3/4（上の 1/4 を除く）
= (96 + 32√3) × 3/4 = 72 + 24√3
表面積 = 16√3 + 4√3 + 72 + 24√3 = 72 + 44√3 cm²（≒ 148.2cm²）
検算：② が ① の 1/4（4√3 = 16√3 ÷ 4）○、③ が側面積の 3/4 ○
「面積は2乗の比」を3か所で使う——切り口・台形部分・そして検算。相似比が体に入る一問です。
定着チェック
いまの理解段階を自分で選んでみてください。
- 未習——用語の意味がまだ言えない。
- 用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
- 典型を解ける——同じ形なら解ける。
- 初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
- 入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。
この先の学習経路
- 三平方の定理 特訓道場30題——入試レベルの通し演習。
- 図形（相似と円）特訓道場30題——相似と組み合わせる問題へ。
- 図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
- 数学の要点辞典（中1〜数III）——学年をまたいで確認する。
数強塾について
数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。
ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。
