図形2｜中3の図形難問（三平方・相似）

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解答・解説中３数学図形（難問）A 図形 2（PDF）

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中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは中３数学｜相似な図形とは相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

長方形ABCDで AB = 8cm、BC = 4cm です。対角線ACを折り目としてこの長方形を折り返したとき、辺ADと折り返した辺の交点をEとします。AEの長さを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学図形（難問）A 図形 2

問題・解答を画像で見る

ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。

問題

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図形（難問）で何ができるようになるか

三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。

解き方の手順

1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。

2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。

32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。

4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき2｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす

折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

長方形ABCD（AB = 8cm、BC = 4cm）を対角線ACで折り返す。

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解答

AE = 5 cm

折り返しても長さと角は変わらないので ∠EAC = ∠BAC。
AD と BC は平行だから ∠EAC = ∠ACB、よって ∠EAC = ∠ECA。
2つの角が等しいので三角形EACは二等辺三角形で EA = EC。
AE = x とおくと ED = 8 − x、EC = x。
直角三角形ECDで三平方の定理より x² = (8 − x)² + 4²
展開して x² = 64 − 16x + x² + 16
16x = 80、よって x = 5
確かめ: ED = 3 なので (3)² + 4² = 9 + 16 = 25、(5)² = 25 となり一致する。

練習2

三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 3 : 5 で、三角形ABCの面積が 640cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。

DE ∥ BC。AD : DB = 3 : 5。

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解答

550 cm²

DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 3 : 8。
面積比は相似比の2乗だから 3² : 8² = 9 : 64。
△ADE = 640 × 9 ÷ 64 = 90（cm²）
四角形DBCE = 640 − 90 = 550（cm²）

練習3

四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 88cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

P, Q, R, S はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点。

解答・解説を見る

解答

44 cm²

対角線ACを引くと、三角形ABCで PQ は中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = AC ÷ 2。
三角形ACDでも SR ∥ AC、SR = AC ÷ 2。よって PQ ∥ SR かつ PQ = SR。
1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形。
同じ議論を対角線BDでも行うと、切り落とされる4つの三角形の面積の和がもとの四角形のちょうど半分になる。
よって PQRS = 88 ÷ 2 = 44（cm²）

解き終わったら

数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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