中３数学：三平方の定理｜応用68（無料問題・解答PDF）

解答

（1）正方形の対角線 AC = 6√2 × √2 = 12cm。対角線の交点を E とすると AE = 6。
高さ OE = √(12² − 6²) = √108 = 6√3
底面積 = 1/2 × 12 × 12 = 72（対角線を使う公式）
容積 = 1/3 × 72 × 6√3 = 144√3 cm³（≒ 249.4cm³）
（2）OA = OC = AC = 12 なので △OAC は1辺12の正三角形。
面積 = √3/4 × 144 = 36√3 cm²
検算：1/2 × 12 × 6√3 = 36√3 ○（底辺 AC、高さ OE）

解答

OC = 12、QC = 6 なので Q は OC の中点（OQ = 6）。
PB = RD なので、P と R は対称な位置（OP = OR）。
4点 A、P、Q、R が同一平面上という条件から OP が決まります。座標で確認すると OP = OR = 8cm（PB = RD = 4cm）。
覚えておくと速い関係：頂点 O から出る4本の辺を切る平面では
1/OA + 1/OC = 1/OP + 1/OR
実際 1/12 + 1/6 = 1/4、1/8 + 1/8 = 1/4 ○ ぴったり一致
△OPR は OP = OR = 8、∠POR は △OBD（正三角形）の頂角と同じ 60° なので1辺8の正三角形：
面積 = √3/4 × 64 = 16√3 cm²
検算：座標 O(0,0,6√3)、A(−6,0,0)、C(6,0,0)、B(0,−6,0)、D(0,6,0) で、OP = 8 のとき A・P・Q・R が同一平面上（法線との内積 0）○

解答

残った水は四角錐 O-APQR。△OPR を共通の底面として、頂点 A の錐と頂点 Q の錐に分けます。
座標で計算すると、A 側 = 32√3、Q 側 = 16√3。
残った水 = 32√3 + 16√3 = 48√3 cm³（≒ 83.1cm³）
こぼれた水 = 144√3 − 48√3 = 96√3 cm³（≒ 166.3cm³）
検算：残った割合 = 48√3/144√3 = 1/3、こぼれた割合 = 2/3 ○
3分の2もこぼれる——「少し傾けただけ」に見えても、体積は容赦なく減ります。長さの感覚で量を判断してはいけない、という教訓がこの問題の核心です。